fiche de révision du bac

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FICHE DE RÉVISION DU BAC
Séries S – ES/L – Mathématiques
CONTINUITÉ
1
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
Introduction
Pré-requis : Etude de fonctions – exponentielles – logarithmes
Plan du cours
1. Notion de continuité
2. Théorème des valeurs intermédiaires
1. Notion de continuité
Définitions :
f est continue en a si .
f est continue sur un intervalle I si pour tout  .
Une fonction continue est une fonction que l’on peut dessiner « sans lever le crayon ».
Exemple :
Soit f la fonction définie sur R par 
  donc la fonction f est continue en 0.
Contre-exemple :

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LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
La fonction partie entière E(x) R.
Fonctions de références :
Les fonctions polynômes, racine carrée, exponentielles, logarithmes, inverses, sinus et cosinus sont continues sur
leur ensemble de définition.
Opérations :
Soient f et g deux fonctions continues sur I. Soit  un réel.
Les fonctions , , , 
 (si g I),  sont continues sur I.
Exemples :
 est continue sur .
 est continue sur  et sur .
 est continue sur .
 est continue sur .
 est continue sur .

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LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
Propriété :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.
Attention : la réciproque n’est pas vraie.
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème :
Soit une fonction f définie, continue sur . Soit un réel .
Si  est compris entre  et , alors   a au moins une solution sur .
Corollaire :
Soit une fonction f définie, continue sur .
Si   a au moins une solution sur .
Cas des fonctions strictement monotones :
Soit une fonction f définie, continue et strictement monotone sur . Soit un réel .
Si  est compris entre  et , alors   a une unique solution sur .
Exemple :
Montrer que l’équation  admet une unique solution , et donner un encadrement au centième de .
 est le produit de deux fonctions définies, continues et dérivables sur R. Elle est donc définie,
continue et dérivable sur R.
 pour tout  donc  est du même signe que le trinôme.
Recherche des racines de  :

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LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
 donc le trinôme a deux racines
Le coefficient de  est 
racines.
 est donc strictement positive sur  et strictement négative sur .
 est donc strictement croissante sur  et strictement décroissante sur .
Calcul des extrema et des limites :
-  :
Le maximum de la fonction  est atteint en  et   donc  pour tout .
L’équation  n’admet donc pas de solution sur .
- sur  :
est continue et strictement croissante sur , de plus  et .
On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, et conclure que l’équation  admet une
unique solution sur 
Remarque : on choisit des valeurs de a et b permettant d’appliquer le théorème (ici, 1 et 2).
-  :

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[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
 est strictement croissante et  pour tout .
L’équation  n’admet donc pas de solution sur .
L’équation  admet donc une unique solution  sur .
Courbe représentative de  et droite d’équation  :