Algèbre de Clifford part 3 - GEOMETRIE DIFFERENTIELLE par le

27
V.
SPINEI]R DE UAJORANA
A) Conlueaison de charse.
Prenons 1'équation de Dirac avec champ électromagnétique
*ôuV
A*,
(\ rée1, e € R)
+ ie\rPç:m<p
riili
(1)
sait qu'il existe des spineurs qui vérifient l'équation avec la charge
opposée (antiparticules). Il est importanÈ de remarquer que 1'équation (1)
est écrite, sans le terme i habituel devant f.
On
On
appelle spineur conjugué g", le spineur qui vérifie
i e fuf ç" =
/ô*%
Prenons 1e conjugué complexe
1/";- a*d
i
de
(2)
<f = mt'
(3)
(1)
*
e
rn 9c
fu(/)
On va chercher une solution du type % =Q <pl où C est
donc t' _ C_1 g" et on remplace
transformation linéaire bijective,
(3) :
i e Ap c(f)
c-1 (P" = rn(Pc
c()/r)" ç-t ô,, g"
Si
on
prend f = C(f)
C-1
.on retrouve (2)
Donc
une
dans
:
Si ç vérifie 1'équation de Dirac pour une charge e, alors
% = C d vérifie l'équation de Dirac pour une charge - e
si on peut trouver
Remarque
C
tel que rP = C(rP)"
C
-1
: <p est un spineur irréductible élément d'un espace vectoriel
complexe donc c'est de 1'algèbre de Clifford complexifiée dont
il s'agit ici.
28
B) Propriétés de C.
1')
f = C(f)* C-'
c-') t-'
= c(c<*>"
-
(c
c.
)
f
(c c*)-t
C C" commute donc a.rec 1À, quel que soit h, donc avec tous les éléments
de la représentation. Le lemme de Schur nous dit que :
k e
CC*-kt
c
2">
donc
66" =kI
c
C" =kC-1
**-1
= (k
Ç-r) -
k*
16-r) = k* (c*)
=k* (tC-1)-1 = iC
done:k*=k
cc"-kr
k€
R
3') On impose (%)" - "t* <p, c'est à dire que l'antiparticule
I'antiparticule est la particule elle-même à une phase près.
(%)" = C(<p")* = C(C d)* = C C* 9= eiù I
quel que soiË g. On a
:
de
29
k e
CC*--eie=kI
soit
R
:
k =*1
CC* =+I
4') exemple : dans l'espace de Minskowski et pour la représentation
Dirac on a pour C :
C-eiof
etdanscecas
de
CC* -+L
C) Spineurs de lfaiorana.
appelle spineur de Majorana un spineur qui satisfait % - À <p,
oir À est une phase, ceci quelle que soit la représentation. En général,
un spineur de Majorana est défini par % - <p.
On
Nota bene :
11 ne faut pas eonfondre un spineur de Majorana et la représentation de Majorana.
Ona:
(%)" = C(%)
%
soit
c
I
1*1
(9.
h
=Cd
=À*ç>"=À"Àg=1p
=1C
À*
(C,pI)
- lCC*
<p=À<p
À*
:
tr=
:À
À*
-+1
Si on peuc trouver dans 1'algèbre de Clifford complexifiée un opérateur
C te1 que f
= C(rp)' C-t et f, f,* = + 1 alors il exisÈera des
spineurs de Majorana. Ceci n'est pas le cas de toutes les algèbres de
Clifford, donc de Èous les espaces de "Minkowski" de métrique et de
dimens ion quelconques .
30
: puisque g" = À g, g représente une particule de charge nulle.
Remarque
D) Existence des soineuts de lrlalorana.
On
a
Ceq
(lR)
algèbre de Clifford réelle de M - & I B
avec :
*,=lR,
et:
3= 4(R)
1o) Supposons que 4 =
si 4=
lR
tD,
ou
IH,
lR @ lR
ou
RoR
et
Fl @Fl
montrons que C
existe et
C C*=
+ l.
ou
R@R alors ceq(R) - 4(R) o,r4(R) o4(R), donc on
trouver une représentation dans laquelle les f ont des composanËes
lR
peut
réelles. Les éléments de anfr s'écrivent I H rÀ avec ah € C et rà
h
rée1les.
Si les r# sont réels (f)* = të alors (3)
l'équation de Dirac avee champ) s'écrit
(conjuguée complexe
de
:
f apri -iee.,'r,t'd=rd
l'équation (2), c'est à dire 1'équation de Dirac pour une
charge - e. On pose donc A" - g:
C'est
un
donc
les matrices lP
Notons t
changement
conrme
:
de
dans notre représentation réelle. Dans
base quelconque, les spineurs de Cn$ se transforment
31
On
a donc
{, =s<p
Tt" =s
fr
rè=s
rà,y =
(*
\r r)
?À
r s-1
s
s^t
:
{r =
s ç* = s(s-1 ù)
s<pc
t
, -, .
*
% =s (s') ù
(r#)* =
G
f r "-t)* = s" {{s-1)*
= s* (s-1 )#s) (s-1)
= ["q"-tr* ]-t *[s1s-rr.
Posons
:
= s(s-1
On a
]
bien
)
:
cc*
s
(s-1 )
(s s-r*,
-1
=ss'ss'
*
*
-1
I
f=Cf*
En conclusion
c-1
et
% =C'tt-
:
Si 1'algèbre de Clifford réelle ceq (R) - lR I 4 (R) , alors i1
existe un opérateur "conjugaison de charge" dans 1'algèbre de Clifford
cornplexifiée cppq . Cet opérateur vérifie les conditions qui permettent
de définir des spineurs de Maj orana. C'est aussi le cas pour
cpq(R) - (R@R) E4(R).
Ceci apparait donc pour p - q = 0, 1, 2 t'Iod 8.
5Z
2')
RéciDroquement. montrons que s'il
existe un o!,érateur conjugaison
charge vérlfiant C C"= + I alors nécessalrement Cn,n (lR) - R I4(lR)"
(On adrneÈtra le résultat pour Cnn (R) - (R O R) I 4 (R) )
de
a) Supposons C C*= + L on peut décomposer tout soineur o de *,q g.Il :
+ Ir*-r.,
e- i,***,
etona:
avec a" =cd
=g*+g
*
(9*). =C(9*) =ç,*
(d)" =C(ç) --e
De plus
(rÀ
or par hypothèse on a
rÀ
soit
:
done
si
ç)" = c()À 9)* = c ?À " c-Lc ,i
:
(rà ç)"
<p=
et
=trà* ç-t
g" c'est-à-dire si
= rr e"
<p
est du genre <y' alors
(rÀç)
c
et si g = - g",
% =Cd
i
= rÀç
c'est-à-dire du genre g-, alors
:
(rÀç) = - *ç
La décornposition
c'est à dire :
ç>
=
ç>+
+ d est préservée par 1a rnultiplication par ?à,
rÀ<p=rÀ(<p*+ç)=fç*
avec
+/<p
:
(ràç*)
=ràç*
,
(-làg)
= -.>à<p
33
Appelons
1'espace vectoriel complexe des spineurs g de cÇ
yfq
S+ 1'espace veetoriel des spineurs <p du genre e'
s- l'espace vectoriel des spineurs <p du genre I
S
S+et S- sont des sous esDaces vectoriels sur
Montrons le pour S+ i
Quels que soiena gr et gz
Vgr€S+
et
, et a g, e S+ car C est linéaire.
,\<pr € S+car:
€
S+
VÀ € C,
(À
lR.
Mais
9r)" = C (À gr)* = À* G er = À* (er).
=^*gr
I 1gr
çr) € S+
Donc on n'a pas S = S+ O S- car
vectoriels sur C.
(À
si À est réel.
S+ et S- ne sont pas des sous êspaces
que
Onavuque:
rÀp* €
'rÀ çl
s+
€ S-
V<p* €
s+
V<p € S-
donc S+ et S- sont des sous espaces vectoriels réels globalement
invariants par les rÀ (ec par toute combinaison linéaire réelle des rÀ) :
$+ et S- oortent une représentation de C - (R)
b) IJétai11ons un Deu ces oroblèmes de reorésentation-
S est un espace vectoriel
sur S:
représentation de cC
p-rq
sur C eÈ din6
S=
n.
gA
une
34
rr
cnYn
e$
i ep
PA
É+
fA(
s)
r* - o6(ep)
*,
p'(i ep) - i eç(ep) = i rll
On peut écrire dans une base (€-r) de S : rlr - A + i B avec A et
matrices n x n à composantes réelles.
B
Tout spineur de S s'écriË ç - Àt ï, avec À1 € [, donc on peuË
l'écrire
<p = al â. + bi(t dr) avec ai, bi e R et S peut êcre considéré
cornme un espace vectoriel sur lR noté 56 dont la base est {â, , (i i, f .
)
Si onrnultiplieparunemaËrice C=A+ iB (4, Bréelles)
[(R ar - B bl) + i (B ai + A bi)] €*,
ce qui s'exprime dans Sp par la matrice
cR=
(r
l,
ona:
:
-B)
^,J
Si on multiplie par i dans 56 (on ajoute à S f indice C pour mieux
distinguer de Sp) :
(ic)9=i(A+iB)9
= [( - B ai - A bl) + i (A al - B bi) ] ;,
er
donc
à (i c) marrice de 16 (Sç) on associ-e la marrice
(-s -Al
|.
f,p (sp)
^
_
B)
de
La rnultiplication par i dans 56 se traduiË par une multiplication
par J dans Sp où la matrice de J est
(o -r)
I
l.r
I dans la base
0)
:
35
{€*....., ;", i €*,
i
€*r,)
avec J2 - - 1.
Bien que S porte une représentation irréductible p 6 de C*Cn ,
porte une représentation réductible de Cnq (R) (puisque SR - S+O S-).
'l
SR
et S-dont nous avons vu qu'
portenË chacun une représentation de Cn,q (lR).
c) Rewenon-s à
a décomoosition en
S+
Nous allons maintenant montrer que si la représentation de Cn,q (R)
existe alors elle est fidèle
Soit p* une représentation de C* (lR) sur
s-)
p-
sur
:
P+ :
On
S+ (respectivement
veut montrer que si
"
Cnn
(R) "----'
tfr(S* )
€ Cnn(R) est tel que p*(a) = 0
alors a = 0.
Remarquons d'abord que V g* e S*, i g* € S- et inversement V <p- € S-,
i g e s+. Donc (€*,
, d"t (resp. (i €-r
, i i")) forme une base de
S+ (resp. S-). Donc si p*(a) = A dans la base {âr), alors on peut
définir une représentation p- sur S- par
p-(a) = A
Donc
:
q(a)
et
comme
1'élément
_
(p,
o)
t, t
dans cette base
18a
deCÇ
= Ce
pfq
J
:
dans
(i
dans
i,,
r€r. )
T\
=(o
lr
o,l
cpq (R)
lonc
do
i
€*.
J
)
cetÈe matrice représente
+ a=0
pp(a)=0 + e6(1 ea)
puisgue p6 est fidèle, donc ker pR = (0)
Evidemment, cette démonstration ne marche que si
pC esÈ
fidèle.
36
elle est irréductible, cela veut dire que Cn$ est
simple. Dans 1e cas oir Cn$ est semi-sirnple (ce qui correspondra au cas
non démontré otr Cpq (R) - (R O R) . . . ) on considèrera seulemenË une
composante simple de a*Cn . pR sera lnjective pour l'application d'une
Comme, pâr hypothèse,
composante simple de
exemple
:
Cnn
(R) dans
^C.(S+)
ou .t(S-)
pour Cpq (R) - (R O R), a*Cn = C @ C, le spineur <P irréductible de C*Cn appartient à S de dinension L sur C. S est
donc de dimension 2 sur lR, S+ et S- sont de dimensions l- sur
R. S+ et S- ne portenÈ pas une représentation fidèle de
cpq (R) = R @ R. S+ et S- portent une représentation fidèle
d'une des composantes sirnples R.
Conclusion : Si la représentation p+ (ou p-) de Cpq (R) sur S+ (ou S-)
existe, alors el1e est fidèle.
Dans le cas non démontré ou Cnn(R) est seni-sinple (c'est le
cas (R @ R) I 4 (R) ) on arriverait à la conclusion que p+
(ou p-) représente de façon fidèIe une composante simole de
ceq (R)
d)
MonËrons
que ceci n'existe
d:trecPn (R) = R
I4(Rt
que pour P ou (R @ R) I4(B).
L:0.
1. 2 mod 8 c'est
à
L'espace S de spineurs est de dinension complexe 2ln/21 où n esr Ia
dimension de l'espace vectoriel réel M(p,q) : n = P + q.
Donc
din6s =2
:
et donc
2ln/21
:
dimp
S+
= dimp S- =2la/2)
37
Le tableau ci-dessous donne la dirnension
(R)
fidè1es minimales des différenËs C-pq
des représentations réelles
(ou d'une de ses composantes
simples).
c*(R) = 484(R)
2n -din4.
p-qMod8
0,2
din 4
&.
1
R
s2
s
D
2n/2
2n/2
n
ROR
L
2
c
3,7
4,6
4
FI
26-t)/z
1 * 26-L)/2
-t
26-t)/2
2,
-z
n
n
2
--
4x22
1
2
FIOFI
.2
--
On veut D -( din p(s+) = 2ln/2)
R) c'est à dire si p - q
4:Rou(R@
r1t
2
n
1
-r.r2
n-1
n-1
Régsné
2|.n-L)/2
t-l
2
8
:-1o
-x2
2
=2
Ceci n'est possible
0, 1, 2 Mod 8.
t-l
22
que pour
:
définir un opérateur conjugaison de charge C tel
agit sur les spineurs de C$ Par :
Pour pouvoir
9" = C'f
avec
f=Cf*
que
C
C-1
et tel que C C* - + 1, alors il est nécessaire et suffisant
de Clifford réelle soit Ëelle que :
que 1'algèbre
38
ceq(R) =
lR
ou
I 4(R)
(R o R)
I 4(R)
c'est à dire p - q = 0, 1, 2 nod 8.
C,est seulement dans ce cas que l'on peut définir des sous espaces
vectoriels réels S+ (et S-) tels que 9" - I (ç" = - 9) et qui portent
une représentation irréductible de Cpq (R). Les spineurs de S+ sont
appelés spineurs de Majorana.
Note : L'algèbre de Clifford réel1e Ceq (R) dépend de P eÈ q, 9ui
dépendent eux mêmes de la manière dont nous avons écrit 1'éguation
de Dirac.
L'équation de Dirac a êxé écrite au début de ce chapiËre
rP(ôr,+ie\)ç=rn<P,
c'est à dire sans facteur i devant tp. Ceci définit
de l'espace de Minkowski à 4 dimensions, on a :
(f y"+y"f
)=2gP'
er Cpq (R) = C.,, (R) - 4(R)
par
f= C (rP)- 6- r
,
Cpq
(R)
"
Dans
le
cas
ge' =(-1,+1,*1,+1)
Et nous avons trouvé que C agit sur les f
.
Nous aurions pu écrire l'équation de Dirac sous la forme
:
i)^'(Ap+iefu)ç=rtr9r
cas Ev'= (+ 1, - 1, - 1, - 1) et
et C agit sur les rP par f = - C(rP) C-
dans ce
L
cpq(lR) =Cr,e (lR)
-HE4(R)
39
alors la démonstration. Dans la partle directe, on
identifie Cà s("-1)* +# -+C(f)* C-t Dans laparrie réciproque,
le fait qu'il y ait un signe + dans cecte dernière relation est important
pour que S+ et S- soient globalernent invariants par la multiplication par
Reprenons
f.
Donc parrir de i
substitution
f -t L f,
cpq (R) * 4 (R) (pour Ma ).
),t'(At, + i e fu)
donc à redéfinir
ç =m e, oblige à faire la
cpq (R) qui devient alors
Donc 1'énoncé du théorène implique que 1'équation de Dirac soit
écrite sous la forme (1)
:
Y(ar,+ie\)<o-np
ou bien à redéfinir p et q :
p€
q
40
Schéma de
la
démonstration relative à
I'existence des sBineurs de Majorana
uation de Dirac avec charge, spineur
tp irréductible
complexe.
Spineur conjugué gc vérifiant l'équation de Dirac avec la charge
opposée. On cherche une solution 9c = 09*. Pour qu'elle existe il faut
qu'3 0
dans
Co*o€
tel que Yl, = C (yt't)* @'1.
JL
Si on veut que I'antiparticule de I'antiparticule soit la particule, à une
phase près (9c)c = eio9c , alors il faut : 00* - +L
IL
On veut en plus qu'il existe une solution de type Majorana
Ceci demande une condition supplémentaire sur 0
: gc = elcg
: ee* = +1
On décompose g de I'espace vectoriel complexe S de représentation
irréductible de Cp*qC en g = g+ + g- avec (g+)c = g+ e S*
et (ç-)c = g-€ S- . S+ et S- sont des sous-espaces vectoriels réels.
S * S+ (E S-, mais I'extension Sp de S se décompose en tant qu'espace
vectoriel réel en SR = S+ O S-.
S+ et S- portent une représentation fidèle minimale de Cp,q(R ) ou
d'une de ses composantes simples (ce sont les espaces des spineurs de
Majorana) et Sn porte une représentation réductible de C., n(R).
I
L'algèbre de Clifford réelle Cp,q(R) doit vérifier: p
t
3
- q = 0,1,2 Mod(8).1
une représentation réelle Yp = (yp)* de CpasC.
4L
VI.
A) Sous-alsèbre palre
Cl
-
SPÏNEURS DE IIEYL
(R).
Les algèbres de Clifford étanÈ engendrées par (11, epl p =
on a de façon générale
Vc€Cp,q(R)
avee
I ^n
h
1, ...,
n
eh
\
:
eh
1
appelle éléments pairs, les é1érnents tels que h - 2p (conbinaison
linéaire de produits de vecteurs en nombre pair). Ces éléments
forment une sous-algèbre d. Cn,n (R) que 1'on appelle la sous-algèbre
paire et que l'on note Cp*q (R).
On
On définit de
même
éléments forrnent un
cp; (R).
On démontre gue
Cn+n
élérnents impairs tels que h = 2p + 1, ces
sous-espace vectoriel de Cn,n (R) que 1'on note
les
(R) æ
Cs,
B) Cas des aleèbres comolexiflées
p-r
(R)
.
(n=p+q)
Ona:
^C
P+q
=c8Cn,n
(R)
et:
^C*
pfq
-csc;,q
(R)
-
.n9n
-,
42
l-Casp+qpair.
Dans ce cas on a
:
cppq
et donc
:
.*cn*
æ.*9-,
avec "-21'z)
N
o()oa(:y'
et appartient à
L'élément z = eL e2
On définit :
O=z
-C(s)
I{
ou 0=iz
tlp-q=2,6
l
I
fp-q=0,4
cp+Aq+
et est tel que zz = * L
.
pourque Q2=+1-
Mod8, 22 =-1,
ê=Lz
Mod8, 22 =*1,
0=z
L/2 (1 + e) sont deux projecceurs centraux orthogonaux U" a"pJ et on a
:
cf". = |,t*e>c*Ço |,t-e)c,9*.
est réductible.
CC
et Cq
p1!I
p+q est simole
'
2-Casp+qinpalr
Dans ce cas on
N C(s) o c(s) avec s - 2ïn/21 et donc
" cn9n
cfq On
définit de même :
O=z
ou
lp-q=3,7
an9n
0=iz
:
-, N C(s)
pourque 02-+1
Mod8, 22 --1,
O=iz
)
I
Ip-q=1,5
Mod8, 22 -+1,
O=z
mais maintenant C-9-- est simple, e'est Cfq qui
esË
réductible et
43
€ cc*
pïq
comme 0
a donc
on
1
U
^C
gtq
c) Soineurs de llevl
-
+0)
Il
-
2
I
cc
pfq o
2
(1 -
o)cc
plq
'
.
l-Casp+q=npalr
ona c,,c-c(") er
Soit
sur
c,,c*
-o(;) ro(;)
représentation irréductible de Cj
p
sur un espace vectoriel
S
C
€ IC(S)-C(s)
p: a € C'C
Comme
il existe une base dans laquelle
cc*
est réductible, -P(a)
n
écrire
:
Va* G cnc*
p(a*
A,B
Considérons
," *""rr..
[f
:],
fx€
)
on peut
=[;:]
matrices
comme
p
1
x-
complexes
esË un isomorphisme
cj I p(x) -
lo
CI
Io
ol
ae C,,c dans C(s)
I
n'est pas pair car par définition de notre base, les éléments
pairs sont bloc diagonaux. Pour la même raison, ce n'est pas Ia
sonme d'un élément pair et d'un é1ément impair : x est impair.
De
plus, tous les éléments impairs y peuvent s'écrire
:
44
y = xa+ avec
donc
( x inpair inversible
J
\
"* €
:
p(y) = p(x) p(a*)
cc*
- [: :] [â :] = H ï]
et donc tous les éléments impairs sont antibloc diagonaux.
particulier, les r# = p(ep) seront donc antibloc diagonaux.
comme
On
.,,c*= |,t*eyc$*o
peut décomposer S =
avec
S+
t- =
:
{,r-
,9*
S-
,.={{,*€stù*=
:
et donc
@
l,t-el
En
erelv.}
€ s I,1,- = - e(s)
Vû € s ,
{i}
V=ù+ +{;
Conelusion
Dans le cas n pair, les représenËions irréductibles de C$
induisenË des représentations a. Cf* qui sont réduccibles.
L'espace des spineurs de Dirac S de
CrrC
se décompose en
somme
S+ et S- appelés
directe de deux sous-espaces vectoriels
espaces des spineurs de i^Ieyl (respectivement droits et gauches) et qui portent deux représentations irréductibles (non-
éouivalentes) de c C*.
Remarque
1
0 s'appelle la chiralité (e'est l'équivalent du ré)
45
Remarque
2
Dans
:
notre base de matrices, 1'équation de Dirac s'écriÈ
:
'[Â ?] ap [iJ =' [îl =' [; :: :.]
Les spineurs de Weyl ne sont pas des solutions indépendantes de
l'équation de Dirac avec masse : seule la somme directe de deux spineurs
de l,Iey1 gauche et droit est solution.
dans le cas de masse
solutions indépendantes de 1'équation.
Par contre,
2-Casp+q=n
nulle
(rn
-
0)
,
,t*
et ,li sont der.x
inpalr
CJ -C (s) OC (s)
Maintenant,
Donc si p est une représentation irréductible de tnC sur 1'espace
+o)cCrlrr
et que 0
vectoriel complexe S, conmecC=lrr
-s) cc
n2
n
2
appartient au cenÈre de CrrC, selon le lemme de Schur p(e) -À 1, À e c
Puisque 0 est irnpair :
^C U-U
nn
et donc
o 0 crrc*
:
Ya € 49,:a+er
soit
^(D*
b+
€ cc*
n,
/ a=a*+0b+
:
p(a) = p(a* + e b*) = p(a+) + p(0) p(b*)
=p(a+) +Àp(b*)
Comme
CC*
n
une
est
p(a*)+Àp(b+)
ona:
€
o
sous-algèbre,
(."o.)
il
en est de même a. o(c"a*) .t
46
p(.it ) = p(.P)
et p est donc aussi
c lL sur s.
une représentation
irréductible de la
sous-algèbre
n
Conclusion
Les représentations irréductibles
de C-C induisent
des
cf* qui sont irréductibles. L'espace
"nt
vectoriel S des spineurs de C$ "st aussi un espace de
représentations
de spineur" ae c"C*
11 n'existe pas de spineurs de Weyl en di.mension impaire.