Développement: Un exemple d`étude de sous

Développement: Un exemple d’étude de sous-variété
Groupe de matrices
Adrien Fontaine
9 janvier 2013
Référence : Rouvière, exercice 94p284
Proposition 1
1. Soit G=SLn(R)l’ensemble des matrices de taille nréelles de déterminant 1. Gest une
sous-variété de Rn2, de dimension n2−1et si X∈SLn(R), alors l’espace tangent en X
est l’ensemble des matrices Htelles que
T r(X−1H) = 0
2. Si G=On(R), l’ensemble des matrices orthogonales de taille n, alors Gest une sous-
variété de dimension n(n−1)
2. Son espace tangent en Xest l’ensemble des Htels que
t(X−1H) = −X−1H
Démonstration : Soit E=Rn2l’ensemble des matrices de taille n.
1. Le groupe Gest l’ensemble des X∈Etels que f(X)=0, en notant f(X) = det(X)−1.
C’est une fonction de classe C1(et même C∞) sur E(elle est polynômiale en les coefficients
de X). Calculons sa différentielle. On va d’abord calculer Ddet(I). Pour cela, il suffit de
calculer la dérivée de det en Idans une direction quelconque H∈E. Or, si λ1, ..., λnsont
les valeurs propres de H, celles de I+tH pour t∈Rsont les 1 + tλi, d’où,
det(I+tH) =
n
Y
i=1
(1 + tλi)
= 1 + t
n
X
i=1
λi+O(t2)
= 1 + t T r(H) + O(t2)
pour t→0en ordonnant selon les puissances croissantes de t. Le coefficient de tdonne
Ddet(I)H=T r(H)
Si Xest maintenant une matrice inversible, on se ramène facilement de XàIen écrivant
det(X+H) = det(X).det(I+X−1H)
=det(X).(1 + T r(X−1H) + o(kHk))
=det(X) + T r(t˜ XH) + o(kHk)
1

2
en notant ˜ X=det(X)tX−1la comatrice de X. Par suite,
Ddet(X)H=T r(t˜ XH)
Enfin, les matrices inversibles forment un ouvert dense de E. Elles sont en effet caractérisées
par det(X)6= 0, donc forment un ouvert. Pour Y∈Edonnée, de valeurs propres (réelles ou
complexes) λ1, ..., λn, on peut choisir une suite εkconvergeant vers 0dans R, telle que pour
tout k,
det(Y−εkI) =
k
Y
i=1
(λi−εk)6= 0
Les matrices Xk=Yk−εkIsont alors inversibles et convergent vers Ydans E. D’où, la
densité annoncée.
L’application X7→ ˜ Xest continue de Edans E, puisque les cofacteurs sont des fonctions
polynômiales des coefficients de X. Comme det est de classe C1, l’expression obtenue pour
sa différentielle en un point inversible se prolonge par continuité à Etout entier.
Donc, pour X∈Get H∈E, on a :
Df(X)H=T r(X−1H)
On a donc en particulier Df(X)X=n. Par suite, la forme linéaire Df(X)est non nulle
pour tout X∈G. Donc, d’après la caractérisation par submersion, Gest une sous-variété
de classe C∞et de dimension n2−1. Par ailleurs, son espace tangent en Xest donné par le
noyau de Df (X). C’est donc l’ensemble des matrices Htelles que
T r(X−1H)=0
2. On a maintenant Gqui désigne l’ensemble des matrices X∈Etels que g(X)=0où g(X) =
tXX −I, application C1(et même C∞) de Edans l’espace Sdes matrices symétriques de
taille n. Il nous faut maintenant vérifier que pour chaque X∈G,Dg(X)est une surjection,
c’est à dire une application de rang dim(S). Or, pour chaque X∈Get H∈E,
Dg(X)H=tXH +tHX =X−1H+t(X−1H)
Si Yest donnée dans S, l’équation Dg(X)H=Yadmet notamment la solution H=1
2XY ,
ce qui établit la surjectivité.
Par suite, Gest une sous-variété de Ede dimension,
dim(G) = dim(E)−dim(S) = n2−n(n+ 1)
2=n(n−1) 2
et son espace tangent en Xest l’ensemble des Htels que
t(X−1H) = −X−1H
Pour X=I, c’est le sous-espace de Eformé des matrices antisymétriques.