Devoir surveillé n° 2

DEVOIR SURVEILLÉ N° 2
TERMINALE S SPÉCIALITÉ
Mardi 24 novembre 2009
EXERCICE 1
(2 points)
1. Justifier que 503 est un nombre premier.
2. Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x2 – y2 = 503.
EXERCICE 2
(3 points)
1. En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de 2009, déterminer le plus petit entier naturel n
tel que 2009n est un carré d'entier.
2. a) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 2010.
b) En déduire tous les diviseurs entiers naturels de 2010.
EXERCICE 3
(2 points)
Soit n un entier naturel. Déterminer n pour que le nombre 2n2 – 11n + 12 soit un nombre premier.
EXERCICE 4
(3 points)
Soit a un entier naturel.
1. Développer (a2 + a + 1)(a2 – a + 1).
2. Le nombre a4 + a2 + 1 peut-il être un nombre premier ?
3. Le nombre 3200 + 3100 + 1 est-il premier ?
EXERCICE 5
(6 points)
1. Pour k entier naturel, déterminer les restes possibles de la division euclidienne de k(k + 1) par 6.
2. Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5.
a) Expliquer pourquoi on peut poser p = 2k + 1 avec k entier naturel non nul.
b) Montrer que k n'est pas congru à 1 ni à 4 modulo 6.
c) En déduire que p2 – 1 est divisible par 24.
EXERCICE 6
(4 points)
On considère les nombres entiers R2 = 11, R3 = 111, …, Rn = 11...1, où Rn s'écrit avec n chiffres 1.
1. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, 10n – 1 est divisible par 9.
2. Comparer Rn à 10n – 1.
3. Déterminer les restes de la division euclidienne de Rn par 11 suivant les valeurs de n.
4. Montrer que si n est pair et supérieur ou égal à 4, alors Rn n'est pas premier.
5. Montrer que si n est un multiple de 3, alors Rn n'est pas premier.