Résolution d`une équation fonctionnelle

MP 933 &934 Devoir Libre no3☞octobre 
Résolution d’une équation fonctionnelle
Le but du problème est de résoudre, notamment, l’équation
f(x)−sin xZπ
0
f(t) dt= sin x
2,
d’inconnue f, fonction continue de [ 0 ; π]dans R. La résolution de cette équation passe essentiellement par des consi-
dérations d’algèbre linéaire en dimension quelconque.
Soit Eun espace vectoriel réel (de dimension quelconque !) et a∈Eun vecteur non nul. On considère une forme
linéaire ϕ∈L(E,R)non nulle.
Première partie
I.1. Déterminer Im ϕ. Soit Sun sous-espace vectoriel de Esupplémentaire de Ker ϕdans E. Montrer que dim S = 1. (Eest
de dimension quelconque a priori.)
I.2. On considère l’endomorphisme de Edéfini par
f: E −→ E,
x7−→ ϕ(x)a.
Déterminer le noyau, l’image et le rang de f. Calculer fn=f◦ · · · ◦ fen fonction de n∈N,ϕet a.
I.3. Soit λ∈R. On note F(λ)déf. =x∈E ; f(x) = λx.
a) Montrer que F(λ)est un sous-espace vectoriel de Eet que, si λ6=λ′, la somme F(λ) + F(λ′)est directe.
b) Quelles sont les valeurs de λ∈Rtelles que F(λ)6={0}? Déterminer alors F(λ).
Indication : On procédera par analyse-synthèse et, dans l’analyse, on séparera les cas λ6= 0 et λ= 0.
c) On suppose que Eest de dimension finie. Montrer que
a /∈Ker ϕ⇐⇒ E = F(0) ⊕Fϕ(a).
I.4. Soit gun endomorphisme de E. On suppose que gest de rang 1et que Eest de dimension finie.
a) Montrer qu’il y a équivalence entre les énoncés :
(a)E = Ker g⊕Im g;
(b)il existe λ∈R∗tel que g2=λg.
b) On suppose que g2= 0. Montrer qu’il existe une base (e1, e2,...,en)de Etelle que g(ek) = 0 pour tout k∈[[1 ; n−1]]
et g(en) = e1.
Deuxième partie
On suppose, dans cette partie, que aest choisi de façon que ϕ(a)6= 0, et on considère l’endomorphisme hde E
défini par h:x7→ ϕ(a)x−ϕ(x)a.
II.1. Dans cette question uniquement, on suppose que l’espace Eest R3, muni de son produit scalaire canonique h·|·i, et de
sa base canonique (e1, e2, e3).
a) Montrer qu’il existe un unique vecteur b∈Er{0}tel que, pour tout x∈E, on ait ϕ(x) = hb|xi.
b) Notons Ple plan vectoriel orthogonal au vecteur b. Soit aun vecteur de Evérifiant hb|ai 6= 0. Notons pla projection
vectorielle sur P, parallèlement à la droite vectorielle engendrée par a.
Calculer, pour tout x∈E,p(x)en fonction de a,bet x.
c) En déduire une interprétation géométrique de h.
II.2. Caractériser la restriction de hau noyau de ϕ.
II.3. Calculer hnau moyen de n∈N, de h, de ϕet de a.
II.4. Déterminer le noyau et l’image de h. Il pourra être utile de calculer ϕ◦h.
II.5. Soient Het H′des hyperplans de Etels que H⊂H′. Montrer que H = H′.
II.6. Pour tout λ∈R, on pose
H(λ) = {x∈E ; h(x) = λx}.
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Quels sont les réels λtels que H(λ)6={0}? Déterminer alors H(λ). Montrer que E = H(0) ⊕Hϕ(a).
II.7. a) On considère l’équation βx −ϕ(x)a= 0, où β∈R. Résoudre et discuter cette équation où xest l’inconnue et où β
et ϕsont donnés. On pourra notamment considérer les cas β= 0,β=ϕ(a)et β /∈ {0, ϕ(a)}.
b) On considère l’équation βx −ϕ(x)a=b, où β∈Ret b∈E. Résoudre et discuter cette équation en fonction de β
et b.
II.8. Dans cette question, Eest l’espace vectoriel des application continues de [ 0 ; π]dans R. Résoudre dans El’équation
d’inconnue f:
f(x)−sin xZπ
0
f(t) dt= sin x
2.
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