TD 2 Mécanique en réfétentiel non galiléen

TD2
Dynamique en référentiel non Galiléen
MP*
❏ 1. Point matériel sur un disque (✮ )
Un disque de rayon R tourne avec la vitesse angulaire ω constante
autour d'un axe vertical passant par son centre, dans le champ de
pesanteur g. Une particule de masse m est posée sur le disque sans
vitesse initiale par rapport à celui-ci, à la distance R/2 de l'axe. Elle est
assujettie à se déplacer sans frottement le long d'un rayon du disque.
1- Calculer la durée nécessaire pour que la particule atteigne le bord du
disque.
2 - Quelle est, à cet instant, la réaction de la glissière sur la particule?
Données: m = 10.0 g ; R = 15,0 cm ; ω = 3,5 rd.s–1; g = 9,8 m.s–2.
❏ 2. Porte qui se ferme (✮ ✮ )
Une voiture prend une accélération constante 𝑎 = 𝑎! 𝑢! . La portière 𝐴𝐵 est restée ouverte, l’angle initial est
𝜃! = 𝜋/2. Elle est modélisée par une plaque de hauteur ℎ, de largeur 2𝑎, de masse m uniformément répartie
et de moment d’inertie par rapport à son axe de rotation 𝐽 = 4/3𝑚𝑎 ! . La liaison 𝐴𝑧 est supposée parfaite.
1- Déterminer l’équation différentielle en 𝜃(𝑡).
2- En déduire le temps nécessaire à la fermeture de la portière. On donne
!/! !"
!
!"#$
= 2,6.
❏ 3.Pendule entrainé (✮ )
Un pendule simple est constitué d'un point matériel M de masse m = 10 g ,
suspendu à un point A situé sur l'axe Ox d'un repère galiléen R(Oxyz) par un fil
sans masse de longueur l . On note θ l'angle que fait le fil que l'on supposera
constamment tendu avec la verticale Oy de R(Oxyz) (cf. figure ci-contre).
On prendra pour norme de l'accélération de la pesanteur la valeur g = 9,81m.s−2.
Le point de suspension A est animé d'un mouvement de translation rectiligne
sinusoïdal suivant l'axe Ox de R(Oxyz), d'amplitude x0 et de pulsation ω . On
note xA = x0 sin ωt l'abscisse instantanée de A .
Déterminer l’équation différentielle à laquelle obéit l’angle θ.
A l'instant t = 0, θ(0) = 0 et dθ/dt(t = 0) = 0. Exprimer la valeur instantanée de l'angle θ.
❏ 4.Inclinaison des rails (✮)
Un train rapide (v = 250 km.h-1) circule dans une direction nord-sud de Paris à Nice (latitude environ de 45°)
Préciser la nature et le sens de la force de Coriolis. De quel angle faudrait-il incliner le plan des rails sur
l'horizon si l'on voulait que la réaction des rails soit rigoureusement perpendiculaire à ce plan?
❏ 5.Principe du sismographe (✶✶)
Un sismographe est destiné à mesurer l’amplitude d’une secousse sismique
indépendamment de la pulsation.
Dans un boîtier posé sur le sol (Référentiel (R)), une masse m est suspendue à
l’extrémité d’un ressort sans masse de raideur k et de longueur à vide l0. L’autre
extrémité est accrochée au sommet du boîtier en A.
On repère par x(t) la longueur instantanée du ressort. Le mouvement de la masse est
amorti par un frottement visqueux : f = -b.v où v est la vitesse de m par rapport au
boîtier. On considère une secousse sismique sinusoïdale verticale transmise à A :
xA = a.cos(Ωt).
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1 – Etablir l’équation différentielle du mouvement de la masse m dans le référentiel (R).
On posera : ω02 = k/m et ω0/Q = b/m
2 – En régime sinusoïdal permanent, déterminer la loi x(t).
3 – Tracer l’allure du graphe de l’amplitude du mouvement de la masse en fonction de la pulsation de l’onde
sismique pour différentes valeurs du facteur de qualité.
4 - Montrer que pour de faibles fréquences propres du ressort, l’appareil peut servir de sismographe.
❏ 6. Pendule de Foucault (✮ ✮ ✮ )
On considère le référentiel géocentrique comme galiléen. Dans ce référentiel, la terre tourne autour de l'axe
des pôles avec une période de 24h. On prendra pour l'accélération de la pesanteur g la valeur 9,8094 m.s-2 à
Paris. Le rayon terrestre vaut R=6400km.
On s'intéresse au mouvement d'un pendule de Foucault constitué d'un fil de longueur L=70m au bout duquel
est fixé une masse m=28kg, fixé au sommet O de la coupole du Panthéon à Paris. Le pendule peut se
balancer librement dans toutes les directions. On néglige tout frottement et le fil reste rectiligne en
permanence.
On se place dans le référentiel terrestre (non galiléen). On note la vitesse angulaire de rotation de la terre sur
son axe. Le Panthéon se trouve à la latitude λ = 48*51’. On prend un repère cartésien Oxyz avec Oz la
verticale ascendante, Oy tangent au parallèle, dirigé vers l'est et Ox tangent au méridien et dirigé vers le sud.
1- Ecrire le principe fondamental de la dynamique.
2- On suppose les oscillations de faible amplitude.
a) Sachant que la tension F du fil est parallèle à OM, écrire ses coordonnées en fonction de son module F et
des coordonnées cartésiennes de M.
b) Compte tenu de la faible amplitude des oscillations et de la faible valeur de par rapport à la pulsation du
pendule, quelle est la valeur de F ?
c) Projeter l'équation du 1 dans le plan xOy en faisant les approximations qui s'imposent.
3- On pose u = x + iy avec i2 = -1.
a) Résoudre l'équation vérifiée par u.
b) En déduire que la projection de la trajectoire au sol est une ellipse dont le grand axe tourne au cours du
temps.
c) En combien de temps le plan des oscillations a-t-il fait un tour pour un observateur situé au sol ?
Commenter.
Coupe de la nef du Panthéon équipé du pendule
Panthéon
L’extrémité du pendule et le plateau gradué
7. Gravity (✮ ✮ ✮ )
Une station spatiale 𝑆 est en orbite circulaire autour de la Terre de centre 𝑂. Le rayon de l’orbite est
𝑟! = 7000 𝑘𝑚 et la vitesse angulaire de la station est notée 𝜔. On introduit le référentiel 𝑅! (𝑆, 𝐼, 𝐽, 𝑘) centré
sur la station et en rotation par rapport au référentiel 𝑅! ( 𝑂, 𝚤, 𝚥, 𝑘) supposé galiléen. A un instant pris comme
instant initial, un cosmonaute 𝐶 de masse 𝑚 se trouve séparé du vaisseau avec une vitesse relative 𝑣! . On se
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propose d’étudier le mouvement de C dans le référentiel 𝑅! de la station sous l’influence du champ de
gravitation de la Terre. La position instantanée de C est donnée par 𝑆𝐶 = 𝑟(𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑧).
1- On considère 𝑟 << 𝑟! . Montrer que les équations du mouvement du cosmonaute dans le
référentiel 𝑅! sont, au premier ordre :
𝑋 𝑡 = 3𝜔 ! 𝑋 𝑡 + 2𝜔𝑌(𝑡) ; 𝑌 𝑡 = −2𝜔𝑋(𝑡) ; 𝑍 𝑡 = −𝜔 ! 𝑍 𝑡
2- On suppose que : vox = voy = 0 et voz = vo = 15m.s −1 . Quelle est la trajectoire de 𝐶 ? Quelle est la
distance maximale 𝐿! de 𝐶 à la station au cours de son mouvement ? Retournera-t-il à la navette ? Si oui en
combien de temps ?
3- On suppose que : voz = voy = 0 et vox = −vo = −15m.s −1 . Mêmes questions qu’au 2-.
4- On suppose que : voz = vox = 0 et
voy = vo = 15m.s −1 . Mêmes questions qu’au 2). Dans quelle direction
préfériez-vous quitter le vaisseau ?
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