33 - Ondes EM dans les milieux

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Physique
ELECTROMAGNETISME
COURS
CH.33 : ONDES DANS UN MILIEU DIELECTRIQUE
Plan (Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe)
**********************
CH.31 : ONDES DANS UN MILIEU DIELECTRIQUE.......................................................................................1
I. APPROCHE MICROSCOPIQUE DE LA POLARISATION............................................................................1
I.1. DEFINITIONS.........................................................................................................................1
I.2. VECTEUR POLARISATION.................................................................................................1
II. CHARGES ET COURANTS LIES DANS UN DIELECTRIQUE.....................................................................2
II.1. CHARGES EQUIVALENTES DE POLARISATION ...........................................................2
II.2. COURANT EQUIVALENT DE POLARISATION ...............................................................2
III. DIELECTRIQUE LINEAIRE HOMOGENE ET ISOTROPE.......................................................................3
III.1. DIELECTRIQUE LINEAIRE .............................................................................................3
III.2. DIELECTRIQUE LINEAIRE ET ISOTROPE ...................................................................3
III.3. DIELECTRIQUE LINEAIRE HOMOGENE ET ISOTROPE (D.L.H.I) ..........................3
IV. O.P.P.M DANS UN MILIEU D.L.H.I...............................................................................................3
IV.1. EQUATIONS DE MAXWELL DANS UN D.L.H.I...........................................................3
IV.2. RELATION DE DISPERSION ; STRUCTURE DE L’ ONDE .........................................4
IV.3. MILIEU TRANSPARENT ; MILIEU ABSORBANT........................................................4
V. MODELE DE L’ ELECTRON ELASTIQUEMENT LIE..................................................................................5
V.1. RESULTATS EXPERIMENTAUX........................................................................................5
V.2. HYPOTHESES UTILISEES DANS LE MODELE................................................................6
V.3. MISE EN EQUATIONS ; COURBES DES INDICES ...........................................................6
V.4. INTERPRETATION DES COURBES....................................................................................7
VI. INTERFACE DE DEUX D.L.H.I PARFAITS.......................................................................................7
VI.1. RELATIONS DE PASSAGE ; STRUCTURE DE L’ ONDE.............................................7
VI.2. OBTENTION DES LOIS DE DESCARTES ...................................................................8
VI.3. REFLEXION ET TRANSMISSION SOUS INCIDENCE NORMALE ............................8
VI.3.1. Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude ..................................................8
VI.3.2. Coefficients de réflexion et de transmission en puissance...................................................9
**********************
I. APPROCHE MICROSCOPIQUE DE LA POLARISATION
I.1. DEFINITIONS
• Diélectrique : synonyme d’isolant.
• Molécule polaire : c’est une molécule dont les barycentres des charges positives et négatives
ne coïncident pas : elle possède un moment électrique permanent, même en l’absence de
champ électrique extérieur.
• Molécule polarisable : c’est une molécule ne possédant pas de moment électrique
permanent, mais susceptible d’en acquérir un sous l’action d’un champ électrique extérieur
(déformation du nuage électronique).
I.2. VECTEUR POLARISATION
• Les répartitions de charges liées à l’intérieur d’un diélectrique sont complexes et il en sera de
même pour le potentiel électrique
V
créé à une distance
r
des charges ; on peut néanmoins
développer
V
selon les puissances croissantes de
1/
r
(= « développement multipolaire ») : plus
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la distance moyenne entre les charges du milieu sera grande, moins de termes seront
nécessaires pour exprimer
V
de manière satisfaisante.
• Pour une distribution de charge totale nulle (milieu non ionisé), le terme monopolaire en
1/
r
s’annule et le terme dipolaire en
2
1/
r
sera prépondérant : pour les diélectriques étudiés,
nous négligerons les termes supérieurs à
2
1/
r
⇒ les charges liées d’un diélectrique seront
assimilées, du point de vue de leurs actions, à une distribution de DIPOLES ELECTRIQUES.
• A l’échelle mésoscopique, la distribution de charges sera caractérisée par un champ appelé
« vecteur polarisation », représentant la densité volumique de moment électrique :
(,)
dp
Prt
d
τ
=
r
r
r
(en
2
.
Cm
−
)
Rq : l’apparition de ce vecteur polarisation, induit dans un diélectrique par un champ électrique
extérieur, constitue le phénomène de « polarisation » : c’est la « réponse » du milieu à une
sollicitation extérieure.
II. CHARGES ET COURANTS LIES DANS UN DIELECTRIQUE
II.1. CHARGES EQUIVALENTES DE POLARISATION
+
-
+
-
+
-
+++ + + + +
----- - -
ext
E
r
n
r
P
r
'
n
r
P
P
σ
=
'P
P
σ
=−
On considère le cas simple ci-contre où une
lame de diélectrique, soumise à un champ
électrique extérieur, présente une polarisation
uniforme: la lame est alors assimilée à un
empilement de dipôles parallèles.
• Le vecteur polarisation étant uniforme, les charges « plus » et « moins » des dipôles consécutifs
se compensent dans le volume de la lame, à l’échelle mésoscopique ; en revanche, il apparaît
sur les faces inférieure et supérieure de la lame, deux couches de charges liées non
compensées.
On peut facilement imaginer que pour une polarisation non uniforme (
0
divP
≠
r
), les charges
« plus » et « moins » ne se compenseront pas exactement en volume.
• De manière plus générale, on montre que le potentiel et le champ électrique créés à l’extérieur
par ces charges de polarisation sont équivalents à ceux créés par les densités suivantes :
P
divP
ρ=−
r
= « densité volumique de charges de polarisation »
P
Pn
σ
=⋅
r
r
= « densité surfacique de charges de polarisation » (
n
r
= normale sortante)
Rq : ces excédents de charges sont réels, les charges de polarisation ne sont pas fictives :
simplement, par rapport à des charges de conduction, elles ne peuvent être drainées à l’extérieur
du diélectrique (en revanche,
et
PP
ρσ
sont des équivalents mathématiques).
II.2. COURANT EQUIVALENT DE POLARISATION
• Lorsque la polarisation varie (sous l’action d’un champ électrique extérieur lui-même variable),
les barycentres des charges positives et négatives du diélectrique se déplacent de manière
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microscopique : ces déplacements de charges liées, appelés « courants de polarisation », ont
des effets bien réels (effet thermique, source de champ magnétique…).
• Soit
P
j
r
la densité de ces courants volumiques ; l’équation locale de conservation de la charge
permet d’écrire : ()
0 0 0
P
PPP
divPP
divjdivjdivjdiv
ttt
ρ ∂∂−∂
+=⇒+=⇒−=
∂∂∂
rr
rrr
⇒
0
PP
divj t
∂
−=
∂
r
r
On admettra la relation :
(,)
(,)
P
Prt
jrt
t
∂
=
∂
r
r
r
r = « densité de courant de polarisation »
III. DIELECTRIQUE LINEAIRE HOMOGENE ET ISOTROPE
III.1. DIELECTRIQUE LINEAIRE
De façon générale, il faut une relation constitutive du milieu, permettant de relier le
vecteur
P
r
(la réponse du milieu) au champ électrique
E
r
; en notation complexe, et pour un
diélectrique linéaire, on peut écrire :
0
(,)
PrE
εχω =
rr
r
où
(,)
r
χω
r
est le « tenseur de susceptibilité complexe »
III.2. DIELECTRIQUE LINEAIRE ET ISOTROPE
Dans ce cas, le tenseur de susceptibilité est un scalaire, et l’on a :
0
(,)
PrE
εχω=
rr
r
où
(,)
r
χω
r
est la susceptibilité complexe du milieu
Rq : les milieux anisotropes seront utilisés en TP (polariseurs, lames quart ou demi-onde…)
III.3. DIELECTRIQUE LINEAIRE HOMOGENE ET ISOTROPE (D.L.H.I)
• La susceptibilité complexe ne dépend alors plus du point du milieu considéré : elle ne dépend
que de la pulsation
ω
.
• Nous en donnerons un exemple avec le « modèle de l’électron élastiquement lié » dans les
milieux D.L.H.I peu denses.
IV. O.P.P.M DANS UN MILIEU D.L.H.I
IV.1. EQUATIONS DE MAXWELL DANS UN D.L.H.I
• En l’absence de charges libres, l’équation de Maxwell-Gauss s’écrit :
00
() (1)0
PdivP
divEdivEdivE
ρχχ
εε
==−=−⇒+=
r
rrr
⇒ pour
1
χ
≠−
, on a :
0
divE
=
r
(1)
• On a toujours :
0
divB
=
r
(2) et :
B
rotE
t
∂
=−
∂
r
uuur
r
(3)
• Enfin, en l’absence de courants libres, l’équation de Maxwell-Ampère conduit à :
000000P
EPE
rotBj
ttt
µεµµεµ
∂∂∂
=+=+
∂∂∂
rrr
uuur
r
r
⇒ 00
(1)
E
rotB
t
εµχ
∂
=+
∂
r
uuur
r
(4)
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