Triangle rectangle : relations trigonométriques

ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
Triangle rectangle : relations trigonométriques
- cours -
1. Vocabulaire
C
hypoténuse du
triangle rectangle
côté opposé à
l’angle ABC
B
A
côté adjacent à l’angle ABC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
•
le côté adjacent à l’angle ABC est [ AB] ;
•
le côté opposé à l’angle ABC est [ AC ] ;
•
l’ hypoténuse du triangle rectangle est [BC ] .
2. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :
Définitions :
ABC est un triangle rectangle en A . On a :
cos ABC =
longueur du coté adjacent à l'angle ABC BA
=
longueur de l'hypoténuse
BC
sin ABC =
longueur du coté opposé à l'angle ABC AC
=
longueur de l'hypoténuse
BC
tan ABC =
longueur du coté opposé à l'angle ABC
longueur du coté adjacent à l'angle ABC
Exercice de cours 1
Soit un triangle ABC rectangle en B tel que AC = 7 cm et
BAC = 40° . Calculer la longueur BC arrondie au dixième.
-1-
=
AC
AB
ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
Dans le triangle ABC rectangle en B , on a (je connais l’hypoténuse, je cherche le côté opposé à
l’angle 40°) :
BC
sin BAC =
AC
BC
sin 40° =
7
sin 40° BC
=
1
7
7 × sin 40°
BC =
≈ 5, 2 cm
1
Exercice de cours 2 :
Soit un triangle DEF rectangle en D tel que EF = 9 cm et
DEF = 50° . Calculer les longueurs DE et DF arrondies au
dixième.
Dans le triangle DEF rectangle en D , on a :
ED
EF
cos 50° ED
=
1
9
ED = 9 × cos 50° ≈ 5, 8 cm
cos DEF =
DF
EF
sin 50° DF
=
1
9
DF = 9 × sin 50° ≈ 6, 9 cm
sin DEF =
Exercice de cours 3
ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 5, 3 cm et
BC = 7, 6 cm . Donner une valeur approchée à 1° près de la
mesure de l’angle ACB .
Dans le triangle ABC rectangle en B , on a :
AB
BC
5, 3
tan ACB =
7, 6
tan ACB =
ACB ≈ 35°
-2-
ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
Exercice de cours 4
•
[ JK] est un diamètre du demi-cercle C
•
I ∈ C ; JK = 5 cm ; IJ = 1, 4 cm
Calculer la mesure des angles IJK et JKI , arrondis à 1°
près.
Le triangle IJK est inscrit dans un cercle et possède
pour côté un diamètre du cercle : il est rectangle en I. On a :
IJ
JK
1, 4
cos IJK =
5
IJ
JK
1, 4
sin JKI =
5
cos IJK =
sin JKI =
IJK ≈ 74°
JKI ≈ 16°
B
3. Deux formules de trigonométrie
x
Calcul de ( cos x )
2
2
2
 AB  AB
=
 = 2
 BC  BC
2
2
2
 AC  AC
=
Calcul de ( sin x ) = 

2
 BC  BC
A
C
AB2 AC2 AB2 + AC2
+
=
BC2 BC2
BC2
D’après le théorème de Pythagore, appliqué au triangle ABC rectangle en A , AB2 + AC2 = BC2
BC2
2
2
et donc ( cos x ) + ( sin x ) = 2 = 1
BC
Donc ( cos x ) + ( sin x ) =
2
2
Propriété :
Quel que soit l’angle x ,
( cos x ) + ( sin x )
2
2
= 1 , ou encore cos2 x + sin 2 x = 1
AC
sin x BC AC BC AC
Calcul de
=
=
×
=
= tan x
cos x AB BC AB AB
BC
On retient que, quel que soit l’angle x ,
Propriété :
Quel que soit l’angle x , tan x =
sin x
cos x
Exercice de cours
Calculer la valeur exacte de sin x et tan x , sachant que cos x =
-3-
4
( x désigne un angle aigu).
5