Nombres complexes.

PCSI 1
Nombres complexes.
L ycée
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1 Calculer les inverses des nombres complexes i, 1 + i, 3 − i. Représenter ces
nombres dans le plan.
3
2
1. Soit x un réel. Exprimer cos(5x) comme un polynôme en cos x.
π
2. Montrer que cos2 10
est racine du trinôme x 7→ 16x2 − 20x + 5.
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Résoudre 4z 2 + 8|z|2 − 3 = 0.
3. En déduire l'égalité cos
Soient ω et ω 0 deux nombres complexes de module 1.
Montrer que le nombre
1 + ωω 0
est un nombre réel.
ω + ω0
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z−3
Représenter les points d'axe z satisfaisant les relations | z−5
| = 1 puis
√
2
z−3
| z−5 | = 2 .
5
7
Quels sont les nombres complexes z tels que z 3 = −4|z| ?
8
Egalité du parallélogramme.
=
√
1+ 5
4 .
a+b
a−b
cos
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2 sin
cos
2
2
Un circuit électrique est soumis à un régime sinusoïdal forcé de pulsation ω .
En un noeud arrivent trois branches. Sur la première arrive un courant d'intensité
i : t 7→ i(t), sur les deux autres repartent des courants d'intensité i1 : t 7→ cos(ωt)
et i2 : t 7→ 2 cos(ωt+π/4). Donner l'expression de i en faisant apparaître l'intensité
maximale et la phase.
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√ 2016
1−i 3
.
1+i
Calculer
cos a + cos b = 2 cos
Soit a ∈ C tel que |a| < 1.
z−a En raisonnant par équivalence, résoudre dans C l'inéquation : 1−az
≤ 1.
6
π
5
Á l'aide de l'exponentielle complexe, démontrer les formules suivantes, pour
a et b réels
4
S
chweitzer
Soit t un réel. Exprimer sin4 (t) à l'aide de cos(4t) et de cos(2t).
Rπ
Calculer −2π sin4 (t)dt.
Généralités.
2
Albert
Équations algébriques.
Soit ABCD un parallélogramme.
Montrer que AC 2 + BD2 = AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2 .
Calculer de deux façons les racines carrées de 1+i et en déduire une expression
de cos π/8 et de sin π/8.
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√
Exponentielle complexe et trigonométrie.
2iπ
On note j = e 3 .
a) Vérier que j et j 2 sont solutions de l'équation z 3 = 1.
b) Montrer que j̄ = j 2 .
c) Montrer que 1 + j + j 2 = 0.
9
10
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Résoudre dans C les équations z 2 + 2z + i = 0 ; z 2 − 3z − i = 0 ;
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Résoudre dans C : z 4 + 2z 2 + 4 = 0.
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Résoudre le système
x+y = 2
xy
= 2i
19 Donner une expression de l'aire et du périmètre du polygone régulier formé
par les racines n-èmes de l'unité.
n
P
n
Calculer
cos(kx).
k=0 k
20
Soit n ∈ N∗ . Résoudre dans C l'équation :
z n = (z − 1)n .
Feuille d'exercices 4.
1
2016-2017