Examen intra H14
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MAT1410. Calcul 2. Examen Intratrimestriel. Professeur: Robert G. Owens 8h30-10h30. 26 février 2014 Instructions • Matériel non-autorisé: notes de cours, livre, formulaire, calculatrice programmable, ordinateur, téléphone cellulaire. • Matériel autorisé: crayon, stylo, règle, gomme, calculatrice non-programmable. • Répondez à toutes les questions ci-dessous • Toutes vos réponses doivent être justifiées • Le total des points de cet examen vaut 4 × 20 = 80. Questions 1. Considérez le champ vectoriel (champ de vitesse) → − → − → − → − v (x, y, z,t) = ω x i + ω y j + (−ω x + α t) k , où α est une constante et le paramètre ω ̸= 0. (a) Déterminez l’equation de la trajectoire de la particule qui initialement (au temps t = 0) se situe en un point (x0 , y0 , z0 ), [5 points] (b) Déterminez l’équation au temps t de la ligne de courant qui passe par le point (x0 , y0 , z0 ), [5 points] (c) Déterminez l’équation paramétrique de la courbe constituée par l’ensemble des points atteints à un instant donné t par des particules passées antérieurement en (x0 , y0 , z0 ). [6 points] (d) Démontrez que vos réponses à (a) à (c) ci-dessus sont les mêmes lorsque α = 0 et commentez. [4 points] 1 2. (a) Calculez la longueur de la courbe C dont l’équation vectorielle est → −r (t) = (√2et , −et sint, et cost), t ∈ [0, 1]. [9 points] → − (b) Soit F le champ vectoriel → − → − → − → − F (x, y, z) := (2x cos y − 2z3 ) i + (3 + 2yez − x2 sin y) j + (y2 ez − 6xz2 ) k . ∫ Évaluez C → − → F · d −r , lorsque C est la courbe donnée par les équations paramétriques x(t) = cost sint, y(t) = sint, z(t) = cost − 1, t ∈ [0, π /2]. [11 points] 3. Soit le champ vectoriel → − → − 2xy i + (y2 − x2 ) j → − F (x, y) := . (x2 + y2 )2 (a) Calculez I C → − → F · d −r , si C est n’importe quelle courbe simple fermée et orientée positivement entourant l’origine. [15 points] → − (b) Est-ce que F est conservatif sur R2 \(0, 0)? Justifiez minutieusement votre réponse! [5 points] −r = → −r (t), a ≤ t ≤ b, et sup4. Soit C une courbe lisse donnée par l’équation vectorielle → → − posons qu’un champ vectoriel continu F déplace un objet de masse m le long de la −r (a)) à l’autre (B, ayant vecteur position courbe d’un bout (A, ayant vecteur position → − → −r (b)). Désignons le travail fourni par la force → F sur l’objet par W . (a) Démontrez que 1 − 1 − v (b)∥22 − m∥→ v (a)∥22 , W = m∥→ 2 2 → − → − ′ où v (t) := r (t), est la vitesse de l’objet. → − (b) Si F est un champ conservatif démontrez qu’on peut aussi écrire −r (b)) − f (→ −r (a)), W = f (→ où f est une fonction potentiel. (1) [7 points] (2) [5 points] 2 (c) De (1) et (2), concluez que 1 → −r (b)) = 1 m∥→ − −r (a)), m∥− v (b)∥22 − f (→ v (a)∥22 − f (→ 2 2 et en donnez une interprétation physique. (3) [2 points] (d) Une particule de masse m se déplace (sans frottement) le long d’un fil rigide circulaire x2 + y2 = R2 sous l’action de la force gravitationnelle → − → − F = −mg j , où g est une constante. Au temps t = 0 (au début de son parcours) la particule se → − situe en (0, R) et au même moment sa vitesse est égale à vA i avec vA ̸= 0. En vous servant de (3), écrivez une expression (en termes de vA , R, g et θ ) pour la vitesse scalaire de la particule lorsqu’elle est au point (x(θ ), y(θ )) comme montré dans la Figure 1. [6 points] (0, R) (x( θ), y( θ)) θ j (0, 0) i Figure 1: Une particule se déplace le long d’un fil rigide circulaire x2 + y2 = R2 . 3
