33 - Ondes EM dans les milieux

Physique
ELECTROMAGNETISME
COURS
CH.33 : ONDES DANS UN MILIEU DIELECTRIQUE
Plan (Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe)
**********************
CH.31 : ONDES DANS UN MILIEU DIELECTRIQUE ....................................................................................... 1
I.
APPROCHE MICROSCOPIQUE DE LA POLARISATION............................................................................ 1
I.1.
I.2.
II.
DEFINITIONS......................................................................................................................... 1
VECTEUR POLARISATION ................................................................................................. 1
CHARGES ET COURANTS LIES DANS UN DIELECTRIQUE..................................................................... 2
II.1.
II.2.
III.
CHARGES EQUIVALENTES DE POLARISATION ........................................................... 2
COURANT EQUIVALENT DE POLARISATION ............................................................... 2
DIELECTRIQUE LINEAIRE HOMOGENE ET ISOTROPE....................................................................... 3
III.1.
III.2.
III.3.
IV.
DIELECTRIQUE LINEAIRE ............................................................................................. 3
DIELECTRIQUE LINEAIRE ET ISOTROPE ................................................................... 3
DIELECTRIQUE LINEAIRE HOMOGENE ET ISOTROPE (D.L.H.I) .......................... 3
O.P.P.M DANS UN MILIEU D.L.H.I............................................................................................... 3
IV.1.
IV.2.
IV.3.
V.
EQUATIONS DE MAXWELL DANS UN D.L.H.I........................................................... 3
RELATION DE DISPERSION ; STRUCTURE DE L’ ONDE ......................................... 4
MILIEU TRANSPARENT ; MILIEU ABSORBANT........................................................ 4
MODELE DE L’ ELECTRON ELASTIQUEMENT LIE .................................................................................. 5
V.1.
V.2.
V.3.
V.4.
VI.
RESULTATS EXPERIMENTAUX........................................................................................ 5
HYPOTHESES UTILISEES DANS LE MODELE................................................................ 6
MISE EN EQUATIONS ; COURBES DES INDICES ........................................................... 6
INTERPRETATION DES COURBES .................................................................................... 7
INTERFACE DE DEUX D.L.H.I PARFAITS ....................................................................................... 7
VI.1.
VI.2.
VI.3.
VI.3.1.
VI.3.2.
RELATIONS DE PASSAGE ; STRUCTURE DE L’ ONDE............................................. 7
OBTENTION DES LOIS DE DESCARTES ................................................................... 8
REFLEXION ET TRANSMISSION SOUS INCIDENCE NORMALE ............................ 8
Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude .................................................. 8
Coefficients de réflexion et de transmission en puissance................................................... 9
**********************
I.
APPROCHE MICROSCOPIQUE DE LA POLARISATION
I.1.
DEFINITIONS
• Diélectrique : synonyme d’isolant.
• Molécule polaire : c’est une molécule dont les barycentres des charges positives et négatives
ne coïncident pas : elle possède un moment électrique permanent, même en l’absence de
champ électrique extérieur.
• Molécule polarisable :
c’est une molécule ne possédant pas de moment électrique
permanent, mais susceptible d’en acquérir un sous l’action d’un champ électrique extérieur
(déformation du nuage électronique).
I.2.
VECTEUR POLARISATION
• Les répartitions de charges liées à l’intérieur d’un diélectrique sont complexes et il en sera de
même pour le potentiel électrique V créé à une distance r des charges ; on peut néanmoins
développer V selon les puissances croissantes de 1/ r (= « développement multipolaire ») : plus
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la distance moyenne entre les charges du milieu sera grande, moins de termes seront
nécessaires pour exprimer V de manière satisfaisante.
• Pour une distribution de charge totale nulle (milieu non ionisé), le terme monopolaire en 1/ r
1/ r 2 sera prépondérant : pour les diélectriques étudiés,
2
nous négligerons les termes supérieurs à 1/ r ⇒ les charges liées d’un diélectrique seront
s’annule et le terme dipolaire en
assimilées, du point de vue de leurs actions, à une distribution de DIPOLES ELECTRIQUES.
• A l’échelle mésoscopique, la distribution de charges sera caractérisée par un champ appelé
« vecteur polarisation », représentant la densité volumique de moment électrique :
r
r r
dp
P( r, t ) =
dτ
(en
C .m −2 )
Rq : l’apparition de ce vecteur polarisation, induit dans un diélectrique par un champ électrique
extérieur, constitue le phénomène de « polarisation » : c’est la « réponse » du milieu à une
sollicitation extérieure.
II.
CHARGES ET COURANTS LIES DANS UN DIELECTRIQUE
II.1. CHARGES EQUIVALENTES DE POLARISATION
r
n
r
Eext
+ + + +
+
+
- - - -
+ + + +
σP = P
-
σ 'P = − P
r
P
r
n'
-
-
-
On considère le cas simple ci-contre où une
lame de diélectrique, soumise à un champ
électrique extérieur, présente une polarisation
uniforme: la lame est alors assimilée à un
empilement de dipôles parallèles.
• Le vecteur polarisation étant uniforme, les charges « plus » et « moins » des dipôles consécutifs
se compensent dans le volume de la lame, à l’échelle mésoscopique ; en revanche, il apparaît
sur les faces inférieure et supérieure de la lame, deux couches de charges liées non
compensées.
r
On peut facilement imaginer que pour une polarisation non uniforme ( divP ≠ 0 ), les charges
« plus » et « moins » ne se compenseront pas exactement en volume.
• De manière plus générale, on montre que le potentiel et le champ électrique créés à l’extérieur
par ces charges de polarisation sont équivalents à ceux créés par les densités suivantes :
r
ρ P = −divP
r r
σP = P⋅n
=
=
« densité volumique de charges de polarisation »
« densité surfacique de charges de polarisation »
r
( n = normale sortante)
Rq : ces excédents de charges sont réels, les charges de polarisation ne sont pas fictives :
simplement, par rapport à des charges de conduction, elles ne peuvent être drainées à l’extérieur
du diélectrique (en revanche, ρ P et σ P sont des équivalents mathématiques).
II.2. COURANT EQUIVALENT DE POLARISATION
• Lorsque la polarisation varie (sous l’action d’un champ électrique extérieur lui-même variable),
les barycentres des charges positives et négatives du diélectrique se déplacent de manière
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microscopique : ces déplacements de charges liées, appelés « courants de polarisation », ont
des effets bien réels (effet thermique, source de champ magnétique…).
• Soit
r
jP la densité de ces courants volumiques ; l’équation locale de conservation de la charge
permet d’écrire :
r
r
r
r ∂ρ P
r ∂( −divP)
r
 ∂P 
 r ∂P 
divj P +
= 0 ⇒ divj P +
= 0 ⇒ divj P − div   = 0 ⇒ div  j P −
=0
∂t
∂t
∂t 
 ∂t 

r r
r r
∂P ( r , t )
j P (r , t) =
On admettra la relation :
= « densité de courant de polarisation »
∂t
III. DIELECTRIQUE LINEAIRE HOMOGENE ET ISOTROPE
III.1. DIELECTRIQUE LINEAIRE
De façon générale, il faut une relation constitutive du milieu, permettant de relier le
r
vecteur P (la réponse du milieu) au champ électrique
diélectrique linéaire, on peut écrire :
r
r
r
P = ε 0  χ( r , ω)  E
où
r
E ; en notation complexe, et pour un
r
 χ (r , ω )  est le « tenseur de susceptibilité complexe »
III.2. DIELECTRIQUE LINEAIRE ET ISOTROPE
Dans ce cas, le tenseur de susceptibilité est un scalaire, et l’on a :
r
r
r
P = ε 0 χ (r , ω ) E
où
r
χ ( r , ω ) est la susceptibilité complexe du milieu
Rq : les milieux anisotropes seront utilisés en TP (polariseurs, lames quart ou demi-onde…)
III.3. DIELECTRIQUE LINEAIRE HOMOGENE ET ISOTROPE (D.L.H.I)
• La susceptibilité complexe ne dépend alors plus du point du milieu considéré : elle ne dépend
que de la pulsation ω .
• Nous en donnerons un exemple avec le « modèle de l’électron élastiquement lié » dans les
milieux D.L.H.I peu denses.
IV. O.P.P.M DANS UN MILIEU D.L.H.I
IV.1. EQUATIONS DE MAXWELL DANS UN D.L.H.I
• En l’absence de charges libres, l’équation de Maxwell-Gauss s’écrit :
r
r ρP
r
r
divP
divE =
=−
= −div( χ E) ⇒ (1 + χ ) divE = 0 ⇒ pour χ ≠ −1 , on a :
ε0
ε0
r
uuur r
r
∂B
divB = 0
rotE = −
• On a toujours :
(2)
et :
(3)
∂t
r
divE = 0
(1)
• Enfin, en l’absence de courants libres, l’équation de Maxwell-Ampère conduit à :
r
r
r
uuur r
r
∂E
∂P
∂E
rotB = µ0 jP + ε 0 µ0
=µ0
+ ε 0µ 0
⇒
∂t
∂t
∂t
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r
uuur r
∂E
rotB = ε 0µ 0 (1 + χ )
∂t
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(4)
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