fiche de révision du bac

FICHE DE RÉVISION DU BAC
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre
fiche]– Mathématiques
Sériesde
S –laES/L
CONTINUITÉ
Introduction
Pré-requis : Etude de fonctions – exponentielles – logarithmes
Plan du cours
1. Notion de continuité
2. Théorème des valeurs intermédiaires
1. Notion de continuité
Définitions :
On dit qu’une fonction f est continue en a si
.
On dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout
.
Une fonction continue est une fonction que l’on peut dessiner « sans lever le crayon ».
Exemple :
Soit f la fonction définie sur R par
ou tout
ou tout
donc la fonction f est continue en 0.
Contre-exemple :
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CONTINUITÉ
La fonction partie entière E(x) n’est as continue su R.
Fonctions de références :
Les fonctions polynômes, racine carrée, exponentielles, logarithmes, inverses, sinus et cosinus sont continues sur
leur ensemble de définition.
Opérations :
Soient f et g deux fonctions continues sur I. Soit
Les fonctions
,
,
un réel.
, (si g ne s’annule as su I),
sont continues sur I.
Exemples :
est continue sur .
est continue sur
est continue sur .
est continue sur
et sur
.
.
est continue sur .
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Propriété :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.
Attention : la réciproque n’est pas vraie.
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème :
Soit une fonction f définie, continue sur
Si
est compris entre
et
. Soit un réel .
, alors l’équation
a au moins une solution sur
.
Corollaire :
Soit une fonction f définie, continue sur
.
Si
a au moins une solution sur
alo s l’équation
.
Cas des fonctions strictement monotones :
Soit une fonction f définie, continue et strictement monotone sur
Si
est compris entre
et
, alors l’équation
. Soit un réel .
a une unique solution sur
.
Exemple :
Montrer que l’équation
admet une unique solution , et donner un encadrement au centième de .
est le produit de deux fonctions définies, continues et dérivables sur R. Elle est donc définie,
continue et dérivable sur R.
pour tout
donc
Recherche des racines de
est du même signe que le trinôme.
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donc le trinôme a deux racines
Le coefficient de
racines.
est su é ieu à 0, le t inôme est donc ositif à l’exté ieu des acines et négatif à l’inté ieu des
est donc strictement positive sur
est donc strictement croissante sur
et strictement négative sur
.
et strictement décroissante sur
.
Calcul des extrema et des limites :
- su l’inte valle
:
Le maximum de la fonction est atteint en
et
L’équation
n’admet donc pas de solution sur
donc
pour tout
.
.
- sur l’inte valle
:
est continue et strictement croissante sur
, de plus
et
, d’où
On peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, et conclure que l’équation
unique solution sur
.
admet une
Remarque : on choisit des valeurs de a et b permettant d’appliquer le théorème (ici, 1 et 2).
- su l’inte valle
:
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CONTINUITÉ
est strictement croissante et
, d’où
L’équation
n’admet donc pas de solution sur
L’équation
admet donc une unique solution
pour tout
.
sur
.
.
D’a ès la calculat ice,
Courbe représentative de
et droite d’équation
:
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