˜
E(kx, z = 0) = E0Z+L/2
−L/2
exp(−ikxx)dx =E0Lsinc(kxL/2)
où sinc(x) = sinx/x.
b) La plus grande partie de l’énergie diffractée est contenue dans le lobe central de la fonction
sinc. Le premier zéro de cette fonction (et donc la demi-largeur du lobe central) est donné par
kmax
xL/2 = π, soit kmax
x= 2π/L. Pour les ondes propagatives (γréel), on a kx=ksin θoù
k=ω/c = 2π/λ. On obtient finalement l’ouverture angulaire du faisceau diffracté (dans le cas
Lλ) :
sin θmax 'θmax =λ
L
c) Le plus grand kxprésent dans la superposition d’onde plane de E(x, z)est le plus grand kx
pour lequel ˜
E(kx, z = 0) prend une valeur significative.
Supposons que E(x, z = 0) soit une fonction quelconque, de largeur ∆x(voir figure). On peut
donner une interpétation qualitative du calcul de sa transformée de Fourier ˜
E(kx, z = 0). Pour
faire ce calcul, on multiplie E(x, z = 0) par la fonction oscillante exp(−ikxx), puis on intègre.
Lorsque kx2π/∆x[cas (a) sur la figure], la fonction E(x, z = 0) reste pratiquement constante
d’une arche de la fonction oscillante à la suivante de signe opposé, de sorte que l’intégrale du
produit donne zéro. Au contraire, lorsque kx2π/∆x[cas (b) sur la figure], l’intégrale donne
une valeur finie. A quel moment a lieu la transition ? On peut dire qu’elle a lieu lorsqu’une arche
positive de la fonction oscillante compense exactement une arche négative sur la largeur ∆x[cas
(c) sur la figure], c’est-à-dire quand kx∆x'2π. Cette relation donne la plus grande valeur kmax
x
pour laquelle ˜
E(kx, z = 0) prend des valeurs appréciables.
Le raisonnement qui précède n’est valable que si la fonction étudiée n’a pas de variation forte à
l’intérieur de son support. Si la fonction a une variation sur une échelle plus petite que ∆x(par
exemple un pic de largeur l), on peut recommencer le raisonnement en prenant comme support
l. En fait, on peut montrer rigoureusement que kmax
x= 2π/l, où lest la plus petite échelle de
variation de E(x, z = 0). On a donc d’une façon générale :
∆xkmax
x≥2π
L’inégalité devient une égalité si ∆xest vraiment la plus petite échelle de variation de E(x, z = 0)
(et notamment si c’est la seule).
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