Electromagnétisme, TD n˚1, corrigé Propagation et diffraction

Electromagnétisme, TD n˚1, corrigé
Propagation et diffraction
1
Rappel sur les ondes planes
Voir Polycopié, chapitre 1.
2
Pour aller un peu plus loin sur les ondes planes
1) On a (avec k = +ω/c) :
Z
E(r, t) =
dω
=
E(ω) exp[i(kx − ωt)]
2π
Z
f (ω)
dω
2π
(1)
E(r, t) est une grandeur physique réelle, on a donc E(−ω) = E(ω)∗ . l’expression (1) devient :
+∞
dω 0
dω
E(ω) exp[i(kx − ωt)]
+
2π
2π
−∞
0
Z 0
Z +∞
−dω
dω
E(−ω) exp[i(−kx + ωt)]
E(ω) exp[i(kx − ωt)]
=
+
2π
2π
+∞
0
Z +∞
dω
=
2Re {E(ω) exp[i(kx − ωt)]}
2π
0
Z 0
E(r, t) =
Z
E(ω 0 ) exp[i(k 0 x − ω 0 t)]
(2)
Si l’on considère pour simplifier un champ scalaire, le terme sous l’intégrale peut se mettre sous
la forme 2|E(ω)| cos[kx − ωt + φ(ω)] où φ(ω) est la phase de E(ω). E(ω) apparaît comme une
amplitude complexe de l’onde plane.
2) Le champ électrique est E(r, t) = E0 ey cos(kx − ωt) = E0 ey Re{exp[i(kx − ωt)]}. On peut
calculer le champ magnétique en utilisant Maxwell :
rotE = −
∂B
∂t
On peut utiliser l’expression complexe du champ, on a alors ik×E = iωB soit B =
ωt)]. Le champ magnétique est donc :
B=
E0
ez cos(kx − ωt)
c
1
(3)
E0
c ez
exp[i(kx−
(4)
On obtiendrait le même résultat en calculant le rotationnel de E0 ey cos(kx−ωt) puis en intégrant
sur le temps.
Le vecteur de Poynting se calcule facilement :
S =
=
1 E02
ey × ez cos2 (kx − ωt)
µ0 c
E02
ex [1 + cos 2(kx − ωt)]
2µ0 c
(5)
(6)
Le vecteur de Poynting traduit le flux d’énergie du champ électromagnétique au travers d’une
surface. La fréquence de vibration des champs électromagnétiques optiques est de l’ordre de 1014
à 1015 Hz. Les détecteurs les plus rapides ont des bandes passantes de l’ordre de quelques GHz.
Les variations temporelles du flux d’énergie à 2ω sont donc éliminées à la détection. On calcule
donc toujours la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting. On montre facilement que
cette valeur moyenne peut se calculer en utilisant les grandeurs complexes :
hSi =
3
E02
1
ex =
Re (E × B∗ )
2µ0 c
2µ0
(7)
Transformation de Fourier et diffraction
X
e max
L
Z
a) Le champ pour z > 0 peut s’écrire sous la forme d’un développement en ondes planes :
Z +∞
E(x, z) =
−∞
Ẽ(kx , z = 0) exp(ikx x + iγz)
dkx
2π
avec γ = (ω 2 /c2 − kx2 )1/2 et Re(γ) > 0, Im(γ) > 0. L’amplitude des ondes planes constituant
E(x, z) est la transformée de Fourier de E(x, z) dans le plan z = 0 :
Z +∞
Ẽ(kx , z = 0) =
−∞
E(x, z = 0) exp(−ikx x) dx
Dans le cas d’une ouverture de largeur L > λ, où λ = 2πc/ω est la longueur d’onde du champ
incident, on peut en très bonne approximation supposer que le champ dans le plan z = 0 vaut
E0 dans l’ouverture, et est nul dans le reste du plan. On a alors :
2
Z +L/2
Ẽ(kx , z = 0) = E0
−L/2
exp(−ikx x) dx = E0 L sinc(kx L/2)
où sinc(x) = sinx/x.
b) La plus grande partie de l’énergie diffractée est contenue dans le lobe central de la fonction
sinc. Le premier zéro de cette fonction (et donc la demi-largeur du lobe central) est donné par
kxmax L/2 = π, soit kxmax = 2π/L. Pour les ondes propagatives (γ réel), on a kx = k sin θ où
k = ω/c = 2π/λ. On obtient finalement l’ouverture angulaire du faisceau diffracté (dans le cas
L λ) :
λ
sin θmax ' θmax =
L
c) Le plus grand kx présent dans la superposition d’onde plane de E(x, z) est le plus grand kx
pour lequel Ẽ(kx , z = 0) prend une valeur significative.
Supposons que E(x, z = 0) soit une fonction quelconque, de largeur ∆x (voir figure). On peut
donner une interpétation qualitative du calcul de sa transformée de Fourier Ẽ(kx , z = 0). Pour
faire ce calcul, on multiplie E(x, z = 0) par la fonction oscillante exp(−ikx x), puis on intègre.
Lorsque kx 2π/∆x [cas (a) sur la figure], la fonction E(x, z = 0) reste pratiquement constante
d’une arche de la fonction oscillante à la suivante de signe opposé, de sorte que l’intégrale du
produit donne zéro. Au contraire, lorsque kx 2π/∆x [cas (b) sur la figure], l’intégrale donne
une valeur finie. A quel moment a lieu la transition ? On peut dire qu’elle a lieu lorsqu’une arche
positive de la fonction oscillante compense exactement une arche négative sur la largeur ∆x [cas
(c) sur la figure], c’est-à-dire quand kx ∆x ' 2π. Cette relation donne la plus grande valeur kxmax
pour laquelle Ẽ(kx , z = 0) prend des valeurs appréciables.
(a)
(b)
(c)
E(x,z=0)
6x
6x
6x
Le raisonnement qui précède n’est valable que si la fonction étudiée n’a pas de variation forte à
l’intérieur de son support. Si la fonction a une variation sur une échelle plus petite que ∆x (par
exemple un pic de largeur l), on peut recommencer le raisonnement en prenant comme support
l. En fait, on peut montrer rigoureusement que kxmax = 2π/l, où l est la plus petite échelle de
variation de E(x, z = 0). On a donc d’une façon générale :
∆xkxmax ≥ 2π
L’inégalité devient une égalité si ∆x est vraiment la plus petite échelle de variation de E(x, z = 0)
(et notamment si c’est la seule).
3
Cette relation est en fait une propriété générale de la transformation de Fourier. Les largeurs
d’une fonction et de sa transformée de Fourier sont toujours reliées par une relation de ce type.
Par exemple en mécanique quantique, on peut écrire la fonction d’onde Ψ(x) sous forme d’une
transformée de Fourier par rapport à la variable px = h̄kx . On a donc une relation du type
∆x∆px ≥ h, qui est la relation d’incertitude de Heisenberg.
Dans le cas de l’ouverture diffractante de la question b), on a ∆x = L et kxmax = k sin θmax . Le
champ E(x, z = 0) étant constant dans l’ouverture, L est bien la plus petite échelle de variation
de E(x, z = 0), et on retrouve bien sin θmax ' θmax = λ/L.
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