f - IMJ-PRG

LES D´ ERIVATEURS
ALEXANDRE GROTHENDIECK
Chapitre XV
Th´eor`emes de factorisation
(Mod`eles (2))

Ce texte a ´et´e d´echiffr´e et transcrit en L
A
T
EX 2εpar M. K¨unzer. Il a ´et´e ´edit´e par M. K¨unzer,
J. Malgoire, et G. Maltsiniotis. La transcription est aussi fid`ele que possible au manuscrit.
Seules quelques corrections mineures ´evidentes ont ´et´e effectu´ees. Pour les rares ajouts
ou commentaires des ´editeurs, ainsi que pour la num´erotation originale des pages du
manuscrit, les caract`eres de machine `a ´ecrire [typewriter] entre crochets sont utilis´es.
Cette ´edition est provisoire. Les remarques, commentaires et corrections sont bienvenus.
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G. Maltsiniotis

A. Grothendieck : D´erivateurs, Ch. XV, ´ Edition des Universit´es de Montpellier II et Paris VII
[page 1]
1 Construction fondamentale : la suite transfinie de
factorisation d’une fl`eche f.
Soit Mune U-cat´egorie, stable par “petites” (i.e. U-petites) lim
-filtrantes. Soit
(1.1) C0⊂Fl(M)
un petit ensemble de fl`eches, on se propose de construire pour toute fl`eche fde M, une
factorisation
(1.2) f=p i , i ∈f C0= ((C0)∗)∗, p ∈(C0)∗.
Pour ceci, on va construire une suite ordinale de foncteurs
(1.3) 
f-Xα(f) = Xα(C0, f)
Xα: Fl(M)-M
et des homomorphismes fonctoriels
(1.4) iα(f) : source f-Xα(f),
(1.5) pα(f) : Xα(f)-but f ,
de sorte qu’on aura le diagramme (o`u X= source f,Y= but f)
(1.6)
X-
fY
@
@R
iα(f)¡
¡µ
pα(f)
Xα(f) ,
ce diagramme ´etant commutatif
(1.7) f=pα(f)iα(f).
On peut dire aussi qu’on a une section du foncteur canonique de “composition”, transpos´e
de ∆1-∆2, donn´e par 0 -0, 1 -2 :
(1.8) 
Nerf2(M)-
γNerf1(M) = Fl(M) ,
y
Φα
Φ comme “factorisation”,
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A. Grothendieck : D´erivateurs, Ch. XV, ´ Edition des Universit´es de Montpellier II et Paris VII
[page 2]
o`u
(1.9) Φα(f) = {X-
iα(f)Xα(f)- pα(f)Y}
avec pα(f)iα(f) = f. La fonctorialit´e de 1.4 et 1.5, ou celle de Φα,i.e. de 1.9, s’exprime
par le fait que tout carr´e commutatif
(1.10)
X-
fY
?
uX
?
uY
X0-
f0
Y0
dans M, interpr´et´e comme fl`eche u= (uX, uY) de fdans f0dans Fl(M), donne naissance
au double carr´e commutatif
(1.11)
X-
iα(f)Xα(f)- pα(f)Y
?
uX
?
Xα(u)
?
uY
X0-
iα(f0)Xα(f0)- pα(f0)Y0.
N.B. Quand on voudra expliciter la d´ependance de ces constructions par rapport `a C0,
on ´ecrira
Xα(C0, f), iα(C0, f), pα(C0, f),Φα(C0, f),
ou
Xα(C0,−) ou XC0
α, iα(C0,−) ou iC0 αetc. ,
au lieu de Xα(f), iα(f), . . .
Voici les propri´et´es essentielles du syst`eme inductif ordinal des Xα(f) ou Φα(f).
[page 3]
1. X0(f) = X,i0(f) = idX,p0(f) = f(i.e. la factorisation Φ0(f) de fest la factorisation
triviale X-
idXX- fY).
2.
Xα+1(f) = X1(pα(f))
iα+1(f) = i1(pα(f)) ◦iα(f)
pα+1(f) = p1(pα(f))
X
|{z}
= source f
-
iα(f)Xα(f)- pα(f)Y
z
f
X1(pα(f))
| {z }
=Xα+1(f)
-i1(pα(f))
6
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A. Grothendieck : D´erivateurs, Ch. XV, ´ Edition des Universit´es de Montpellier II et Paris VII
ou mieux
(1.12)
X-
fY
?
id
?
id
X-
iα(f)Xα(f)- pα(f)Y
?
id
?
id
?
id
X-Xα(f)-
i1(pα(f)) X1(pα(f))
| {z }
=Xα+1(f)
-
p1(pα(f)) Y.
Le morphisme de transition Xα(f)-Xα+1(f) est
Xα(f)-
i1(pα(f)) X1(pα(f)) = Xα+1(f).
3. Si αest un ordinal limite, on a
Xα(f) = lim
-
α0<α
Xα0(f).
iα(f) = morphisme canonique de X=X0(f) dans la limite in-
ductive.
pα(f) = limite projective des pα0(f) : Xα0(f)-Y.
(On peut consid´erer la limite inductive d´efinissant Xα(f) comme une limite dans
X\M/Y . . .)
Les morphismes de transition
Xα0(f)-Xα(f) ( α0< α )
sont les morphismes canoniques relatifs au syst`eme inductif des Xα0(f).
[page 4]
On peut donc dire que la suite ordinale des factorisations fonctorielles Φα(f) de fvariable,
se d´eduit de la factorisation fonctorielle Φ1(f) de fen
X-
i1(f)X1(f)- p1(f)Y
z
f
par “it´eration transfinie `a droite”, i.e. en regardant les op´erations Φαcomme des foncteurs
pα: Fl(M)-Fl(M)(1)
f-pα(f),
munis d’homomorphismes fonctoriels (au-dessus de M)
idFl(M)-pα.
1N.B. pαrespecte les structures de cat´egories sur M,via les foncteurs but : Fl(M)-M,i.e. Fl(M)
est consid´er´ee comme objet de CAT/M.
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