mathématiques 2

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES 1997
175
Mathématiques 2 1/6
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE
FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES2
Durée : 4 heures
Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la
circulaire n O 86-228du 28 juillet 1986.
On se propose détudier quelques propriétés des applications linéaires inversibles de IR" dans IR" ainsi que de leurs
matrices.
Dans tout ce qui suit, IR" (n E N*) est supposé muni de sa base canonique ordonnée
6~ désignant le symbole de Kronecker ( 6 =~1 si i =j et 69 = O si i # j ) .
[
On choisit sur IR" la norme euclidienne usuelle : Ilxl12 = i x ? $ ,
an= ( e l ,..., en),ei = (6li,..., 6ni).
avec x = ( x i ,..., xn).
2 (TIn)est l'ensemble des
i=l
applications linéaires de IRn dans IRn et fin@)
est l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre n.
Alors,
c'%,(FI) défini par : "&y) est la matrice defrelativement à an.',
est un isomorphisme dalgkbre
: %(IRR)+
de (% (IR").+,.,o)
sur W n ( R ) , + ; , x ) , où
+ désigne l'addition, . ddsigne la multiplication
par les scalaires,
O
la
composition des applications et x le produit matriciel.
Sif
E %@"),
m"tée
IfIl = sup(llf(x)l12 :llx112 I1> sera la norme subordonnéedefassociée à I Il2, on notera aussi I I la norme
sur An@)
par c'%.c'est à dire que llMll=
On rappelle que
(($(~R"),+;,O),~~1) et (&(R).+,.,x),II
-'(M)JI ( M E &"(IR)).
1)
sont des alghbres de Banach unitaires et que
est un
isomorphisme isométrique de la premihre algi?bresur la seconde :de ce fait toutes les propriétés, établies dans le texte,
sur %@"> se transposent immédiatement sur &,@).
On notera ln l'Clément neutre de
On pose det :% (IR")
+ IR et
(iR"),o)
Det :&,(IR)
et Jn celui de
pn(IR), x).
+ IR, où dety) désigne le déterminant de f et
Det(M) = d e t p -'(MI) est
le déterminant de M.
Soit M E &,(IR),
M = (ai,,) signifie que ai,, est le réel situé sur la iitme ligne et lajieme colonne de M, a i j est une
"entrée" de la iieme ligne et de la jieme colonne de M.
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Mathématiques 2 2 / 6
Pour k
E
(1,..., n) on définit Lk
:&(W)
-+ W"
par L k ( M ) = (ak.1,...,ak,")si M = (ai,,).
Si L k ( M )
#
(O ,...,O) on
notera p ( k ) = min(j E {1,..., n} : ak,i # O} et on dira que ak,p(k) est "l'entrée principale" de Lk(M).
Dans tout le problème, on appelle "groupe linéaire d'ordre n", et on note GL(R"), l'ensemble suivant :
GL(W")= {f ES(W"): (3g)((g E% (W")) et (g O f = l,,))],
(i.e. f E GL(W") si et seulement sifpossède une "inverse
linéaire à gauche") de même GL,,(W) = A(GL(W"))sera le "groupe matriciel d'ordre n".
La partie II est autonome ; la partie III peut se traiter en admettant 11.3.4.
1.
On se propose, dans cette partie, d'établir les résultats de base relatifs aux groupes linéaires et matriciels.
1)
Montrer que f~ GL(IR") si et seulement si f est une bijection linéaire de W" sur IR", (donc GL,,(R) n'est
autre que l'ensemble des matrices inversibles d'ordre n ) et que ( GL(R"),
f
E
GL(W") et si M
2)
E
O)
et ( GL,,(R), X ) sont bien des groupes ; si
GL,(R) on notera f-' et M-' leurs inverses dans ces groupes.
: N 4%(W") par fo = In, f p+' = f
SoitfE %(IR"), on définit (fP)
0
f ; on rappelle que si
PEN
2.1
(fi....,f),)+ fi
2.2 b
(donc M
3)
Soit P E N ' , soit
o...^
fp
(fi, ...,fp)
E@(R"))'
montrer que :
Bfi
o...ofPll~ll~ll...llfpll
l fl
c 1,
et en déduire que
estcontinue (donc ( M i...,
,A l p ) + M l x . . . x M p est continueavec ( M , , . . . , M , ) E ~ , ( R ) ) ' ) .
. Montrer que : (f+ g)-' - f-'
((
= 1,
+ f-' o g)-' - Z,,) o f-' et en déduire que f + f-' est continue
+ M-' est continue).
a. Montrer que Det est une application continue ;en déduire qu'il en est de même pour det.
Montrer que GL(R") = GL+(W")uGL-(IR") (donc GL,,(R)=GL,+(R)uGL,,-(W)).
Montrer que GL+(R"), GL-(W") sont ouverts (donc GL,,+(R) et CL,,-(W) sont ouverts).
Montrer que (GL+(W"), O) et ( GL,,+(R), x ) sont des sous groupes de ( GL(W"),
Qu'en est-il de G L W ) et GL,,-(W) ?
4)
O )
et ( GL,,(W), x).
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Mathématiques 2 3/6
5)
Soitfes(IRn),ondéfinit u : R + W
par:u(t)=det(f+t.I,)
5.1
Montrer que u est une fonction polynomiale de degré 11.
5.2
Montrer qu'il existe a
GL(W") est dense dans %(IRn)
E
W,a > O tel que l'on ait : {f + t .In: f E ]O,a[}c GL(R"). En déduire que
(donc GLn(W)est dense dans s*z,(R)).
II. Dans cette partie, on montre comment on peut calculer l'inverse d'un élément de GLn(R) en utilisant des
"transformations élémentaires" sur les lignes des matrices.
Définitions :
1-
Soit M = ( c r i , , )
.
E
&,(W);
on dira que M est " L - réduite
soit M est la matrice nulle (notée 0
,
"
si et seulement si :
),
n
n
.
soit, pour tout k E{l , . . . , ? i l tel que L ~ ( M ) # (,...,O)
o
alors a k , p ( k ) = I et C l a j , p ( k ) l = l
j=l
(où crk,p(k)est "l'entrée principale" de Lk(M)).
...............
O
1
i
O
0
... O
O
oh
Al,k,k =
:
1
0
O
h
0
0
1
O
:
'.. O
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
O 1
où A * , k , p . ~s'écrit :
0
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Mathématiques 2 4/6
1
0
.....................
O
1
0
i
0
l
O
A2,k,p,h=
O
*..
O
: . . . A
( ) . . . O
1
0 . . . . . . +$&me ligne
O
O
O
1
?pieme colonne
......
......
1
( ) . . . O
0
1
...O
0
0
...O ......
...
+
ligne
:i
0 ...... 0 ...... 0 . . . 1
On définit alors &(n) =
u &;(n), un élément de
&/(il)
s'appelle une matrice Clémcntaire d'ordre n. de type i s'il
fs{1.2.3}
appartient à €/i(n).
5-
On appelle opération élémentaire de type 1, 2 ou 3 sur A,(R)
et on note
( < k ,p ) E (1, ....r ~ } h~ E, IR) toute application (de
0 (n)=
A,@\)
dans An@))
du type :
u O i ( n ) est l'ensemble des opérations élémentaires sur An@).
iE{ 1.23)
TI,,,,,
$2,k,p,A.
$3,k.!,
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Mathématiques 2 5 / 6
6-
Soit (M, N )
(.T(’) ,...,. ~ ( q )E)
1)
on dira que N est “L
(&
E
(n))q tels que : N = (.TC’)0 .Y(*)
Soit M = (ai,j)E &,(R),
0
-
équivalente” à M s’il existe q
E
N* et
...0 P ) ) ( M ) .
calculer fl,k,h(M), f 2 , ~ ~ , h ( M f3,k,p(M)et
),
donner une interprétation
simple des opérations élementaires sur fi,@).
2)
Calculer Det(Al,k,h), Det(A2,k,p,~), D e t ( A 3 , ~ et
~ )montrer que &(n) c GL,,(R).
Calculer ( A l , k , ~ ) - ’ ,
(A*,~,,J)- 1, (A3,k,p)-1
d’équivalence sur &,(IR).
et en déduire que la “ L - équivalence” est bien une relation
est “ L - équivalente” à M, alors N E GL,,(R).
Montrer que si M E GL,,(R) et si N E&,@)
On se propose de montrer que tout Clément de &,(IR)
est “L - équivalent” à une matrice “L - réduite” et ce,
3)
en utilisant uniquement des opérations élémentaires de type 1 ou 2.
Soit M = ( q i )E $.z,(R)
(1)
....,J+
(on suppose que M
f
O&,),
on suppose que pour k donné, k
( q ( k ) ) )E ~ 1 ( 1 t ) u 0 2 ( n ) ) q ( ~ ) tel que ~ ( k =)
Q (1)
0
...of
E
(1 ,..., r t } , on a pu trouver
( q ( k ) ) ) ( ~=)( a i , j ( k ) ) vérifie la propriété
(Rk)).
n
( ~ ( k ) :) pour tout
i E { l ,...,k } ,
soit L , ( M ( ~ ) =
) (O ,...,O), soit ai,p,,,(k)=l et Cla,,p,,,(k)l=l (ai,p,,(k)étant
j=1
“l’entréeprincipale” de Lj(M(k))).
Si pour tout i E { k + l , . . . , n } on a Li(M(k))= ((),...,O) alors M(k) est “L - réduite”, de même si k = n ; de PIUS M et
M ( k ) sont “L - équivalentes” par des opérations élémentaires de type 1 ou 2. Si M ( k ) est “L - réduite” c’est fini, sinon
I
soit nz(k) = min i E { k + I ,...,r t } : ~ i ( ~ ( kz )(O),....O ) ] .
3.1 Montrer qu’il existe f 1 , , , ( k ) , ~ ~ 8 1 ( n )tel que l’on ait : f ~ , ~ ( k ) , x [ M ( k=)M) ( k ) =(a;,,(@)
vérifie
(k)
(k)
( P ( k ) ) ,et a ; n ( k ) , p ( , n ( k ) )= 1 (où a;,(k),p(m(k))
est “l’entrée principale” de L , , ( k ) ( M ( k ) ) ) .
3 . 2 Soit {il ,...,i n - [ } = {I,..., n } \ { r n ( k ) } , montrer qu’il existe
M(,n(k)) =$?,il
, , , ( k ) , ~ , ~0 ...
tel que l’on ait :
,,,,(k),h,fl-l( ~ ( k ) vérifie
)
( ~ ( r n ( k ) )Montrer
),
que ceci établit le résultat énoncé
au début du 11.3.
3 . 3 On s‘intéresse à l’algorithme permettant de calculer les entrées de M(,(k)) à partir de la donnée de celles
de M ( k ) . On pose, pour simplifier I‘écriture, M(k) = ai,^), m ( k ) = M , M(,(k)) = (b;,j) ; expliciter les formules
permettant le calcul des bi,j à partir des ui,j .
3 . 4 Soit M E GL,(R), montrer que, si M est ”L - réduite”, il existe q E N* et
)iei1,...ql E p301))q
r 3 ~ 1 7 ~ 1
tels que e ) , k , , p l 0f3.k2,P2 o...0f3,k,,~,)(M)= J,. Montrer que M EGL,(R) si et seulement si M est un produit
déléments de &(ri).
III. Nous allons montrer que GL,,+(R),GL,-(R), GL+(R”),GL-@?“)sontconnexes par arcs. Il s’agit d’un résultat
important et non évident, bien qu‘élémentaire.
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Mathématiques 2 6/6
A.
Soit M
1.
E GL,+(R)
d'après 11.3.4, il existe (Bi)i,={l,.,.,m}
E (Gl(n))" tel que l'on ait : M = BI x B2 x ...x B,,
Montrer que { i E {l, . . . , n i } : B, E GL,-(R)) possède un nombre pair d'Cléments.
2.
3.
4.
Montrer que w est continue, que w([O,I]) c GL,,-(R), et calculer o(0) et w( 1).
li
5 . En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe O,
o(0)= M et Lj(o(1))= &i . ei, &i E {-1, l} et {i E {l, ...,n} :
6.
Soit { p , k } c (1 ,...,n}, p
f
O :[0,1]
+ GL,+(R),
continue, telle que l'on ait :
= -1} possède un nombre pair d'Cléments.
D
k , soit N ( p , k ) EJ%,(R)avec :
Li(N(p,k))=ei si i ~ { p , k }
Soit p:[o,~]+&,(R),
L i ( P ( r ) ) = e i si i e { p , k }
Lk(p(t)) = -cos(xt). ek +sin(xr). e p ,
Lp (p(t)) = -cos(nt) . e p - sin(xt). ek
Montrer que p est continue, que p([O,l])
7.
E
GL,+(R),et calculer p(0) et p(1).
En utilisant III.A.5 et III.A.6, montrer qu'il existe p, p:[O,l]+ GL,+(R), p continue, telle que l'on ait
p(0) = M, p(l) = J,. Déduire de ceci que GL,+(R) est connexe par arcs (donc GL+(R") est connexe par arcs).
B . Soit M E GL,-(2), montrer, en s'inspirant de 1II.A qu'il existe v, v:[O,l] + GL,,-(R), v continue, telle que l'on
ait : v(0) = M , v(1) = Al,,,-l
Déduire de ceci que GL,-(R) est connexe par arcs (donc GL-(R") est connexe par arcs).