UCA – ENS ALGEBRE 1 LE-MATH-S1 Chapitre I Logique et Raisonnement I. Notions de logique La logique dont nous parlons ici date de loin. Elle date des grecs. Elle est bâtie sur le principe qui dit que une chose ne peut être que vraie ou fausse mais pas les deux en même temps et elle ne pas non plus être ni vraie ni fausse. Nous allons donc présenter progressivement les notions fondamentales de cette logique, dite logique formelle. Et par la même occasion, nous allons assoir les règles et syntaxe du langage mathématique. Rappelons que le langage mathématique diffère du langage courant par sa rigueur et sa précision (définition précise de tout terme utilisé) et par son formalisme (utilisation des symboles et des formules). 1. Proposition - Assertion. Définition : Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux, mais pas les deux en même temps, ni, ni l’un ni l’autre. Rmq. Dans ce cours, nous utiliserons indifféremment le terme proposition ou assertion ! Exp. (P) : « » (P) est vraie. (Q) : « » (Q) est fausse. (R) : « Je suis la sœur de mon frère » : (R) est vraie. (S) : « Ali est le directeur » : (S) n’est pas une proposition. Table de vérité : Soit P une proposition. Quand P est vraie on di que sa valeur de vérité V, et on l’écrit . Si P est fausse, on dit que sa valeur de vérité est F et on l’écrit . Une table de vérité est un tableau dans lequel on résume les valeurs de vérité d’une proposition donnée. *La table de vérité de P est P V F Deux propositions sont dites équivalentes quand elles ont la même table de vérité. P Q : V V F F J. Charki 1 UCA – ENS ALGEBRE 1 LE-MATH-S1 Construction de proposition. Soient et deux propositions. Nous allons construire d’autres propositions à partir de et . 2. La négation : La négation de est notée fausse si est vraie. ou ou . Elle est vraie si P V F est fausse et elle est F V Table de vérité de nonP La négation de la négation de P est équivalente à P. Càd, Exp. * ** : Il est grand ; : ; : Il n’est pas grand. : ; . Dans la partie qui va suivre, nous allons étudier « la valeur de vérité d’une proposition construite à partir de et ». Une proposition du type où le sera « rempli » 3. La conjonction « et » La proposition « La proposition fausse sinon. » est notée . est vraie et est vraie si et seulement si V V F F V F V F est vraie. Elle est V F F F Table de vérité de P Q Le seul cas où Exp. Soit la proposition « Si Si Si Si Négation est vraie est le cas où alors l’assertion alors l’assertion et alors et alors sont toutes les deux vraies ! la proposition « ». est vraie. est fausse. est fausse. est fausse. : La négation de la proposition J. Charki » et et est la proposition ou encore ( ). 2 UCA – ENS Exp. Soit ALGEBRE 1 la proposition « » et est la négation de A, et ». . alors . Et elle est fausse Ecrire et évaluer la proposition la proposition « . est la négation de , et Si LE-MATH-S1 dans chacun des cas suivants : . et . et . 4. La disjonction « ou » : La proposition « » est notée . La proposition est vraie si au moins une des deux propositions vraie. Elle est fausse si les deux propositions et sont fausses. V V F F V F V F et est V V V F Table de vérité de P Q Le seul cas où Exp. Soit est fausse est le cas où l’assertion » et et sont toutes les deux fausses ! l’assertion « ». Si alors l’assertion est vraie. Si alors l’assertion est vraie. Si x≠ et x > 0 alors A B est vraie. Si et alors A B est fausse. Rmq. Dans le langage quotidien, le « ou » est souvent utilisé de manière exclusive: « Voulez vous un thé ou un café ? » ; « Allez-vous à droite ou à gauche ? ». C’est soit l’un, soit l’autre ! ⚠ Le « ou » inclusif dans une expression (P ou Q) indique que l’on peut avoir P ou Q ou les deux en même temps. Négation ⚠ : La négation de la proposition est la proposition Exp. Soit » et la proposition « est la négation de A, et J. Charki la proposition « ou encore ( ). ». . 3 UCA – ENS ALGEBRE 1 est la négation de , et Si LE-MATH-S1 . alors . Et elle est fausse Ecrire et évaluer la proposition dans chacun des cas suivants : . et . et . Propriétés : Soient , et a. b. c. d. e. f. trois propositions. Les propriétés suivantes sont vérifiées. . . . . On dit alors que et sont des lois commutatives (a. et b.) ; associatives (c. et d.).et distributive l’une par rapport à l’autre (e. et f.). Exercice : Montrer que les propriétés a., b., c., d., e., et f. sont vraies. J. Charki 4
