DS de Mathématiques n 3 — 19 octobre 2013

Lycée Jean Bart — PCSI – Année 2013-2014
DS de Mathématiques n0 3 — 19 octobre 2013
Consignes et indications
ä La durée du devoir est de 2 heures, les calculatrices sont interdites.
ä Le sujet est rédigé sur 4 pages, et est constitué de 4 exercices et d’un problème, au sein desquels les questions
sont souvent indépendantes.
ä N’oubliez pas :
– de numéroter vos copies ;
– d’encadrer ou de souligner les résultats à la fin de chaque question ;
– qu’en cas de besoin, vous avez le droit d’admettre le résultat d’une question pour passer à la suivante ;
– d’accorder du soin à la présentation, et à votre rédaction (faites des phrases, n’oubliez pas les quantificateurs,
soyez précis dans votre argumentation).
ä Enfin, ce sujet peut se révéler trop long : traitez donc en priorité les questions qui vous semblent les plus
simples.
Exercice 1 — (Fonctions).
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
1) Déterminer l’ensemble de définition, étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction :
f : x 7−→ ln (ch x)
2) Soit y un réel arbitraire. On considère l’équation
sh (x) = y
(E1) :
a) Sans la résoudre, justifier que l’équation (E1) possède une unique solution dans R.
b) Résoudre dans R l’équation (E1).
3) Résoudre dans R l’équation
9x − 3x+1 + 4 = 0
(E2) :
Exercice 2 — (Cosinus hyperbolique complexe).
dans C) notée CH en posant :
/C
CH : C
z
On définit une application (sur C et à valeurs
/
ez
+ e−z
2
Cette définition étend à C celle du cosinus hyperbolique d’un réel que vous connaissez déjà.
1) L’application CH est-elle injective ?
2) Résoudre dans C l’équation : CH (z) = 1.
PCSI — Devoir surveillé de Mathématiques n0 3 — 19 octobre 2013
2
Exercice 3 — (Complexes et géométrie).
−
−
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O; →
u,→
v ).
Dans cet exercice, k désigne un réel non-nul, ω un nombre complexe, et Ω le point d’affixe ω.
On considère la tranformation H du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M 0 d’affixe z 0 avec :
z 0 = k (z − ω) + ω
On pourra admettre que H est l’homothétie de centre Ω et de rapport k.
1) On considère M et N deux points distincts du plan ; on note M 0 et N 0 leurs images respectives par H. Et on
note m, m0 , n et n0 les affixes respectives des points M , M 0 , N et N 0 .
Calculer le rapport
M 0N 0
.
MN
2) On considère à présent M (m), N (n), P (p) et Q(q) quatre points du plan, avec M distinct de N et P distinct
de Q. On note M 0 (m0 ), N 0 (n0 ), P 0 (p0 ) et Q0 (q 0 ) les images respectives de ces points par H.
−−−→ −−→ −−→ −−→
Démontrer que M 0 N 0 , P 0 Q0 = M N , P Q . ∗
Exercice 4 — (Trigonométrie et applications du formulaire).
1) Démonstrations de deux formules de trigonométrie
a) Soient a et b deux nombres réels. Rappeler les formules donnant cos (a + b) et cos (a − b).
b) Déduire de la question précédente la formule donnant cos (a) cos (b) pour a et b réels.
c) A l’aide ce qui précède, établir la formule suivante :
∀ (p, q) ∈
R2 ,
cos (p) + cos (q) = 2 cos
p+q
2
2) Applications des formules précédentes
Z
a) Calculer l’intégrale : I =
π
cos (x) cos (3x) dx
0
b) Résoudre dans R l’équation (E) : cos (x) + cos (2x) + cos (3x) = 0
∗. Rappelons que dans cette situation, on dit que H conserve les angles orientés.
cos
p−q
2
PCSI — Devoir surveillé de Mathématiques n0 3 — 19 octobre 2013
3
Problème — (Vers la constante de Catalan).
Questions préliminaires. Les trois questions ci-dessous sont indépendantes.
Q1) Parmi les quatre fonctions : ch, sh, th et arctan, laquelle (ou lesquelles) est (ou sont) bornée(s) sur R ? On
précisera les bornes le cas échéant.
Q2) Calculer la limite lorsque x tend vers +∞ de
ϕ(x) =
x
− arctan (x)
1 + x2
Q3) Soient x un réel, et n un entier naturel. Calculer les sommes :
S1 (x) =
n
X
k
x ;
S2 (x) =
k=0
n
X
x
2k
et S3 (x) =
k=0
n
X
(−1)k x2k
k=0
Partie A - Etude d’une famille de fonctions.
Pour k un réel positif ou nul, on définit la fonction fk sur R∗ en posant :
∀ x ∈ R∗ ,
fk (x) =
k + arctan(x)
x
On note Ck la courbe représentative dans la fonction fk dans un repère orthonormé du plan.
A-1) Le cas k = 0.
A-1-1) Etudier la parité de f0 .
A-1-2) Montrer que f0 admet en +∞ une limite finie ` que l’on déterminera.
A-1-3) Dresser le tableau de variation de f0 (on admettra que la limite de f0 en 0 est 1).
A-2) Le cas k > 0.
Soit k un réel quelconque.
A-1-1) Déterminer les limites de fk en +∞ et en −∞.
A-1-2) Après avoir justifié la dérivabilité de fk sur R∗ , calculer sa dérivée et l’écrire sous la forme :
∀ x ∈ R∗ ,
f 0 k (x) =
1
gk (x)
x2
où gk est une fonction à déterminer.
A-1-3) Justifier brièvement que gk est dérivable sur R, et établir que :
∀ x ∈ R,
g 0 k (x) = −
2x2
(1 + x2 )2
A-1-4) Déduire de la question précédente le tableau de variation de gk sur R ; préciser les limites en ±∞.
A-1-5) Déduire de la question précédente le tableau de signes de gk sur R (on pourra distinguer plusieurs cas
suivant les valeurs de k).
A-1-6) Déduire de la question précédente et de la question A-1-2 le tableau de variation de fk sur R∗ .
4
PCSI — Devoir surveillé de Mathématiques n0 3 — 19 octobre 2013
Partie B - Sommes, arctangente, et constante de Catalan.
Le but de cette question est d’obtenir une valeur approchée de l’intégrale
Z
1
I=
Z
1
f0 (x) dx =
0
0
arctan(x)
dx
x
Cette intégrale est appelée constante de Catalan.
B-1) Soit n un entier naturel, et x un réel positif. Montrer que :
" n
#
2(n+1)
X
1
k 2k
n+1 x
=
(−1)
x
+
(−1)
1 + x2
1 + x2
k=0
B-2) Soit t un réel positif. En intégrant terme à terme la relation de la question précédente entre 0 et t, établir
que :
" n
#
X (−1)k
2k+1
+ ψ(t)
arctan(t) =
t
2k + 1
k=0
où ψ est une fonction vérifiant : ∀ t ∈ R+ ,
|ψ(t)| 6
t2n+3
2n + 3
B-3) En déduire la majoration :
∀ n ∈ N,
n
k X
(−1)
1
I −
6
2
(2k + 1) (2n + 3)2
k=0
B-4) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle Sn =
n
X
(−1)k
−2
2 est une valeur approchée de I à 10
(2k
+
1)
k=0
près ? Préciser la valeur de Sn dans ce cas.
Barème indicatif . Ex 1 : 10pts (1) : 3pts ; 2) 4pts ; 3) 3pts) – Ex2 : 5pts – Ex3 : 8pts – Ex4 : 13pts (1) : 6pts ;
2) 7pts)
– Problème : 44pts (Q1 et Q2 : 2pts chacune ; Q3 : 6pts ; Partie A : 21pts ; Partie B : 13pts) — Total : 80pts.