UCA – ENS ALGEBRE 1 LE-MATH-S1
J. Charki 1
Chapitre I
Logique et Raisonnement
I. Notions de logique
La logique dont nous parlons ici date de loin. Elle date des grecs.
Elle est bâtie sur le principe qui dit que une chose ne peut être que vraie ou fausse
mais pas les deux en même temps et elle ne pas non plus être ni vraie ni fausse.
Nous allons donc présenter progressivement les notions fondamentales de cette
logique, dite logique formelle. Et par la même occasion, nous allons assoir les
règles et syntaxe du langage mathématique. Rappelons que le langage
mathématique diffère du langage courant par sa rigueur et sa précision
(définition précise de tout terme utilisé) et par son formalisme (utilisation des
symboles et des formules).
1. Proposition - Assertion.
Définition : Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux, mais pas
Rmq. Dans ce cours, nous utiliserons indifféremment le terme proposition ou
assertion !
Exp. (P) : « » (P) est vraie.
(Q) : « » (Q) est fausse.
(R) : « » : (R) est vraie.
(S) : « Ali est le directeur »
Table de vérité : Soit P une proposition. Quand P est vraie on di que sa valeur de
vérité V, . Si P est fausse, on dit que sa valeur de vérité est F et
.
Une table de vérité est un tableau dans lequel on résume les valeurs de
proposition donnée.
Deux propositions sont dites équivalentes quand elles ont la même table de
vérité.
:
P
Q
V
V
F
F
*La table de vérité de P est
P
V
F
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Construction de proposition.
Soient et deux propositions propositions à
partir de et .
2. La négation :
La négation de est notée ou
ou . Elle est vraie si est fausse et elle est
fausse si est vraie.
P
V
F
F
V
Table de vérité de nonP
La négation de la négation de P est équivalente à P. Càd,
Exp. * : Il est grand ;
** : ; : ; .
Dans la partie qui va suivre, nous allons étudier « ne
proposition construite à partir de et ». Une proposition du type où le
sera « rempli »
3. La conjonction « et »
La proposition « » est notée .
La proposition est vraie si et seulement si est vraie et est vraie. Elle est
fausse sinon.
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Table de vérité de P
Q
Le seul cas où est vraie est le cas où et sont toutes les deux vraies !
Exp. Soit la proposition « » et la proposition « ».
Si est vraie.
Si est fausse.
Si et alors est fausse.
Si et alors est fausse.
Négation :
La négation de la proposition est la proposition
ou encore ( ).
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Exp. Soit la proposition « » et la proposition « ».
est la négation de A, et .
est la négation de , et
.
Si alors
. Et elle est fausse
Ecrire et évaluer la proposition
dans chacun des cas suivants :
.
et .
et .
4. La disjonction « ou » :
La proposition « » est notée .
La proposition est vraie si au moins une des deux propositions et est
vraie. Elle est fausse si les deux propositions et sont fausses.
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Table de vérité de P
Q
Le seul cas où est fausse est le cas où et sont toutes les deux fausses !
Exp. Soit » et ».
Si est vraie.
Si est vraie.
B est vraie.
Si et alors AB est fausse.
Rmq. Dans le langage quotidien, le « ou » est souvent utilisé de manière exclusive:
« Voulez vous un thé ou un café ? » ; « Allez-vous à droite ou à gauche ? »
! ⚠
Le « ou
ou les deux en même temps. ⚠
Négation :
La négation de la proposition est la proposition
ou encore ( ).
Exp. Soit la proposition « » et la proposition « ».
est la négation de A, et .
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est la négation de , et
.
Si alors
. Et elle est fausse
Ecrire et évaluer la proposition
dans chacun des cas suivants :
.
et .
et .
Propriétés :
Soient , et trois propositions. Les propriétés suivantes sont vérifiées.
a. .
b. .
c.
d.
e. .
f. .
On dit alors que et sont des lois commutatives (a. et b.) ; associatives (c. et d.).et
distributive l’une par rapport à l’autre (e. et f.).
Exercice : Montrer que les propriétés a., b., c., d., e., et f. sont vraies.
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