Algèbre de Clifford part 3 - GEOMETRIE DIFFERENTIELLE par le

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V. SPINEI]R DE UAJORANA
A) Conlueaison de charse.
Prenons 1'équation de Dirac avec champ électromagnétique A*,
*ôuV + ie\rPç:m<p (\ rée1, e € R) (1)
On sait qu'il existe des spineurs qui vérifient l'équation avec la charge
opposée (antiparticules). Il est importanÈ de remarquer que 1'équation (1)
est écrite, sans le terme i habituel devant f.
On appelle spineur conjugué g", le spineur qui vérifie
/ô*% i e fuf ç" = rn 9c
Prenons 1e conjugué complexe de
riili
(2)
(1)
*
fu(/) <f = mt'
1/";- a*d i e
On va chercher une solution
transformation linéaire bijective,
(3) :c()/r)" ç-t ô,, g" i e
(3)
<pl où C est une
et on remplace dans
= rn(Pc
du type
donc t' % =Q
_ C_1 g"
Ap c(f) c-1 (P"
Si on prend f = C(f) C-1 .on retrouve (2) Donc :
Si ç vérifie 1'équation de Dirac pour une
% = C d vérifie l'équation de Dirac pour
si on peut trouver C tel que rP = C(rP)" C
Remarque
charge e, alors
une charge - e
-1
: <p est un spineur irréductible élément d'un espace vectoriel
complexe donc c'est de 1'algèbre de Clifford complexifiée dont
il s'agit ici.

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B) Propriétés de C.
1') f = C(f)* C-'
= c(c<*>" c-') t-'
- (c c. ) f (c c*)-t
C C" commute donc a.rec 1À, quel que soit h, donc avec tous les éléments
de la représentation. Le lemme de Schur nous dit que :
CC*-kt k e c
2"> 66" =kI donc C" =kC-1
**-1
c = (k Ç-r) - k* 16-r) = k* (c*)
=k* (tC-1)-1 = iC
done:k*=k
cc"-kr k € R
3') On impose (%)" - "t* <p, c'est à dire que l'antiparticule de
I'antiparticule est la particule elle-même à une phase près.
(%)" = C(<p")* = C(C d)* = C C* 9= eiù I
quel que soiË g. On a :

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CC*--eie=kI k e R
soit :k =*1
CC* =+I
4') exemple : dans l'espace de Minskowski et pour la représentation de
Dirac on a pour C :
C-eiof etdanscecas CC* -+L
C) Spineurs de lfaiorana.
On appelle spineur de Majorana un spineur qui satisfait % - À <p,
oir À est une phase, ceci quelle que soit la représentation. En général,
un spineur de Majorana est défini par % - <p.
Nota bene : 11 ne faut pas eonfondre un spineur de Majorana et la repré-
sentation de Majorana.
Ona: I
soit :
À*
Si on peuc trouver dans 1'algèbre de Clifford complexifiée un opérateur
C te1 que f = C(rp)' C-t et f, f,* = + 1 alors il exisÈera des
spineurs de Majorana. Ceci n'est pas le cas de toutes les algèbres de
Clifford, donc de Èous les espaces de "Minkowski" de métrique et de
dimens ion quelconques .
(%)" = C(%)
% =Cd
=À*ç>"=À"Àg=1p
1*1
=1C (C,pI) - lCC* <p=À<p
À* À*
-+1
c
(9.
h
:À
tr=

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Remarque : puisque g" = À g, g représente une particule de charge nulle.
D) Existence des soineuts de lrlalorana.
On a Ceq (lR) algèbre de Clifford réelle de M - & I B
avec : *,=lR, tD, IH, RoR ou Fl @Fl
et: 3= 4(R)
1o) Supposons que 4 = lR ou lR @ lR et montrons que C existe et C C*= + l.
si 4= lR ou R@R alors ceq(R) - 4(R) o,r4(R) o4(R), donc on
peut trouver une représentation dans laquelle les f ont des composanËes
réelles. Les éléments de anfr s'écrivent I H rÀ avec ah € C et rà
h
rée1les.
Si les r# sont réels (f)* = të alors (3) (conjuguée complexe de
l'équation de Dirac avee champ) s'écrit :
f apri -iee.,'r,t'd=rd
C'est donc l'équation (2), c'est à dire 1'équation de Dirac pour une
charge - e. On pose donc A" - g:
Notons t les matrices lP dans notre représentation réelle. Dans
un changement de base quelconque, les spineurs de Cn$ se transforment
conrme :

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{, =s<p
rè=s ?À s-1
r
Tt" =s
rà,y = s
s^t
r)
fr
(*
\r
On a donc :
{r = s<pc s ç* = s(s-1 ù)
, -, . t *
% =s (s') ù
(r#)* = Gfr"-t)* = s" {{s-1)*
= s* (s-1 )#s) (s-1)
= ["q"-tr* ]-t *[s1s-rr. ]
Posons :
= s(s-1 )
On a bien :
cc* s (s-1 )
I
c-1
f=Cf*
En conclusion :
Si 1'algèbre de Clifford
existe un opérateur "conjugaison
cornplexifiée cppq . Cet opérateur
de définir des spineurs de
cpq(R) - (R@R) E4(R).
(s s-r*, -1 * * -1
=ss'ss'
et % =C'tt-
réelle ceq (R) - lR I 4 (R) , alors i1
de charge" dans 1'algèbre de Clifford
vérifie les conditions qui permettent
Maj orana. C'est aussi le cas pour
Ceci apparait donc pour p - q = 0, 1, 2 t'Iod 8.