Triangle rectangle : relations trigonométriques

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
ème
- 1 -
Triangle rectangle : relations trigonométriques
- cours -
1. Vocabulaire
Dans le triangle
ABC
rectangle en
A
:
• le côté adjacent à l’angle
ABC
est
[
]
AB
;
• le côté opposé à l’angle
ABC
est
[
]
AC
;
• l’ hypoténuse du triangle rectangle est
[
]
BC
.
2. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :
Définitions :
ABC
est un triangle rectangle en
A
. On a :
longueur du coté adjacent à l'angle ABC B
A
cos ABC
longueur de l'hypoténuse BC
= =
longueur du coté opposé à l'angle ABC AC
sin ABC
longueur de l'hypoténuse BC
= =
longueur du coté opposé à l'angle ABC AC
tan ABC
AB
longueur du coté adjacent à l'angle ABC
= =
Exercice de cours 1
Soit un triangle
ABC
rectangle en
B
tel que
AC 7
=
cm et
BAC 40
= °
. Calculer la longueur
BC
arrondie au dixième.
C
côté adjacent à l’angle
ABC
hypoténuse du
triangle rectangle
côté opposé à
l’angle
ABC
A
B

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
ème
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Dans le triangle
ABC
rectangle en
B
, on a (je connais l’hypoténuse, je cherche le côté opposé à
l’angle 40°) :
BC
sin BAC
AC
=
BC
sin 40
7
°=
sin 40 BC
1 7
°=
,
7 sin 40
BC 5 2
1
× °
= ≈ cm
Exercice de cours 2 :
Soit un triangle
DEF
rectangle en
D
tel que
EF 9 cm
=
et
DEF 50
= °
. Calculer les longueurs
DE
et
DF
arrondies au
dixième.
Dans le triangle
DEF
rectangle en
D
, on a :
,
ED
cos DEF EF
cos 50 ED
1 9
ED 9 cos 50 5 8 cm
=
°=
= × °≈
,
DF
sin DEF EF
sin 50 DF
1 9
DF 9 sin 50 6 9 cm
=
°=
= × °≈
Exercice de cours 3
ABC
est un triangle rectangle en
B
tel que ,
AB 5 3 cm
=
et
,
BC 7 6 cm
=
. Donner une valeur approchée à
1
°
près de la
mesure de l’angle
ACB
.
Dans le triangle
ABC
rectangle en
B
, on a :
,
,
AB
tan ACB
BC
5 3
tan ACB
7 6
ACB 35
=
=
≈ °

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
ème
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Exercice de cours 4
•
[
]
JK
est un diamètre du demi-cercle C
•
I
∈
C ;
JK 5 cm
=
;
,
IJ 1 4 cm
=
Calculer la mesure des angles
IJK
et
JKI
, arrondis à
1
°
près.
Le triangle
IJK
est inscrit dans un cercle et possède
pour côté un diamètre du cercle : il est rectangle en
I
. On a :
,
IJ
cos IJK
JK
1 4
cos IJK
5
IJK 74
=
=
≈ °
,
IJ
sin JKI
JK
1 4
sin JKI
5
JKI 16
=
=
≈ °
3. Deux formules de trigonométrie
Calcul de
( )
2
2
2
2
AB AB
cos
BC BC
x  = =
Calcul de
( )
2
2
2
2
AC AC
sin
BC BC
x  = =
Donc
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2
AB AC AB AC
cos sin
BC BC BC
x x + + = + =
D’après le théorème de Pythagore, appliqué au triangle
ABC
rectangle en
A
,
2 2 2
AB AC BC
+ =
et donc
( ) ( )
2
2 2
2
BC
cos sin 1
BC
x x
+ = =
Propriété :
Quel que soit l’angle
x
,
( ) ( )
2 2
cos sin 1
x x
+ =
, ou encore cos sin
2 2
1
x x
+ =
Calcul de
AC
sin AC BC AC
BC
tan
AB
cos BC AB AB
BC
x
x
x= = × = =
On retient que, quel que soit l’angle
x
,
Propriété :
Quel que soit l’angle
x
,
sin
tan
cos
x
x
x
=
Exercice de cours
Calculer la valeur exacte de
sin
x
et
tan
x
, sachant que
4
cos
5
x
=
(
x
désigne un angle aigu).
A
B
C
x