I Équation d`une droite

Droites et systèmes
Seconde
I
2011-2012
Équation d’une droite
I.1
Activité d’introduction
Lien vers l’activité : http://www.michelimbert.fr/IMG/pdf/versequation2droite.pdf
L’équation d’une droite est le lien exclusif qui existe entre les coordonnées x et y des points de la droite.
Exemple 1 Si y = 2x + 3 est l’équation d’une droite d dans un repère (O; I; J), les points de la droite d ont une ordonnée égale à
deux fois leur abscisse plus trois et ce sont les seuls à avoir cette propriété. (les points qui ne sont pas sur la droite ne la vérifient pas)
I.2
Différents types d’équations
Propriété :
1. Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = c où c est un réel.
Tous les points de la droite ont une abscisse égale à c et ce sont les seuls.
2. Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées à une équation de la forme y = ax + b où a et b sont
des nombres réels.
Tous les points de la droite ont une ordonnée égale à a « fois » l’abscisse plus b et ce sont les seuls.
Remarque 1 Dans le cas 2., si a = 0, l’équation se réduit à y = b et la droite est parallèle à l’axe des abscisses.
Tous les points de la droite ont une ordonnée égale à b et ce sont les seuls.
b
J
O
J
I
c
J
O
b
O
I
I
Remarque 2 :
Une expression de la forme ax + by + c = 0 avec a, b et c réels est aussi l’équation d’une droite. Pour s’en convaincre, la
technique consiste à « isoler » x ou y pour se ramener aux équations vues plus haut que l’on appelera équations réduites .
EXERCICE 1 :
Transformer les équations suivantes en équations réduites :
2x − 3y + 1 = 0
I.3
;
9 − 5y = 0
;
3x + 8 = 0
;
x2 + 2y − 1 = 0
lien entre droite et fonction affine
Une fonction affine f est de la forme f (x) = ax + b. Sa représentation graphique admet une équaiton de la forme
y = ax + b. Donc :
Propriété 1 Toute fonction affine a pour représentation graphique une droite non parallèle à l’axe des ordonnées
EXERCICE 2 :
Représenter dans le repère ci-contre la droite représentant la fonction affine f
définie par :
f : x 7−→ −2x + 1.5
J
O
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Vocabulaire 1 :
Dans l’équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées y = ax + b, a s’appelle le coefficient directeur et b s’appelle
l’ordonnée à l’origine.
Conséquence : Si l’on connaît les coordonnées de deux points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ), le coefficient directeur a
est donné par la formule suivante :
a=
I.4
yA − yB
xA − xB
(les « y sur les x » )
Détermination pratique de l’équation d’une droite passant par 2 points
On connaît dans un repère (O; I; J), les coordonnées A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ).
1. Si xA 6= xB alors la droite coupe l’axe des ordonnées et si yA 6= yB , elle n’est pas parallèle à l’axe des abscisses :
on est dans le cas général.
2. On cherche le coefficient directeur a avec la formule vue plus haut ;
3. On dispose de a donc dans l’équation y = ax + b, seul b est inconnu. Avec les coordonnées de A ou celles de B,
en remplaçant dans l’équation, on trouve b .
EXERCICE 3 :
Dans le repère ci-contre, on considère les points A(−1; 2) et B(4; −2) Déterminer l’équation de la droite (AB).
J
O
I.5
I
Droites parallèles
Théorème 1 Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même
coefficient directeur
1. Les droites d’équations y = −2x + 4 et y = −2x + π sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur.
1
2. Quelle est l’équation réduite de la droite d1 parallèle à d2 : y = − x + 3 passant par (0; −1.5) ?
2
3. Les droites d3 et d4 d’équations respectives 2x − 3y = 4 et 3x − 5y + 2 = 0 sont-elles parallèles ?
Exemple 2
II
II.1
Systèmes Linéaires
Définition
Définition 1 Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est un système de la forme :
ax + by = c
où a, b, c, a′ , b′ , c′ sont des réels et (x; y) est le couples des inconnues.
a ′ x + b ′ y = c′
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Remarque 3 :
• Être solution d’un système, c’est être un couple de nombres vérifiant les équations du système (2 ou plus).
2x − 4y = −10
Le couple (−1; 2) est-il solution du système
?
x + 2y = 3
• Résoudre un système, c’est trouver toutes les solutions du système.
Le système précédent est-il résolu ?
II.2
Nombre de solutions d’un système
Soit (O; I; J) un repère.
Lien graphique : Une équation linéaire à deux inconnues est assimilable à une équation de droite. Un couple
solution d’une équation linéaire est un couple de coordonnées d’un point de la droite.
(x0 ; y0 ) solution de ax + by = c
La droite d’équation ax + by = c passe par le point de coordonnées (x0 ; y0 )
⇔
Exemple 3 :
(−2; 3) est solution de ......................
J
O
Généralisation : (x0 ; y0 ) est solution d’un système
I
ax + by = c
⇔ Le point de coordonnées (x0 ; y0 ) appara ′ x + b ′ y = c′
tient aux droites d et d′ d’équations respectives ax + by = c et a′ x + b′ y = c′ . D’où le théorème suivant :
Théorème 2 :
d et d′ sont sécantes :
un seul couple solution
d et d′ sont parallèles :
pas de couple solution
d et d′ sont confondues :
Une infinité de couples solutions
d
d′
J
d′
J
d
J
I
O
O
′
d
Exemple 4 Résoudre le système suivant :
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I
O
I
d
2x + 3y = 4
5x + 6y = 7
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