Examen intra H14

MAT1410. Calcul 2.
Examen Intratrimestriel.
Professeur: Robert G. Owens
8h30-10h30. 26 février 2014
Instructions
•Matériel non-autorisé: notes de cours, livre, formulaire, calculatrice programmable, ordi-
nateur, téléphone cellulaire.
•Matériel autorisé: crayon, stylo, règle, gomme, calculatrice non-programmable.
•Répondez à toutes les questions ci-dessous
•Toutes vos réponses doivent être justifiées
•Le total des points de cet examen vaut 4×20 =80.
Questions
1. Considérez le champ vectoriel (champ de vitesse)
−→
v(x,y,z,t) = ω x−→ i+ ω y−→ j+ (− ω x+ α t)−→ k,
où α est une constante et le paramètre ω ̸=0.
(a) Déterminez l’equation de la trajectoire de la particule qui initialement (au temps
t=0) se situe en un point (x0,y0,z0), [5 points]
(b) Déterminez l’équation au temps tde la ligne de courant qui passe par le point
(x0,y0,z0), [5 points]
(c) Déterminez l’équation paramétrique de la courbe constituée par l’ensemble des
points atteints à un instant donné tpar des particules passées antérieurement en
(x0,y0,z0). [6 points]
(d) Démontrez que vos réponses à (a) à (c) ci-dessus sont les mêmes lorsque α =0 et
commentez. [4 points]
1

2. (a) Calculez la longueur de la courbe Cdont l’équation vectorielle est
−→
r(t)=(√2et,−etsint,etcost),t∈[0,1].
[9 points]
(b) Soit −→ Fle champ vectoriel
−→
F(x,y,z):= (2xcosy−2z3)−→ i+ (3+2yez−x2siny)−→ j+ (y2ez−6xz2)−→ k.
Évaluez ∫C−→
F·d−→ r,
lorsque Cest la courbe donnée par les équations paramétriques
x(t) = costsint,y(t) = sint,z(t) = cost−1,t∈[0, π /2].
[11 points]
3. Soit le champ vectoriel
−→
F(x,y):=2xy−→
i+ (y2−x2)−→ j
(x2+y2)2.
(a) Calculez
IC−→
F·d−→ r,
si Cest n’importe quelle courbe simple fermée et orientée positivement entourant
l’origine. [15 points]
(b) Est-ce que −→ Fest conservatif sur R2\(0,0)? Justifiez minutieusement votre réponse!
[5 points]
4. Soit Cune courbe lisse donnée par l’équation vectorielle −→ r=−→ r(t),a≤t≤b, et sup-
posons qu’un champ vectoriel continu −→ Fdéplace un objet de masse mle long de la
courbe d’un bout (A, ayant vecteur position −→ r(a)) à l’autre (B, ayant vecteur position
−→
r(b)). Désignons le travail fourni par la force −→ Fsur l’objet par W.
(a) Démontrez que
W=1
2m∥−→
v(b)∥2
2−1
2m∥−→
v(a)∥2
2,(1)
où −→ v(t):=−→ r′(t), est la vitesse de l’objet. [7 points]
(b) Si −→ Fest un champ conservatif démontrez qu’on peut aussi écrire
W=f(−→ r(b)) −f(−→ r(a)),(2)
où fest une fonction potentiel. [5 points]
2

(c) De (1) et (2), concluez que
1
2m∥−→
v(b)∥2
2−f(−→
r(b)) = 1
2m∥−→
v(a)∥2
2−f(−→
r(a)),(3)
et en donnez une interprétation physique. [2 points]
(d) Une particule de masse mse déplace (sans frottement) le long d’un fil rigide circu-
laire x2+y2=R2sous l’action de la force gravitationnelle
−→
F=−mg−→ j,
où gest une constante. Au temps t=0 (au début de son parcours) la particule se
situe en (0,R)et au même moment sa vitesse est égale à vA−→ iavec vA̸=0. En vous
servant de (3), écrivez une expression (en termes de vA,R,get θ ) pour la vitesse
scalaire de la particule lorsqu’elle est au point (x(
θ ),y( θ )) comme montré dans la
Figure 1. [6 points]
i
j
(0, 0)
θ
(x( ), y( ))
θ θ
(0, R)
Figure 1: Une particule se déplace le long d’un fil rigide circulaire x2+y2=R2.
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