NM557 Théorie des nombres Année 2013-2014 Loïc Merel Dominique Bernardi, Pierre Charollois Feuille 2 Fonction ζ de Dedekind Exercice 1 Soit n un entier. Pour tout nombre premier p, on note n0p le plus grand diviseur de n qui n’est pas multiple de p, et fp l’ordre de p modulo n0p . On note gp = ϕ(n0p )/fp . Montrer que la fonction ζKn du corps cyclotomique Kn = Q e2iπ/n admet une écriture en produit eulérien Y ζKn (s) = (1 − p−fp s )−gp p premier valable pour <(s) > 1. Exercice 2 Soit d ∈ Z \ {0, 1} un entier sans facteur carré. On note ( 4d si d ≡ 2, 3 (mod 4) D= , d si d ≡ 1 (mod 4) √ le discriminant du corps Q( d). Pour tout nombre premier p, on définit D χD (p) = p si p est impair et 0 χD (2) = 1 −1 si d ≡ 2, 3 (mod 4) si d ≡ 1 (mod 8) si d ≡ 5 (mod 8) et on prolonge χD en une fonction complètement multiplicative sur Z>0 , puis à Z en posant χD (−1) = 1 si d > 0 et −1 sinon. Montrer que le symbole de Kronecker n 7→ χD (n) = Dn est un caractère primitif modulo |D|. √ Montrer que la fonction ζQ(√d) du corps quadratique Q( d) admet une écriture en produit eulérien analogue à celle de l’exercice précédent. Montrer que ζQ(√d) (s) = ζ(s)L(χD , s) 1 où la fonction L(χD , s) = duit eulérien P∞ n=1 χD (n) ns LD (s) = L(χD , s) = admet elle-même une écriture en proY (1 − χD (p)p−s )−1 . p premier √ √ Exercice 3 Soient K1 = Q( d1 ) et K2 = Q( d2 ) deux corps quadratiques distincts. On pose L = K1 K2 leur compositum. Après avoir défini correctement d3 et Di pour 1 ≤ i ≤ 3, montrer que la fonction zêta du corps L peut s’écrire ζL = ζLD1 LD2 LD3 Exercice 4 a) Soit p un nombre premier. Pour 1 ≤ k ≤ p − 2, on définit χk par χk (n) = e2ikπ/p . Montrer que la fonction ζKp du p-ième corps cyclotomique peut s’écrire ζKp (s) = ζ(s) p−2 Y L(χk , s). k=1 b) Plus généralement, soit n > 0 un entier naturel, et χ un caractère du groupe (Z/nZ)∗ . On définit (comment ?) le conducteur f de χ et le caractère primitif χ̃ modulo f associé à χ. la fonction ζKn du n-ième corps cyclotomique peut s’écrire Y L(χ̃, s), ζKn (s) = χ où χ parcourt l’ensemble des caractères modulo n. Nombre de classes des corps quadratiques Exercice 5 On reprend les notations de l’exercice 2, avec χ = χD . Notons ω = e2iπ/|D| Pour tout a modulo |D|, on définit la somme de gauss X ga (χ) = χ(k)ω ka k mod |D| et on note g(χ) = g1 (χ) a) Montrer que ga (χ) = χ(a)g(χ) et que |g(χ)| = 2 p |D|. b) Montrer que |D| 1 X ga (χ) log(1 − ω −a ) L(1, χ) = − |D| a=1 g(χ) X π X πa =− +i χ(a) log sin χ(a)a . |D| |D| D 1≤a≤|D| 1≤a≤|D| P c) On suppose maintenant d < 0. Posons S = X (2 − χ(2))S = |D| 0<a<|D| aχ(a). Montrer que χ(a) 0<a<|D/2| et en déduire X wK χ(a) , hK = 2(2 − χ(2)) 0<a<|D/2| qui se simplifie en X 1 hK = χ(a) (2 − χ(2)) 0<a<|D/2| pour d < −3 (ou D < −4). √ d) Calculer les nombres de classes de Q( d), pour d ∈ {−13, −19, −23, −35} Exercice 6 Rappels sur les fractions continues. On définit deux suites de polynômes par P−2 = 0, P−1 = 1, Q−2 = 1, Q−1 = 0, et pour n ≥ 0 ∀n ≥ 0, Pn = Xn Pn−1 + Pn−2 , Qn = Xn Qn−1 + Qn−2 . Pour n ≥ 0, on note Fn = Pn /Qn = [X0 , . . . , Xn ]. a) Montrer que l’on a 1 F 4 = X0 + . 1 X1 + X2 + 1 X3 + et Pn Qn+1 − Pn+1 Qn = (−1)n+1 . 3 1 X4 b) À tout réel θ on associe la suite de ses quotients complets θi et celle de ses quotients incomplets ai (Cette suite est finie si et seulement si x ∈ Q) de 1 la façon suivante : θ0 = θ, ai = bθi c, θi+1 = θi −a . Sauf a0 , les ai sont des i entiers naturels non nuls. On pose pn = Pn (a0 , . . . , an ), qn = Qn (a0 , . . . , an ). La fraction (irréductible) pn /qn est la réduite d’ordre n de θ. On a θ = Fn (a0 , . . . , an−1 , θn ). Montrer que la suite des réduites est formée de deux suites adjacentes qui tendent vers θ. c) Si pn /qn et pn+1 /qn+1 sont deux réduites successives de θ, |p/q − θ| < 1/2q 2 pour p/q = pn /qn ou p/q = pn+1 /qn+1 . Réciproquement, si |p/q − θ| < 1/2q 2 p/q est une des réduites de θ. d) Le développement en fraction continue de θ est périodique si et seulement si θ est un nombre quadratique (réel). On dit qu’un nombre quadratique réel θ est réduit si et seulement si θ > 1 et −1 < θ0 < 0, où θ0 est le conjugué de θ. Montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de nombres réduits de discriminant donné. Montrer que si θ est quadratique réel, ses quotients complets sont réduits à partir d’un certain rang. En déduire que le développement en fraction continue de θ est périodique si et seulement si θ est un nombre quadratique réel, et qu’il est purement périodique si et seulement si θ est réduit (Galois). Exercice 7 Soit d > 0 un entier qui n’est √ pas un carré. On considère le développement en fraction continue de θ = d. Montrer qu’il est de la forme [a0 , a1 , . . . , ar ], avec ar = 2a0 . √ a) Montrer que si A = Pr−1 (a0 , . . . ar−1 ) et B = Qr−1 (a0 , . . . , ar−1 ), A + B d est l’unité fondamentale de l’ordre de discriminant d, et que sa norme est (−1)r . b) On suppose de plus que d√6≡ 1 (mod 4) est sans facteur carré. Montrer que le nombre de classes de Q( d) est (ici D = 4d) : P πa 0<a<D/2 χ(a) log sin D √ . log(A + B d) √ c) Calculer les unités fondamentales des corps Q( d) pour d ∈ {2, 3, 7, 11, 15} et les nombres de classes correspondants. 4