Dynamique du point dans un référentiel non galiléen.

Exercices Physique. MPSI 1.
Dynamique du point dans un
référentiel non galiléen.
1. Particule sur un axe en rotation.
Un axe matériel Ox est animé par rapport à un axe vertical D faisant avec lui l’angle  d’un mouvement
de rotation uniforme de vitesse angulaire . Une particule M de masse m coulisse sans frottement sur Ox.
1. Déterminer la position d’équilibre Mo de M dans le référentiel lié à la tige Ox.
On pose  = sin .
2. M étant abandonné sans vitesse relativement à Ox à une distance a de Mo, donner l’expression
de x en fonction du temps.
3. Calculer à l’instant t la composante de l’action de M sur Ox perpendiculaire au plan (D, Ox).
2. Etude d’un séismographe élémentaire.
Ce système peut être utilisé dans la mesure de l’amplitude d’une secousse sismique.
Le bâti rigide d'un sismographe est soudé en O au sol horizontal Oxy.
La masselotte dotée de son index, de masse m, est accrochée à un ressort sans masse de raideur k, de
longueur à vide lo. Le ressort est fixé au bâti. ( AB = h > lo ).
On note y(t) l'altitude du centre d'inertie de la masselotte-index au dessus du sol Oxy.
Le tout est amorti de façon "fluide visqueux" (d'où la présence du pot amortisseur). La force
d'amortissement est de la forme : f   v .
Le champ de pesanteur d'intensité g est supposé uniforme et constant.
Le mouvement de tremblement du sol est idéalisé par une vibration sinusoïdale :
S (t )  So cos t avec So> 0,  > 0, et où S(t) représente la cote du sol Oxy, à la date t au-dessus du plan
galiléen GXY.
On notera   y  ye où ye représente l'altitude par rapport au sol Oxy d'équilibre de la masselotte-index
en l'absence de tremblement du sol.
1.
Montrer que l'équation différentielle en  du mouvement dans le référentiel non galiléen Oxy
s’écrit :

o
k  o
et 
avec Q facteur de qualité. (Des schémas clairs sont demandés).
m m Q
En résolvant cette équation par la méthode complexe, déterminer l'amplitude Em de  en
On posera : o2 
2.
Q
  o2   2 So cos t
fonction de So, Q et u   / o .
3.
4.
5.
Etudier, avec soin, la fonction Em (u) (Comportement asymptotique, extremum et condition
d’existence de ces derniers …).
Tracer le graphe de l'amplitude Em de  en fonction de u pour Q = 1 en précisant la valeur de
points particuliers.
Comment choisit-on o en pratique pour un sismographe et pourquoi ?
3. Energie cinétique d’une masse sur une tige en rotation.
Soit une tige OX tournant dans le plan horizontal xOy avec un vecteur rotation  vertical. Le référentiel
Ro de repère d’espace ( O, i, j , k ) est galiléen. Un point matériel M de masse m glisse sans frottement sur
OX. A l’instant initial, il est en X(t=0) = Xo. Le point passe de la position Mo(Xo) à la position Mo’(2Xo) sur
l’axe OX.
1.
2.
Calculer l’énergie cinétique relative en Mo’.
Calculer le travail de la force de réaction R dans Ro pour le déplacement considéré. Conclure.
4. Pendule simple. Mouvement de translation rectiligne du point d'attache.
On considère un point matériel M de masse m, suspendu à fil inextensible de longueur l. L'autre extrémité
O' du fil se déplace horizontalement le long de Ox en effectuant autour de O des oscillations sinusoïdales
de petite amplitude X et de pulsation  : OO '  x  X m sin t
la date t, on note  l'inclinaison du fil par rapport à la verticale. On suppose que  reste faible. Le
pendule est initialement au repos dans la position 
1. En appliquantle théorème du moment cinétique au point O' dans le référentiel R'(O'x', O'y',
O'z') en translation rectiligne par rapport au référentiel R(Ox, Oy, Oz), déterminer l'équation
différentielle vérifiée par l'angle 
2. Rechercher les solutions t).
5. Influence de la force de Coriolis sur une balle de fusil.
Une balle de fusil est tirée, horizontalement, dans la direction du nord, depuis un point de la Terre, de
latitude  = 43°. Sa vitesse initiale est v = 1000 m/s. La vitesse angulaire du référentiel terrestre par
rapport au référentiel géocentrique est   7,3.105 rad.s1 .
Le rayon de la Terre est R = 6,40.103 km.
1. Déterminer le mouvement du projectile sous la seule action de la pesanteur et calculer la position
de l’impact sur une cible situé à l = 100m.
2. On considère maintenant le caractère non galiléen du référentiel terrestre.
Etudier qualitativement l’influence de la rotation de la Terre sur le mouvement du projectile.
3. Donner les équations différentielles complètes du mouvement en négligeant la résistance de l’air.
4. Sachant que la trajectoire suivie par la balle ne s’écarte que de très peu de celle déterminée dans
la question 1, proposer certaines simplifications dans les équations différentielles.
Quelle est la déviation due à la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles?