exercices - RP 2016-2017

PSI-Pasteur 2016-2017 Variables aléatoires discrètes, exercices 1
Exercice 1 (TPE-IVP 2016) Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N∗.
On suppose que pour tout k∈N∗,P(X>k)>0. On pose alors λk=P(X=k)
P(X>k).
a) Montrer que 06λk<1, puis simplifier Pn−1
k=1 ln(1 −λk).
b) Montrer que la série de terme général λkdiverge.
c) Montrer que si la suite (λk)est constante, alors Xsuit une loi géométrique.
Exercice 2 (ENSEA 2016) Le nombre Nde petits d’une portée de lapins suit une loi de
Poisson de paramètre λ. La probabilité qu’un lapinot soit un mâle vaut p. Soit Xle nombre de
mâles dans la portée, et Yle nombre de femelles.
a) Montrer que P(X=k|N=n) = n
kpk(1 −p)n−k
b) Donner la loi conjointe de (N, X).
c) Déterminer les lois de Xet de Y.
Exercice 3 (CCP 2016) Une urne contient Nboules numérotées de 1àN.
On effectue des tirages avec remise. (Les tirages sont supposés indépendants)
a) Soit Xnle nombre de tirages nécessaires à l’obtention d’une boule différente de la première.
i) Montrer que Xnest une variable aléatoire discrète, en déterminant sa loi.
ii) Montrer que Xna une espérance, puis étudier sa limite quand ntend vers l’infini.
b) Soit Ynle nombre de tirages nécessaires à l’obtention de toutes les boules.
(a) Déterminer la loi de Y2.
(b) Déterminer la loi de Y3en fonction de celle de Y2.
(c) Déterminer la limite de P(Yn=k)quand ntend vers l’infini.
Exercice 4 (CCP 2016) Soit Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes
et de même loi. On suppose que X+Y+ 1 suit une loi géométrique de paramètre p∈]0,1[.
a) Montrer que Xadmet une espérance et une variance, que l’on déterminera.
b) Déterminer la fonction génératrice de X, puis la loi de X.
Exercice 5 (CCP 2016) On donne : Pn
k=pk
p=n+1 p+1(∀p∈N,∀n>p)
Une urne contient nboules numérotées de 1 à n. On tire 2 boules au hasard. On note X(resp. Y)
la variable aléatoire correspondant au numéro le plus petit (resp. le plus grand) des deux boules.
a) Déterminer la loi de (X, Y ). En déduire les lois marginales de Xet de Y.
b) Calculer E(Y),E(Y(Y−2)) et V(Y).
c) Montrer que n+ 1 −Xsuit la même loi que Y.
d) Calculer E(X),V(X),E(X(Y−2)) et Cov(X, Y ).
Exercice 6 (CCP 2016) On lance un dé à 6 faces. Les lancers sont indépendants et le dé n’est
pas pipé. On note Xkla variable aléatoire égale à la valeur obtenue au k-ième lancer.
a) Déterminer la loi de Xk, et la fonction de répartition Fassociée à Xk.
b) On note Znla valeur maximale obtenue au bout de n lancers.
Déterminer la fonction de répartition Fnde Znen fonction de F.
c) Déterminer la limite de Fnlorsque ntend vers l’infini. La convergence est elle uniforme ?
d) Déterminer la fonction de répartition de la valeur minimale obtenue au bout de nlancers.

PSI-Pasteur 2016-2017 Variables aléatoires discrètes, exercices 2
Exercice 7 (CCP 2016) Soit X1, X2, . . . , Xn, . . . une suite de variables aléatoires indépendantes.
On suppose que Xisuit une loi de Bernoulli de paramètre pi, et que 1
nPn
i=1 pi→
n→∞ p.
Montrer que : ∀ε > 0,P
1
nPn
i=1 Xi−p
>ε→
n→∞ 0.
Exercice 8 (ENSAM 2016) Soit X1et X2deux variables aléatoires indépendantes suivant une
loi géométrique de paramètre p. On pose q= 1 −pet Y=|X1−X2|.
a) Calculer P(Y= 0) .
b) Montrer que P(X1−X2=n) = p qn
1+q. En déduire la loi de Y.
c) Montrer que Yadmet une espérance et la calculer.
d) Montrer que E((X1−X2)2)=2V(X1).
e) En déduire que Yadmet une variance et la calculer.
Exercice 9 (ENSAM 2016) Soit Tune variable aléatoire telle que T(Ω) = [[1, k]] . On considère
k+ 1 variables aléatoires mutuellement indépendantes (Xi)06i6ksuivant une même loi à valeur
dans N. On définit alors une variable aléatoire Ypar Y(ω) = PT(ω)
i=0 Xi(ω). Montrer que si Tet
les Xiadmettent une espérance, Yaussi, et donner sous ces hypothèses une expression de E(Y)
en fonction de E(Xi)et E(T).
Exercice 10 (Mines-Ponts 2016) Soit α∈R∗
+.
a) Justifier l’existence d’une variable aléatoire Xtelle que X(Ω) = Net GX(t) = 1
(2−t)α.
b) Pour α∈N∗, donner un équivalent de P(X=n)quand ntend vers l’infini.
c) Pour λ > 0, montrer que PX>(λ+ 1) α62
α λ2.
Exercice 11 (Centrale 2016) Dans le plan usuel muni d’un repère orthonormé, un mobile,
initialement en l’origine, se déplace d’une unité dans l’une des quatre directions (nord, sud, est,
ouest) de manière équiprobable. On note (Xn, Yn)sa position à l’instant n, et note aussi Znsa
distance à l’origine. On ne cherchera pas à déterminer la loi de Xn.
a) Déterminer l’espérance et la variance de Xn.
b) Montrer que l’espérance de Znest majorée par √n.
c) On admet que Pk
i=0 k
i2=2k k. Déterminer alors P(Zn) = 0 .
Exercice 12 (Centrale 2016) On considère une suite de variables aléatoires indépendantes
(Xi)i∈N∗, suivant une même loi : P(Xi= 1) = p;P(Xi= 2) = 1 −p. On pose Sn=Pn
i=1 Xiet
Yk= inf {n∈N∗|Sn>k}.
a) Montrer l’existence de Yk. Écrire une fonction d’arguments ket prenvoyant Yk.
b) Écrire une suite d’instructions permettant de trouver une valeur approchée de mk=E(Yk).
(on suppose connu p). Tracer la courbe définie par les points (k, mk)pour kallant de 1 à 100
et p∈ {0.1,0.3,0.5,0.7,0.9}.
c) Pour k>3montrer que : P(Yk=n) = pP(Yk−1=n−1) + (1 −p)P(Yk−2=n−1) .
d) Montrer que E(Yk) = p E(Yk−1) + (1 −p)E(Yk−2)+1.
e) Montrer que E(Yk)∼k Cpquand ktend vers l’infini, avec Cpqui ne dépend que de p.