DS de Mathématiques n 3 — 19 octobre 2013

Lycée Jean Bart — PCSI – Année 2013-2014
DS de Mathématiques n03 — 19 octobre 2013
Consignes et indications
äLa durée du devoir est de 2 heures, les calculatrices sont interdites.
äLe sujet est rédigé sur 4 pages, et est constitué de 4 exercices et d’un problème, au sein desquels les questions
sont souvent indépendantes.
äN’oubliez pas :
– de numéroter vos copies ;
– d’encadrer ou de souligner les résultats à la fin de chaque question ;
– qu’en cas de besoin, vous avez le droit d’admettre le résultat d’une question pour passer à la suivante ;
– d’accorder du soin à la présentation, et à votre rédaction (faites des phrases, n’oubliez pas les quantificateurs,
soyez précis dans votre argumentation).
äEnfin, ce sujet peut se révéler trop long : traitez donc en priorité les questions qui vous semblent les plus
simples.
Exercice 1— (Fonctions). Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
1) Déterminer l’ensemble de définition, étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction :
f:x7−→ ln (ch x)
2) Soit yun réel arbitraire. On considère l’équation
(E1) : sh (x) = y
a) Sans la résoudre, justifier que l’équation (E1) possède une unique solution dans R.
b) Résoudre dans Rl’équation (E1).
3) Résoudre dans Rl’équation
(E2) : 9x−3x+1 + 4 = 0
Exercice 2— (Cosinus hyperbolique complexe). On définit une application (sur Cet à valeurs
dans C) notée CH en posant :
CH :C//C
z//
ez+e−z
2
Cette définition étend à Ccelle du cosinus hyperbolique d’un réel que vous connaissez déjà.
1) L’application CH est-elle injective ?
2) Résoudre dans Cl’équation : CH (z)=1.

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Exercice 3— (Complexes et géométrie).
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O;−→ u , −→ v).
Dans cet exercice, kdésigne un réel non-nul, ωun nombre complexe, et Ωle point d’affixe ω.
On considère la tranformation Hdu plan qui à tout point Md’affixe zassocie le point M0d’affixe z0avec :
z0=k(z−ω) + ω
On pourra admettre que Hest l’homothétie de centre Ωet de rapport k.
1) On considère Met Ndeux points distincts du plan ; on note M0et N0leurs images respectives par H. Et on
note m,m0,net n0les affixes respectives des points M,M0,Net N0.
Calculer le rapport M0N0
MN .
2) On considère à présent M(m),N(n),P(p)et Q(q)quatre points du plan, avec Mdistinct de Net Pdistinct
de Q. On note M0(m0),N0(n0),P0(p0)et Q0(q0)les images respectives de ces points par H.
Démontrer que −−−→ M0N0,−−→ P0Q0=−−→ MN,−−→ P Q.∗
Exercice 4— (Trigonométrie et applications du formulaire).
1) Démonstrations de deux formules de trigonométrie
a) Soient aet bdeux nombres réels. Rappeler les formules donnant cos (a+b)et cos (a−b).
b) Déduire de la question précédente la formule donnant cos (a) cos (b)pour aet bréels.
c) A l’aide ce qui précède, établir la formule suivante :
∀(p, q)∈R2,cos (p) + cos (q) = 2 cos p+q
2cos p−q 2
2) Applications des formules précédentes
a) Calculer l’intégrale : I=Zπ
0
cos (x) cos (3x)dx
b) Résoudre dans Rl’équation (E) : cos (x) + cos (2x) + cos (3x)=0
∗. Rappelons que dans cette situation, on dit que Hconserve les angles orientés.

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Problème —(Vers la constante de Catalan).
Questions préliminaires. Les trois questions ci-dessous sont indépendantes.
Q1) Parmi les quatre fonctions : ch, sh, th et arctan, laquelle (ou lesquelles) est (ou sont) bornée(s) sur R? On
précisera les bornes le cas échéant.
Q2) Calculer la limite lorsque xtend vers +∞de
ϕ(x) = x
1 + x2−arctan (x)
Q3) Soient xun réel, et nun entier naturel. Calculer les sommes :
S1(x) =
n
X
k=0
xk;S2(x) =
n
X
k=0
x2ket S3(x) =
n
X
k=0
(−1)kx2k
Partie A - Etude d’une famille de fonctions.
Pour kun réel positif ou nul, on définit la fonction fksur R∗en posant :
∀x∈R∗, fk(x) = k+ arctan(x)
x
On note Ckla courbe représentative dans la fonction fkdans un repère orthonormé du plan.
A-1) Le cas k= 0.
A-1-1) Etudier la parité de f0.
A-1-2) Montrer que f0admet en +∞une limite finie `que l’on déterminera.
A-1-3) Dresser le tableau de variation de f0(on admettra que la limite de f0en 0est 1).
A-2) Le cas k > 0.
Soit kun réel quelconque.
A-1-1) Déterminer les limites de fken +∞et en −∞.
A-1-2) Après avoir justifié la dérivabilité de fksur R∗, calculer sa dérivée et l’écrire sous la forme :
∀x∈R∗, f0
k(x) = 1
x2gk(x)
où gkest une fonction à déterminer.
A-1-3) Justifier brièvement que gkest dérivable sur R, et établir que :
∀x∈R, g0
k(x) = −2x2
(1 + x2)2
A-1-4) Déduire de la question précédente le tableau de variation de gksur R; préciser les limites en ±∞.
A-1-5) Déduire de la question précédente le tableau de signes de gksur R(on pourra distinguer plusieurs cas
suivant les valeurs de k).
A-1-6) Déduire de la question précédente et de la question A-1-2 le tableau de variation de fksur R∗.

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Partie B - Sommes, arctangente, et constante de Catalan.
Le but de cette question est d’obtenir une valeur approchée de l’intégrale
I=Z1
0
f0(x)dx=Z1
0
arctan(x)
xdx
Cette intégrale est appelée constante de Catalan.
B-1) Soit nun entier naturel, et xun réel positif. Montrer que :
1
1 + x2="n
X
k=0
(−1)kx2k#+ (−1)n+1 x2(n+1)
1 + x2
B-2) Soit tun réel positif. En intégrant terme à terme la relation de la question précédente entre 0et t, établir
que :
arctan(t) = "n
X
k=0
(−1)k
2k+ 1t2k+1#+ψ(t)
où ψest une fonction vérifiant : ∀t∈R+,|ψ(t)|6t2n+3
2n+ 3
B-3) En déduire la majoration :
∀n∈N, I−
n
X
k=0
(−1)k
(2k+ 1)2
61
(2n+ 3)2
B-4) Quelle est la plus petite valeur de npour laquelle Sn=
n
X
k=0
(−1)k
(2k+ 1)2est une valeur approchée de Ià10−2
près ? Préciser la valeur de Sndans ce cas.
Barème indicatif. Ex 1 : 10pts (1) : 3pts ; 2) 4pts ; 3) 3pts) – Ex2 : 5pts – Ex3 : 8pts – Ex4 : 13pts (1) : 6pts ;
2) 7pts)
– Problème : 44pts (Q1 et Q2 : 2pts chacune ; Q3 : 6pts ; Partie A : 21pts ; Partie B : 13pts) — Total : 80pts.