Les valeurs L(1,Χ)

S´eminaire th´ematique :
«Fonctions Zˆeta et Corps quadratiques »,
Calcul de L(1, χ)et de la formule des classes
Livio Lucci
03 mai 2007
Dans ce chapitre on va determiner des formules pour le calcul de L(1, χ), qui, en vertu du chapitre
pr´ecedent, sera utile pour la d´etermination du nombre de classes h(D). De plus, on va utiliser les
r´esultats obtenus pour chercher d’ autres informations sur la distribution des r´esidus quadratiques
dans un certain intervalle et sur les valeurs de h(D) pour D→ ±∞.
1 Calcul de L(1, χ)
Dans cette section on va calculer L(1, χ) pour des χ6=χ0primitifs. Pour cela on a besoin d’intro-
duire un nouveau concept : les sommes de Gauss.
1.0.1 D´efinition
Pour χun caract`ere de Dirichlet (mod N), on d´efinit la somme de Gauss le nombre complexe G
avec
(1) G=
N
X
n=1
χ(n)e2πin/N
On r´esume les principales caract´eristiques de G `a l’aide des deux lemmes suivants :
1.0.2 Lemme
Soit χun caract`ere de Dirichlet (mod N) primitif et G comme dans (1). On a alors :
a. PN
n=1 χ(n)e2πink/N = ¯χ(k)G, pour tout k∈Z
b. |G|=√N
1.0.3 Lemme
Pour 0< θ < 2πon a
(2) ∞
X
n=1
einθ
n=−log(2 sin(θ/2)) + i(π/2−θ/2)
Par 1.0.2 partie (b) on a que |G| 6= 0 ; ainsi, si on divise (a) par Get conjugue, on obtient :
(3) χ(k) = 1
¯
G
N
X
n=1
¯χ(n)e−2πink/N
C’est cette relation qui nous permet de comprendre l’utilit´e des sommes de Gauss : elle exprime la
fonction p´eriodique k7→ χ(k) comme combinaison lin´eaire des fonctions p´eriodiques plus simples
k7→ e2πikn/N . Maintenant on va pouvoir prouver le th´eor`eme suivant :

1.0.4 Th´eor`eme
Soit χun caract`ere de Dirichlet (mod N) primitif, N > 1. Alors
(4) L(1, χ) = −1
¯
G
N−1
X
n=1
¯χ(n) log sin πn
N+iπ
N¯ G
N−1
X
n=1
¯χ(n)n
Id´ee de la preuve
En utilisant (3) et le conjugu´e de (2) on peut montrer que :
L(1, χ) = ∞
X
k=1
χ(k)
k=1
¯
G
N−1
X
n=1
¯χ(n)(−log(2 sin πn
N)−i(π 2−πn N))
Comme PN−1
n=1 ¯χ(n) = 0 ( ¯χ6=χ0) la somme se simplifie et on obtient (4). 2
On suppose dans la suite que χest r´eel, c’est-`a-dire, vu que χest primitif, χ=χD, o`u Dest
un discriminant fondamental. Avec la d´efinition de Gon montre facilement que ¯ G=χ(−1)G; ainsi
Gest r´eel si χ(−1) = 1 et Gest purement imaginaire si χ(−1) = −1. Par le th´eor`eme 4 du chapitre
5 de [1] on a χ(−1) = 1 pour D > 0 et χ(−1) = −1 pour D < 0. Par 1.0.2 (b) on a alors que
(5) G=±ip|D|si D < 0
±√Dsi D > 0
Gauss a pu montrer que les signes dans ces ´equations sont positifs.
1.0.5 Th´eor`eme
Soit D un discriminant fondamental. Alors on a
(6) L(1, χD) = (−π
|D|3/2P|D|−1
n=1 χD(n)nsi D < 0
−1
√DPD−1
n=1 χD(n) log sin πn
Dsi D > 0
Id´ee de la preuve
χr´eel implique que L(1, χ) est aussi r´eel, donc une des deux sommes de (4) doit s’annuller di-
rectement pour χD: la premi`ere s’annulle si χ(−1) = −1 et la deuxi`eme si χ(−1) = 1, ainsi, en
substituant (5) dans (4), on obtient les deux formules cherch´ees. 2
2 Calcul de h(D)
Avec le r´esultat pr´ecedent, on a tout ce qu’il nous faut pour pouvoir calculer h(D). En fait, `a l’aide
du th´eor`eme 5 de [1], chapitre 8, qui exprime le nombre de classe h(D) en fonction de L(1, χD), on
obtient
2.0.6 Th´eor`eme
Soit D un discriminant fondamental. On a
(7) h(D) = (−w/2
|D|P|D|−1
n=1 χD(n)nsi D < 0
−1
log 0PD−1
n=1 χD(n) log sin πn
Dsi D > 0,
o`u 0>1est l’unit´e fondamentale et w= 2 si D < −4,w= 4 si D=−4et w= 6 si D=−3.

Si le calcul de h(D) pour D < 0 est assez ais´e `a l’aide de (7), pour D > 0 il ne l’est pas autant ;
par des petites manipulations on obtient les relations suivantes pour D > 0
(8) h(D)
0=
D−1
Y
n=1
(sin πn
D)−χD(n)et h(D)
0=
D−1
Y
n=1
(1 −e2πin/D)−χD(n)
Exemples
Pour D < 0 en utilisant (7)
•D=−3 : h(−3) = −6/2
3P2
n=1 χ−3(n)n=−(1 −2) = 1
•D=−8 : h(−8) = −2/2
8P7
n=1 χ−8(n)n=−1
8(1 + 0 + −8 33 + 0 + −8 55 + 0 + −8 77) = 1
•D=−15 : h(−15) = −1
15 P15
n=1 χ−15(n)n=. . . =−1
15 (1 + 2 + 4 −7+8−11 −13 −14) = 2
Pour D > 0 en utilisant la 2i`eme formule de (8)
•D= 8 : 0= 3 + √8 (car (6,2) est la plus petite solution positive de t2−8u2= 4), donc on a
(3 + √8)h(8) =(1−e2πi3/8)(1−e2πi5/8)
(1−e2πi/8)(1−e2πi7/8)=2−e2πi3/8−e−2πi3/8 2−e2πi/8−e−2πi/8=2−2 cos 6
8π
2−2 cos 1
8π= 3 + √8, i.e. h(8) = 1.
En calculant les premiers D(positifs ou n´egatifs) on observe que h(D) est pair si Dcontient deux
nombres premiers diff´erents. En effet, on peut montrer que h(D) est impair si et seulement si D
est un discriminant premier (cf. chapitre 12 de [1]).
2.0.7 Th´eor`eme
Soit D < −4un discriminant fondamental. On a alors
(9) h(D) = 1
2−χD(2) X
0<k< |D|
2
χD(k)
Id´ee de la preuve
Pour Dimpair : soit Q:= P|D|−1
n=1 χD(n)n, on peut voir par un calcul que Q= 2χD(2)Q−
|D|χD(2) P|D|
2<k<|D|χD(k) ; ainsi, comme χD(2) = ±1 (Dimpair) et P0<k<|D|χD(k) = 0, on
obtient Q=−|D|
2−χD(2) P0<k< |D|
2
χD(k).
Or, par (7), h(D) = −1
|D|Q, donc on a bien ce qu’on voulait d´emontrer.
Pour Dpair : on peut montrer que χD(k) = −χD(k+D/2) pour tout k∈Z; ceci et (7) impliquent
que h(D) = 1
2P0<k< |D|
2
χD(k). 2
Ce th´eor`eme nous dit que dans l’intervalle h0,|D|
2iil y a plus de nombres k, avec χD(k)=1
que de nombres avec χD(k) = −1 et le surplus est ´egal `a h(D) (si D≡1 (mod 8)), 2h(D) (si
D≡0 (mod 4)) ou 3h(D) (si D≡5 (mod 8)).
Pour terminer on va discuter la croissance de h(D). Comme Gauss conjecturait il y a longtemps,
on peut montrer les deux choses suivantes :
•D=−3,−4,−7,−8,−11,−19,−43,−67,−163 sont les seules discriminants fondamentaux D < 0
avec h(D) = 1.
•h(D)→ ∞ pour D→ −∞.
En particulier, on peut montrer que limD→−∞ log h(D)
log |D|= 1/2.
Pour D > 0 une formule analogue a ´et´e demontr´ee : limD→∞ log(h(D) log 0)
log D= 1/2. On voit qu’elle
nous ne dit rien sur la convergence de h(D), car 0peut ˆetre tr`es grand relativement `a D.
En effet, on conjecture qu’il existe une infinit´e de D > 0 avec h(D) = 1.
R´ef´erences
[1] Zagier D.B., Zetafunktionen und quadratische K¨orper, Eine Einf¨uhrung in die h¨ohere Zah-
lentheorie, Springer-Verlag, Berlin, Heildelberg, New York 1981.