ème Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3 Triangle rectangle : relations trigonométriques - cours - 1. Vocabulaire C hypoténuse du triangle rectangle côté opposé à l’angle ABC B A côté adjacent à l’angle ABC Dans le triangle ABC rectangle en A : • le côté adjacent à l’angle ABC est [ AB] ; • le côté opposé à l’angle ABC est [ AC ] ; • l’ hypoténuse du triangle rectangle est [BC ] . 2. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle : Définitions : ABC est un triangle rectangle en A . On a : cos ABC = longueur du coté adjacent à l'angle ABC BA = longueur de l'hypoténuse BC sin ABC = longueur du coté opposé à l'angle ABC AC = longueur de l'hypoténuse BC tan ABC = longueur du coté opposé à l'angle ABC longueur du coté adjacent à l'angle ABC Exercice de cours 1 Soit un triangle ABC rectangle en B tel que AC = 7 cm et BAC = 40° . Calculer la longueur BC arrondie au dixième. -1- = AC AB ème Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3 Dans le triangle ABC rectangle en B , on a (je connais l’hypoténuse, je cherche le côté opposé à l’angle 40°) : BC sin BAC = AC BC sin 40° = 7 sin 40° BC = 1 7 7 × sin 40° BC = ≈ 5, 2 cm 1 Exercice de cours 2 : Soit un triangle DEF rectangle en D tel que EF = 9 cm et DEF = 50° . Calculer les longueurs DE et DF arrondies au dixième. Dans le triangle DEF rectangle en D , on a : ED EF cos 50° ED = 1 9 ED = 9 × cos 50° ≈ 5, 8 cm cos DEF = DF EF sin 50° DF = 1 9 DF = 9 × sin 50° ≈ 6, 9 cm sin DEF = Exercice de cours 3 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 5, 3 cm et BC = 7, 6 cm . Donner une valeur approchée à 1° près de la mesure de l’angle ACB . Dans le triangle ABC rectangle en B , on a : AB BC 5, 3 tan ACB = 7, 6 tan ACB = ACB ≈ 35° -2- ème Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3 Exercice de cours 4 • [ JK] est un diamètre du demi-cercle C • I ∈ C ; JK = 5 cm ; IJ = 1, 4 cm Calculer la mesure des angles IJK et JKI , arrondis à 1° près. Le triangle IJK est inscrit dans un cercle et possède pour côté un diamètre du cercle : il est rectangle en I. On a : IJ JK 1, 4 cos IJK = 5 IJ JK 1, 4 sin JKI = 5 cos IJK = sin JKI = IJK ≈ 74° JKI ≈ 16° B 3. Deux formules de trigonométrie x Calcul de ( cos x ) 2 2 2 AB AB = = 2 BC BC 2 2 2 AC AC = Calcul de ( sin x ) = 2 BC BC A C AB2 AC2 AB2 + AC2 + = BC2 BC2 BC2 D’après le théorème de Pythagore, appliqué au triangle ABC rectangle en A , AB2 + AC2 = BC2 BC2 2 2 et donc ( cos x ) + ( sin x ) = 2 = 1 BC Donc ( cos x ) + ( sin x ) = 2 2 Propriété : Quel que soit l’angle x , ( cos x ) + ( sin x ) 2 2 = 1 , ou encore cos2 x + sin 2 x = 1 AC sin x BC AC BC AC Calcul de = = × = = tan x cos x AB BC AB AB BC On retient que, quel que soit l’angle x , Propriété : Quel que soit l’angle x , tan x = sin x cos x Exercice de cours Calculer la valeur exacte de sin x et tan x , sachant que cos x = -3- 4 ( x désigne un angle aigu). 5