Examen intra H14

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MAT1410. Calcul 2.
Examen Intratrimestriel.
Professeur: Robert G. Owens
8h30-10h30. 26 février 2014
Instructions
• Matériel non-autorisé: notes de cours, livre, formulaire, calculatrice programmable, ordinateur, téléphone cellulaire.
• Matériel autorisé: crayon, stylo, règle, gomme, calculatrice non-programmable.
• Répondez à toutes les questions ci-dessous
• Toutes vos réponses doivent être justifiées
• Le total des points de cet examen vaut 4 × 20 = 80.
Questions
1. Considérez le champ vectoriel (champ de vitesse)
→
−
→
−
→
−
→
−
v (x, y, z,t) = ω x i + ω y j + (−ω x + α t) k ,
où α est une constante et le paramètre ω ̸= 0.
(a) Déterminez l’equation de la trajectoire de la particule qui initialement (au temps
t = 0) se situe en un point (x0 , y0 , z0 ),
[5 points]
(b) Déterminez l’équation au temps t de la ligne de courant qui passe par le point
(x0 , y0 , z0 ),
[5 points]
(c) Déterminez l’équation paramétrique de la courbe constituée par l’ensemble des
points atteints à un instant donné t par des particules passées antérieurement en
(x0 , y0 , z0 ).
[6 points]
(d) Démontrez que vos réponses à (a) à (c) ci-dessus sont les mêmes lorsque α = 0 et
commentez.
[4 points]
1
2.
(a) Calculez la longueur de la courbe C dont l’équation vectorielle est
→
−r (t) = (√2et , −et sint, et cost), t ∈ [0, 1].
[9 points]
→
−
(b) Soit F le champ vectoriel
→
−
→
−
→
−
→
−
F (x, y, z) := (2x cos y − 2z3 ) i + (3 + 2yez − x2 sin y) j + (y2 ez − 6xz2 ) k .
∫
Évaluez
C
→
− →
F · d −r ,
lorsque C est la courbe donnée par les équations paramétriques
x(t) = cost sint, y(t) = sint, z(t) = cost − 1,
t ∈ [0, π /2].
[11 points]
3. Soit le champ vectoriel
→
−
→
−
2xy i + (y2 − x2 ) j
→
−
F (x, y) :=
.
(x2 + y2 )2
(a) Calculez
I
C
→
− →
F · d −r ,
si C est n’importe quelle courbe simple fermée et orientée positivement entourant
l’origine.
[15 points]
→
−
(b) Est-ce que F est conservatif sur R2 \(0, 0)? Justifiez minutieusement votre réponse!
[5 points]
−r = →
−r (t), a ≤ t ≤ b, et sup4. Soit C une courbe lisse donnée par l’équation vectorielle →
→
−
posons qu’un champ vectoriel continu F déplace un objet de masse m le long de la
−r (a)) à l’autre (B, ayant vecteur position
courbe d’un bout (A, ayant vecteur position →
−
→
−r (b)). Désignons le travail fourni par la force →
F sur l’objet par W .
(a) Démontrez que
1 −
1 −
v (b)∥22 − m∥→
v (a)∥22 ,
W = m∥→
2
2
→
−
→
−
′
où v (t) := r (t), est la vitesse de l’objet.
→
−
(b) Si F est un champ conservatif démontrez qu’on peut aussi écrire
−r (b)) − f (→
−r (a)),
W = f (→
où f est une fonction potentiel.
(1)
[7 points]
(2)
[5 points]
2
(c) De (1) et (2), concluez que
1 →
−r (b)) = 1 m∥→
−
−r (a)),
m∥−
v (b)∥22 − f (→
v (a)∥22 − f (→
2
2
et en donnez une interprétation physique.
(3)
[2 points]
(d) Une particule de masse m se déplace (sans frottement) le long d’un fil rigide circulaire x2 + y2 = R2 sous l’action de la force gravitationnelle
→
−
→
−
F = −mg j ,
où g est une constante. Au temps t = 0 (au début de son parcours) la particule se
→
−
situe en (0, R) et au même moment sa vitesse est égale à vA i avec vA ̸= 0. En vous
servant de (3), écrivez une expression (en termes de vA , R, g et θ ) pour la vitesse
scalaire de la particule lorsqu’elle est au point (x(θ ), y(θ )) comme montré dans la
Figure 1.
[6 points]
(0, R)
(x( θ), y( θ))
θ
j
(0, 0)
i
Figure 1: Une particule se déplace le long d’un fil rigide circulaire x2 + y2 = R2 .
3
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