mathématiques 2

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES 1997 175
Mathématiques 2 1/6
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE
FILIÈRE MP
MATHÉMATIQUES 2
Durée : 4 heures
Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la
circulaire
n O 86-228 du 28 juillet 1986.
On se propose détudier quelques propriétés des applications linéaires inversibles de IR" dans IR" ainsi que de leurs
matrices.
Dans tout ce qui suit, IR" (n E N*) est supposé muni de sa base canonique ordonnée an = (el, ..., en), ei = (6li,..., 6ni).
6~ désignant le symbole de Kronecker (6~ = 1 si i = j et 69 = O si i # j).
On choisit sur IR" la norme euclidienne usuelle : Ilxl12 = [ ix?$, avec x = (xi ,..., xn). 2 (TIn) est l'ensemble des
i=l
applications linéaires de IRn dans IRn et fin@) est l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre n.
Alors, : %(IRR)+ c'%,(FI) défini par : "&y) est la matrice defrelativement à an.', est un isomorphisme dalgkbre
de (% (IR").+,.,o) sur Wn(R),+;,x), où + désigne l'addition, . ddsigne la multiplication par les scalaires, O la
composition des applications et
x le produit matriciel.
Sif E %@"), IfIl = sup(llf(x)l12 : llx112 I 1> sera la norme subordonnée defassociée à II Il2, on notera aussi II II la norme
m"tée sur
An@) par c'%. c'est à dire que llMll=
-'(M)JI (M E &"(IR)).
On rappelle que (($ (~R"),+;,O),~~ 11) et (&(R).+,.,x),II 11) sont des alghbres de Banach unitaires et que est un
isomorphisme isométrique de la premihre algi?bre sur la seconde : de ce fait toutes les propriétés, établies dans le texte,
sur
%@"> se transposent immédiatement sur &,@).
On notera ln l'Clément neutre de
(iR"),o) et Jn celui de pn (IR), x).
On pose det :% (IR") + IR et Det :&,(IR) + IR, où dety) désigne le déterminant de f et Det(M) = detp -'(MI) est
le déterminant de
M.
Soit M E &,(IR), M = (ai,,) signifie que ai,, est le réel situé sur la iitme ligne et lajieme colonne de M, aij est une
"entrée" de
la iieme ligne et de la jieme colonne de M.

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Pour k E (1 ,..., n) on définit Lk :&(W) -+ W" par Lk(M) = (ak.1, ..., ak,") si M = (ai,,). Si Lk(M) # (O ,..., O) on
notera
p(k) = min(j E {1 ,..., n} : ak,i # O} et on dira que ak,p(k) est "l'entrée principale" de Lk(M).
Dans tout le problème, on appelle "groupe linéaire d'ordre n", et on note GL(R"), l'ensemble suivant :
GL(W") = {f ES (W") : (3g)((g E% (W")) et (g O f = l,,))], (i.e. f E GL(W") si et seulement sifpossède une "inverse
linéaire
à gauche") de même GL,,(W) = A( GL(W")) sera le "groupe matriciel d'ordre n".
La partie II est autonome ; la partie III peut se traiter en admettant 11.3.4.
1.
On se propose, dans cette partie, d'établir les résultats de base relatifs aux groupes linéaires et matriciels.
1 )
Montrer que f~ GL(IR") si et seulement si f est une bijection linéaire de W" sur IR", (donc GL,,(R) n'est
autre que l'ensemble des matrices inversibles d'ordre
n) et que ( GL(R"), O) et ( GL,,(R), X) sont bien des groupes ; si
f E
GL(W") et si M E GL,(R) on notera f-' et M-' leurs inverses dans ces groupes.
2)
SoitfE %(IR"), on définit (fP)
: N 4% (W") par fo = In, f p+' = f 0 f ; on rappelle que si llfll c 1,
PEN
2.1 Soit PEN', soit (fi, ...,fp) E@(R"))' montrer que : Bfi o...ofPll~ll~ll...llfpll et en déduire que
(fi....,f),)+ fi o...^ fp estcontinue (donc (Mi, ..., Alp)+ Ml x...xMp est continueavec (M,,...,M,)E~,(R))').
2.2 b . Montrer que : (f + g)-' - f-' = (( 1, + f-' o g)-' - Z,,) o f-' et en déduire que f + f-' est continue
(donc M + M-' est continue).
3 )
a. Montrer que Det est une application continue ; en déduire qu'il en est de même pour det.
Montrer que GL(R") = GL+(W")uGL-(IR") (donc GL,,(R)= GL,+(R)uGL,,-(W)).
Montrer que GL+(R"), GL-(W") sont ouverts (donc GL,,+(R) et CL,,-(W) sont ouverts).
4)
Montrer que (GL+(W"), O) et ( GL,,+(R), x) sont des sous groupes de ( GL(W"), O) et ( GL,,(W), x).
Qu'en est-il de GLW) et GL,,-(W) ?

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oh Al,k,k =
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...............
O10
i O ... O
: Oh0
O10
010:
O '.. O
0 O1
...............
5) Soitfes(IRn),ondéfinit u:R+W par:u(t)=det(f+t.I,)
5.1
Montrer que u est une fonction polynomiale de degré 11.
5.2
Montrer qu'il existe a E W, a > O tel que l'on ait : {f + t .In : f E ]O,a[} c GL(R"). En déduire que
GL(W") est dense dans %(IRn) (donc GLn(W) est dense dans s*z,(R)).
II.
"transformations élémentaires" sur les lignes des matrices.
Dans cette partie, on montre comment on peut calculer l'inverse d'un élément de GLn(R) en utilisant des
Définitions :
1-
Soit M = (cri,,) E &,(W); on dira que M est "L - réduite " si et seulement si :
.
soit M est la matrice nulle (notée 0, ),
n
n
. soit, pour tout k E{l ,...,?il tel que L~(M)#(o ,...,O) alors ak,p(k) =I et Claj,p(k)l=l
j=l
(où crk,p(k)est "l'entrée principale" de Lk(M)).
où A*,k,p.~ s'écrit :

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A2,k,p,h=
.....................
10 O
O10
i0l
O *..
O
:...A ()...O 10 ......
O
O O 1
?pieme colonne
+$&me ligne
1 ()...O ......
0 1 ...O ......
...... ... + ligne
0 0 ...O
0 :i
...... 0 ...... 0...1
On définit alors &(n) =
appartient à €/i(n).
u &;(n), un élément de &/(il) s'appelle une matrice Clémcntaire d'ordre n. de type i s'il
fs{ 1.2.3}
5-
On appelle opération élémentaire de type 1, 2 ou 3 sur A,(R) et on note TI,,,,, $2,k,p,A. $3,k.!,
(<k, p) E (1, .... r~}~, h E IR) toute application (de A,@\) dans An@)) du type :
0 (n) =
u
iE{ 1.23)
Oi(n) est l'ensemble des opérations élémentaires sur An@).

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6-
Soit (M, N) E (&
on dira que N est “L - équivalente” à M s’il existe q E N* et
(.T(’) ,..., .~(q)) E
(n))q tels que : N = (.TC’) 0 .Y(*) 0 ... 0 P))(M).
1)
Soit M = (ai,j) E &,(R), calculer fl,k,h(M), f2,~~,h(M), f3,k,p(M)et donner une interprétation
simple des opérations élementaires sur fi,@).
2) Calculer Det(Al,k,h), Det(A2,k,p,~), Det(A3,~~) et montrer que &(n) c GL,,(R).
1
Calculer (Al,k,~)-’, (A*,~,,J)- , (A3,k,p)-1 et en déduire que la “L - équivalence” est bien une relation
d’équivalence sur
&,(IR). Montrer que si M E GL,,(R) et si N E&,@) est “L - équivalente” à M, alors N E GL,,(R).
3 )
On se propose de montrer que tout Clément de &,(IR) est “L - équivalent” à une matrice “L - réduite” et ce,
en utilisant uniquement des opérations élémentaires de type 1 ou 2.
Soit M = (qi) E $.z,(R) (on suppose que M f O&,), on suppose que pour k donné, k E (1 ,..., rt}, on a pu trouver
(1) ....,J+ (q(k))) E~1(1t)u02(n))q(~) tel que ~(k) = Q (1) 0 ... of (q(k)))(~) = (ai,j(k)) vérifie la propriété
(Rk)).
(~(k)) : pour tout iE{l ,..., k}, soit L,(M(~)) = (O ,..., O), soit ai,p,,,(k)=l et Cla,,p,,,(k)l=l (ai,p,,(k)étant
“l’entrée principale” de Lj(M(k))).
Si pour tout i E {k + l,...,n} on a Li(M(k)) = ((),...,O) alors M(k) est “L - réduite”, de même si k = n ; de PIUS M et
M(k) sont “L - équivalentes” par des opérations élémentaires de type 1 ou 2. Si M(k) est “L - réduite” c’est fini, sinon
soit
nz(k) = min i E {k + I ,..., rt} : ~i(~(k)) z (O ,.... O)].
(P(k)), et a;n(k),p(,n(k)) = 1 (où a;,(k),p(m(k))
n
j=1
I
3.1 Montrer qu’il existe f1,,,(k),~ ~81(n) tel que l’on ait : f~,~(k),x[M(k)) = M(k) =(a;,,(@) vérifie
est “l’entrée principale” de L,,(k)(M(k))).
(k) (k)
3.2 Soit {il ,..., in-[} = {I ,..., n} \ {rn(k)}, montrer qu’il existe tel que l’on ait
:
,,,,(k),h,fl-l (~(k)) vérifie (~(rn(k))), Montrer que ceci établit le résultat énoncé
M(,n(k)) =$?,il ,,,(k),~,~ 0 ...
au début du 11.3.
3.3 On s‘intéresse à l’algorithme permettant de calculer les entrées de M(,(k)) à partir de la donnée de celles
de
M(k). On pose, pour simplifier I‘écriture, M(k) = ai,^),
m(k) = M, M(,(k)) = (b;,j) ; expliciter les formules
permettant le calcul des
bi,j à partir des ui,j .
3.4 Soit M E GL,(R), montrer que, si M est ”L - réduite”, il existe q E N* et r3~17~1 )iei1 ,...ql E p301))q
tels que e),k,,pl 0f3.k2,P2 o...0f3,k,,~,)(M)= J,. Montrer que M EGL,(R) si et seulement si M est un produit
déléments de
&(ri).
III. Nous allons montrer que GL,,+(R),GL,-(R), GL+(R”),GL-@?“)sont connexes par arcs. Il s’agit d’un résultat
important et non évident, bien qu‘élémentaire.