logique 2010

TS*-PCSI2
N. Véron-LMB
Eléments de logique 1 : Propositions et connecteurs logiques
On appelle proposition une affirmation qui peut être vraie ou fausse.
Exemples:
a) le carré d’un réel est positif est une proposition VRAI
b) la fonction sinus admet une limite en +∞ est une proposition..........
c)
2
est un rationnel est une proposition..........
d) la fonction cube est croissante sur R est une proposition. VRAI
VRAI ou FAUX est la valeur de vérité de la proposition.
Avec une ou deux propositions (P) et (Q) en peut en construire d’autres :
Négation d’une proposition : (non P) est la proposition vraie lorsque P est fausse
OU : (P) ou (Q) est vraie lorsque l’une des deux propositions au moins est vraie
ET : (P) et (Q) est vraie lorsque les deux propositions sont vraies
Exemples
 Donner la valeur de vérité des propositions suivantes
1+1=2 VRAI
2 est impair FAUX
2<6 VRAI
(1+1=2) ou 2<6 VRAI
(2 est impair) ou 2<6 VRAI
2≤6 VRAI
(1+1=2) et (2 est impair) FAUX
(1+1=2) et (2≤6) VRAI
Retenons:
(P ou Q) est FAUSSE lorsque les deux P et Q sont fausses et VRAIE sinon
(P et Q) est VRAIE lorsque les deux propositions sont vraies et FAUSSE sinon
le OU logique est inclusif alors que dans le langage courant le ou est le plus souvent
exclusif et a le sens de "ou bien".
Remarque: L'utilisation de l'accolade est une autre manière d'écrire ET, ainsi:
<
=+
62
2
1
1
est vrai alors que 
<62
impair
est
2
est faux
Formuler la négation des propositions suivantes
2 est impair 2 n'est pas impair ou encore 2 est pair
2<6 2≥6
2≤6 2>6
La carte cachée dans ma manche est un as ou un coeur
La carte cachée dans ma manche n'est ni un as, ni un coeur

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La carte cachée dans ma manche est une figure et est rouge
La carte cachée dans ma manche n'est pas une figure ou est noire
Nous pouvons retenir que les propositions de chacune des lignes suivantes ont la même
valeur de vérité
non(nonP) P
P ou Q Q ou P
P et Q Q et P
non (P ou Q) (non P) et (non Q)
non(P et Q) (non P) ou (non Q)
(P ou Q) ou R P ou (Q ou R)
(P et Q) et R P et (Q et R)
P ou (Q et R) (P ou Q) et (P ou R)
P et (Q ou R) (P et Q) ou (P et R)

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Eléments de logique 2 : les quantificateurs
Une proposition peut être vraie ou fausse en fonction d’une ou de plusieurs variables
(on parle alors de prédicat).
Exemples:
(P): ABC est isocèle en A dépend de ABC
(Q): x
2
>4 dépend de x
(R): x²+y²=1 dépend x et y
A partir d'une telle proposition notée p(x) on peut construire des propositions en
utilisant des quantificateurs:
∀
∀∀
∀ x ∈
∈∈
∈ E, p(x) signifie pour tout x dans E, p(x) est vraie
∃
∃∃
∃ x ∈
∈∈
∈ E, p(x) signifie il existe (au moins) un élément de E pour lequel p(x) est
vraie
Exemples:
Pour tout x∈[0,1], x²≤1 se note ∀x∈[0,1], x²≤1
Il existe un entier naturel n tel que u
n
est positif se note ∃n∈ , u
n
≥0
∀x∈ , x²≥0 est une proposition vraie
∃x∈ , x²-1=0 est une proposition. VRAIE par exemple x=1
∀x∈ , x²-1=0 est une proposition FAUSSE par exemple x=2
∃x∈ , x²+1=0 est une proposition. FAUSSE
Retenons: Pour montrer qu'une proposition écrite avec le quantificateur universel est
fausse, il suffit de trouver un contre-exemple, donc de montrer qu'il existe un élément
de E pour lequel p(x) est faux.
Avec cette idée en tête, écrire en français la négation des affirmations suivantes
A: Tous les chemins mènent à Rome.
Il existe un chemin qui ne mène pas à Rome
B: Tous les élèves de TS6 suivent la spécialité math
Il existe un élève qui ne fait pas la spécialité math
C: Il existe de gentils professeurs de mathématiques
Tous les professeurs de mathématiques sont méchants
D: Il existe des élèves de PCSI2 qui ne font pas leur travail.
Tous les élèves de PCSI2 font leur travail.
La négation de la proposition ∀
∀∀
∀ x ∈
∈∈
∈ E, p(x) s'écrit ∃
∃∃
∃ x ∈
∈∈
∈ E, non p(x)
La négation de la proposition ∃
∃∃
∃ x ∈
∈∈
∈ E, p(x) s'écrit ∀
∀∀
∀ x ∈
∈∈
∈ E, non p(x)

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Exercices de logique: propositions et quantificateurs
Déterminer les valeurs du réel x tels que les prédicats suivants soient vrais
P(x): (x<1) et (x²=4 ou x²=9)
Q(x): (x²=4) ou (x≥1 et x≤5)
R(x): 1x
x
1
+=
S(x): x≤x²
Soit la relation: x+y=x
3
+y
3
C'est un prédicat à deux variables.
a) Cette relation est-elle toujours vraie?
b) Existe-t-il des valeurs de x et de y pour lesquelles la relation est vraie.
c) Pour toute valeur de x, existe-t-il une valeur de y pour laquelle la relation est vraie?
d) Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses
P: ∀x∈R, ∃y∈ , x+y=x
3
+y
3
Q: ∃y∈R, ∀x∈R, x+y=x
3
+y
3
a) Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses
(1) ∀x∈ , -x≤ 0
(2) ∀x∈ , -x²≤ 0
(3) ∃x∈ , x>x²
(4) ∃x∈ , sinx=2
(5) ∀x∈
+
, ∃y∈ , x=y²
(6) ∃y∈ , ∀x∈
+
, x=y²
b) Ecrire leur négation
Ecrire les propositions suivantes avec des quantificateurs, en français puis
symboliquement.
a) (U
n
) est croissante
b) (U
n
)
n≥0
est minorée par 2
c) (U
n
)
n≥0
est minorée
d) (U
n
)
n≥0
a pour limite +∞.
e) f est la fonction nulle sur I
f) f s'annule sur I
g) f est constante sur I
h) f est strictement croissante sur I
Soit a,b et c trois réels strictement positifs
a) Démontrer que ab>1 ou a+b≤
1 1
a b
+
b) Peut-on avoir ab>1 et a+b≤
1 1
a b
+
c) Démontrer que (ab≥1 et a+b≤
1 1
a b
+
) ⇔ ab=1
d) On suppose abc>1 et a+b+c≤
1 1 1
a b c
+ +
, démontrer qu'aucun des nombres n'est égal à 1
et que l'un deux est inférieur à 1.