Fonction ζ de Dedekind

NM557 Théorie des nombres Loïc Merel
Année 2013-2014 Dominique Bernardi, Pierre Charollois
Feuille 2
Fonction ζde Dedekind
Exercice 1 Soit nun entier. Pour tout nombre premier p, on note n0
ple plus
grand diviseur de nqui n’est pas multiple de p, et fpl’ordre de pmodulo n0
p.
On note gp=ϕ(n0
p)/fp. Montrer que la fonction ζKndu corps cyclotomique
Kn=Qe2iπ/nadmet une écriture en produit eulérien
ζKn(s) = Y
ppremier
(1 −p−fps)−gp
valable pour <(s)>1.
Exercice 2 Soit d∈Z\ {0,1}un entier sans facteur carré. On note
D=(4dsi d≡2,3 (mod 4)
dsi d≡1 (mod 4) ,
le discriminant du corps Q(√d). Pour tout nombre premier p, on définit
χD(p) = D
psi pest impair et
χD(2) = 
0si d≡2,3 (mod 4)
1si d≡1 (mod 8)
−1si d≡5 (mod 8)
et on prolonge χDen une fonction complètement multiplicative sur Z>0, puis
àZen posant χD(−1) = 1 si d > 0et −1sinon. Montrer que le symbole de
Kronecker n7→ χD(n) = D
nest un caractère primitif modulo |D|.
Montrer que la fonction ζQ(√d)du corps quadratique Q(√d)admet une
écriture en produit eulérien analogue à celle de l’exercice précédent. Montrer
que
ζQ(√d)(s) = ζ(s)L(χD, s)
1

où la fonction L(χD, s) = P∞
n=1
χD(n)
nsadmet elle-même une écriture en pro-
duit eulérien
LD(s) = L(χD, s) = Y
ppremier
(1 −χD(p)p−s)−1.
Exercice 3 Soient K1=Q(√d1)et K2=Q(√d2)deux corps quadratiques
distincts. On pose L=K1K2leur compositum. Après avoir défini correcte-
ment d3et Dipour 1≤i≤3, montrer que la fonction zêta du corps Lpeut
s’écrire
ζL=ζLD1LD2LD3
Exercice 4
a) Soit pun nombre premier. Pour 1≤k≤p−2, on définit χkpar χk(n) =
e2ikπ/p. Montrer que la fonction ζKpdu p-ième corps cyclotomique peut s’écrire
ζKp(s) = ζ(s)
p−2
Y
k=1
L(χk, s).
b) Plus généralement, soit n > 0un entier naturel, et χun caractère du groupe
(Z/nZ)∗. On définit (comment ?) le conducteur fde χet le caractère primitif
˜χmodulo fassocié à χ. la fonction ζKndu n-ième corps cyclotomique peut
s’écrire
ζKn(s) = Y
χ
L(˜χ, s),
où χparcourt l’ensemble des caractères modulo n.
Nombre de classes des corps quadratiques
Exercice 5 On reprend les notations de l’exercice 2, avec χ=χD.
Notons ω=e2iπ/|D|Pour tout amodulo |D|, on définit la somme de gauss
ga(χ) = X
kmod |D|
χ(k)ωka
et on note g(χ) = g1(χ)
a) Montrer que ga(χ) = χ(a)g(χ)et que |g(χ)|=p|D|.
2

b) Montrer que
L(1, χ) = −1
|D|
|D|
X
a=1
ga(χ) log(1 −ω−a)
=−g(χ)
|D|
X
1≤a≤|D|
χ(a) log sin πa
|D|+iπ DX
1≤a≤|D|
χ(a)a
.
c) On suppose maintenant d < 0. Posons S=P0<a<|D|aχ(a). Montrer que
(2 −χ(2))S=|D|X
0<a<|D/2|
χ(a)
et en déduire
hK=wK
2(2 −χ(2)) X
0<a<|D/2|
χ(a) ,
qui se simplifie en
hK=1
(2 −χ(2)) X
0<a<|D/2|
χ(a)
pour d < −3(ou D < −4).
d) Calculer les nombres de classes de Q(√d), pour d∈ {−13,−19,−23,−35}
Exercice 6 Rappels sur les fractions continues. On définit deux suites de
polynômes par P−2= 0,P−1= 1,Q−2= 1,Q−1= 0, et pour n≥0
∀n≥0, Pn=XnPn−1+Pn−2, Qn=XnQn−1+Qn−2.
Pour n≥0, on note Fn=Pn/Qn= [X0, . . . , Xn].
a) Montrer que l’on a
F4=X0+1
X1+1
X2+1
X3+1
X4
.
et PnQn+1 −Pn+1Qn= (−1)n+1.
3

b) À tout réel θon associe la suite de ses quotients complets θiet celle de
ses quotients incomplets ai(Cette suite est finie si et seulement si x∈Q) de
la façon suivante : θ0=θ,ai=bθic,θi+1 =1
θi−ai. Sauf a0, les aisont des
entiers naturels non nuls. On pose pn=Pn(a0, . . . , an),qn=Qn(a0, . . . , an).
La fraction (irréductible) pn/qnest la réduite d’ordre nde θ. On a
θ=Fn(a0, . . . , an−1, θn).
Montrer que la suite des réduites est formée de deux suites adjacentes qui
tendent vers θ.
c) Si pn/qnet pn+1/qn+1 sont deux réduites successives de θ,|p/q −θ|<1/2q2
pour p/q =pn/qnou p/q =pn+1/qn+1. Réciproquement, si |p/q −θ|<1/2q2
p/q est une des réduites de θ.
d) Le développement en fraction continue de θest périodique si et seulement
si θest un nombre quadratique (réel). On dit qu’un nombre quadratique réel
θest réduit si et seulement si θ > 1et −1< θ0<0, où θ0est le conjugué de
θ. Montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de nombres réduits de discriminant
donné. Montrer que si θest quadratique réel, ses quotients complets sont ré-
duits à partir d’un certain rang. En déduire que le développement en fraction
continue de θest périodique si et seulement si θest un nombre quadratique
réel, et qu’il est purement périodique si et seulement si θest réduit (Galois).
Exercice 7 Soit d > 0un entier qui n’est pas un carré. On considère le
développement en fraction continue de θ=√d. Montrer qu’il est de la forme
[a0, a1, . . . , ar], avec ar= 2a0.
a) Montrer que si A=Pr−1(a0,...ar−1)et B=Qr−1(a0, . . . , ar−1),A+B√d
est l’unité fondamentale de l’ordre de discriminant d, et que sa norme est
(−1)r.
b) On suppose de plus que d6≡ 1 (mod 4) est sans facteur carré. Montrer que
le nombre de classes de Q(√d)est (ici D= 4d) :
P0<a<D/2χ(a) log sin πa
D
log(A+B√d).
c) Calculer les unités fondamentales des corps Q(√d)pour d∈ {2,3,7,11,15}
et les nombres de classes correspondants.
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