exercices - RP 2016-2017

PSI-Pasteur 2016-2017
Variables aléatoires discrètes, exercices
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Exercice 1 (TPE-IVP 2016) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ .
On suppose que pour tout k ∈ N∗ , P(X > k) > 0 . On pose alors λk = P(X=k)
.
P(X>k)
a) Montrer que 0 6 λk < 1 , puis simplifier
Pn−1
k=1
ln(1 − λk ) .
b) Montrer que la série de terme général λk diverge.
c) Montrer que si la suite (λk ) est constante, alors X suit une loi géométrique.
Exercice 2 (ENSEA 2016) Le nombre N de petits d’une portée de lapins suit une loi de
Poisson de paramètre λ. La probabilité qu’un lapinot soit un mâle vaut p. Soit X le nombre de
mâles dans la portée, et Y le nombre de femelles.
a) Montrer que P(X = k | N = n) =
n
k
pk (1 − p)n−k
b) Donner la loi conjointe de (N, X) .
c) Déterminer les lois de X et de Y .
Exercice 3 (CCP 2016) Une urne contient N boules numérotées de 1 à N .
On effectue des tirages avec remise. (Les tirages sont supposés indépendants)
a) Soit Xn le nombre de tirages nécessaires à l’obtention d’une boule différente de la première.
i) Montrer que Xn est une variable aléatoire discrète, en déterminant sa loi.
ii) Montrer que Xn a une espérance, puis étudier sa limite quand n tend vers l’infini.
b) Soit Yn le nombre de tirages nécessaires à l’obtention de toutes les boules.
(a) Déterminer la loi de Y2 .
(b) Déterminer la loi de Y3 en fonction de celle de Y2 .
(c) Déterminer la limite de P(Yn = k) quand n tend vers l’infini.
Exercice 4 (CCP 2016) Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes
et de même loi. On suppose que X + Y + 1 suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[.
a) Montrer que X admet une espérance et une variance, que l’on déterminera.
b) Déterminer la fonction génératrice de X, puis la loi de X.
k
n+1
n
Exercice 5 (CCP 2016) On donne :
(∀ p ∈ N , ∀ n > p)
k=p p = p+1
Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire 2 boules au hasard. On note X (resp. Y )
la variable aléatoire correspondant au numéro le plus petit (resp. le plus grand) des deux boules.
P
a) Déterminer la loi de (X, Y ). En déduire les lois marginales de X et de Y .
b) Calculer E(Y ), E(Y (Y − 2)) et V (Y ).
c) Montrer que n + 1 − X suit la même loi que Y .
d) Calculer E(X), V (X), E(X(Y − 2)) et Cov(X, Y ).
Exercice 6 (CCP 2016) On lance un dé à 6 faces. Les lancers sont indépendants et le dé n’est
pas pipé. On note Xk la variable aléatoire égale à la valeur obtenue au k-ième lancer.
a) Déterminer la loi de Xk , et la fonction de répartition F associée à Xk .
b) On note Zn la valeur maximale obtenue au bout de n lancers.
Déterminer la fonction de répartition Fn de Zn en fonction de F .
c) Déterminer la limite de Fn lorsque n tend vers l’infini. La convergence est elle uniforme ?
d) Déterminer la fonction de répartition de la valeur minimale obtenue au bout de n lancers.
Variables aléatoires discrètes, exercices
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Exercice 7 (CCP 2016) Soit X1 , X2 , . . . , Xn , . . . une suite de variables aléatoires indépendantes.
P
On suppose que Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre pi , et que n1 ni=1 pi → p .
n→∞
Montrer que : ∀ ε > 0 ,
P
P n1 ni=1 Xi
− p
>ε
→ 0.
n→∞
Exercice 8 (ENSAM 2016) Soit X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivant une
loi géométrique de paramètre p. On pose q = 1 − p et Y = |X1 − X2 | .
a) Calculer P(Y = 0) .
b) Montrer que P(X1 − X2 = n) =
p qn
1+q
. En déduire la loi de Y .
c) Montrer que Y admet une espérance et la calculer.
d) Montrer que E((X1 − X2 )2 ) = 2 V (X1 ) .
e) En déduire que Y admet une variance et la calculer.
Exercice 9 (ENSAM 2016) Soit T une variable aléatoire telle que T (Ω) = [[1, k]] . On considère
k + 1 variables aléatoires mutuellement indépendantes (Xi )06i6k suivant une même loi à valeur
PT (ω)
dans N. On définit alors une variable aléatoire Y par Y (ω) = i=0 Xi (ω) . Montrer que si T et
les Xi admettent une espérance, Y aussi, et donner sous ces hypothèses une expression de E(Y )
en fonction de E(Xi ) et E(T ).
Exercice 10 (Mines-Ponts 2016) Soit α ∈ R∗+ .
a) Justifier l’existence d’une variable aléatoire X telle que X(Ω) = N et GX (t) =
1
(2−t)α
.
b) Pour α ∈ N∗ , donner un équivalent de P(X = n) quand n tend vers l’infini.
c) Pour λ > 0 , montrer que P X > (λ + 1) α 6
2
α λ2
.
Exercice 11 (Centrale 2016) Dans le plan usuel muni d’un repère orthonormé, un mobile,
initialement en l’origine, se déplace d’une unité dans l’une des quatre directions (nord, sud, est,
ouest) de manière équiprobable. On note (Xn , Yn ) sa position à l’instant n, et note aussi Zn sa
distance à l’origine. On ne cherchera pas à déterminer la loi de Xn .
a) Déterminer l’espérance et la variance de Xn .
b) Montrer que l’espérance de Zn est majorée par
c) On admet que
Pk
i=0
2
k
i
=
2k
k
√
n.
. Déterminer alors P(Zn ) = 0 .
Exercice 12 (Centrale 2016) On considère une suite de variables aléatoires indépendantes
P
(Xi )i∈N∗ , suivant une même loi : P(Xi = 1) = p ; P(Xi = 2) = 1 − p . On pose Sn = ni=1 Xi et
Yk = inf {n ∈ N∗ | Sn > k} .
a) Montrer l’existence de Yk . Écrire une fonction d’arguments k et p renvoyant Yk .
b) Écrire une suite d’instructions permettant de trouver une valeur approchée de mk = E(Yk ) .
(on suppose connu p). Tracer la courbe définie par les points (k, mk ) pour k allant de 1 à 100
et p ∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9} .
c) Pour k > 3 montrer que : P(Yk = n) = p P(Yk−1 = n − 1) + (1 − p) P(Yk−2 = n − 1) .
d) Montrer que E(Yk ) = p E(Yk−1 ) + (1 − p) E(Yk−2 ) + 1 .
e) Montrer que E(Yk ) ∼ k Cp quand k tend vers l’infini, avec Cp qui ne dépend que de p .