Analyse propédeutique

Analyse prop´edeutique
Hansklaus Rummler
remani´e et augment´e par
Patrick Ghanaat
D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de Fribourg, Suisse
Version 2016

(empty page)

Isaac Newton, 1642/43∗) - 1727
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 - 1716
Leonhard Euler, 1707 - 1783
∗) Selon le calendrier julien, encore en vigueur en Angleterre jusqu’en sep-
tembre 1752, Newton est n´e le 25 d´ecembre 1642. Cette date correspond
au 4 janvier 1643 du calendrier gr´egorien, d´ej`a en vigueur dans la plupart
des pays du continent.
iii

Pr´eface
Ce cours a surtout deux buts : on va revoir et compl´eter l’enseignement math´e-
matique re¸cu au gymnase et vous fournir ainsi un certain arsenal de techniques
math´ematiques utiles pour vos ´etudes et vos futures activit´es dans la vie profes-
sionnelle. Et vous allez vous familiariser avec des raisonnements math´ematiques,
afin de comprendre des ´ecrits scientifiques qui font appel `a des connaissances
math´ematiques. La connaissance du langage et de la pens´ee math´ematiques vous
permettra aussi de parler avec un math´ematicien si, plus tard, vous avez besoin
d’outils math´ematiques plus d´evelopp´es que ceux que vous verrez dans ce cours.
Afin d’atteindre ces buts, un certain effort de votre part est indispensable.
Travail individuel. La dur´ee du cours ´etant tr`es limit´ee, il n’est gu`ere possible
d’en assimiler la mati`ere sans la revoir `a la maison. Pour ce travail individuel,
la devise doit ˆetre : Comprendre avant d’apprendre ! Plus pr´ecis´ement : il ne
sert `a rien d’apprendre par cœur des d´efinitions ou des formules sans en avoir
vraiment compris le sens. Ainsi il est recommand´e de compl´eter la liste des
exemples pr´esent´es dans le cours, car en en construisant soi-mˆeme, on comprend
mieux la signification d’une d´efinition ou d’un th´eor`eme. Il est aussi vivement
recommand´e de voir comment d’autres auteurs expliquent la mˆeme mati`ere, car
un autre point de vue peut aider `a la compr´ehension.
Exercices. La pratique d’un sport ou d’un instrument de musique ne s’apprend
pas en regardant les sportifs d’´elite `a la t´el´evision ou en ´ecoutant des enregis-
trements d’une virtuose : il faut l’essayer soi-mˆeme et il faut l’exercer. Le mˆeme
principe est valable pour les math´ematiques, o`u les exercices vous donnent l’oc-
casion d’entraˆıner vos talents. Afin de d´evelopper la facult´e de communiquer ses
raisonnements `a d’autres gens, il est vivement recommand´e de travailler `a deux.
Cette fa¸con de travailler en (petits !) groupes vous donne aussi un contrˆole de
votre travail, car c’est en l’expliquant `a une autre personne que l’on voit si on
a vraiment compris quelque-chose.
Dass dieses Skript zu einer auf Deutsch gehaltenen Vorlesung auf Franz¨ osisch
geschrieben ist, ist eine Art Selbsthilfe: Die franz¨ osischsprachige Literatur auf
diesem Gebiet entspricht weniger gut unseren Vorlesungen als die deutschspra-
chige, so dass eher der Bedarf nach einem franz¨ osischen Skript besteht. Ich hoffe
aber, dass auch deutschsprachige H¨ orer von diesem Skript profitieren.
Fribourg, septembre 2004
Hansklaus Rummler
Diese Vorlesungsnotizen sind aus einem Manuskript entstanden, das Hansklaus
Rummler f¨ur das akademische Jahr 2004–2005 angefertigt hat. Ich danke Gau-
tier Berck, Matthieu Gendulphe, Genevi`eve Perren und Florence Yerly f¨ur ihre
Hilfe bei der Korrektur fr¨uherer Versionen des franz¨osischen Textes. Jean-Paul
Berrut hat die Vorlesung im Jahr 2013–2014 gehalten und zahlreiche Korrektu-
ren und Verbesserungen beigetragen.
Fribourg, August 2014
Patrick Ghanaat
iv

Table des mati`eres
1 Fonctions 1
2 Limites et continuit´e 12
3 Calcul diff´erentiel 24
4 Formule de Taylor et s´eries enti`eres 35
5 Calcul int´egral 46
6 Logarithmes et fonctions exponentielles 60
7 Equations diff´erentielles : introduction 69
8 Equations diff´erentielles lin´eaires 83
9 Les nombres complexes 98
10 Gradient et d´eriv´ees partielles 110
11 Extrema des fonctions `a plusieurs variables 123
12 Int´egrales multiples 136
13 S´eries de Fourier 146
v