Les spineurs I d`après Elie Cartan

Les spineurs en physique
C. LONGUEMARE - séminaire d'analyse
∗
13 novembre 2007
Version 13/02/2008
Figure 1: Spineur de E. CARTAN 1913
Abstract
Ces notes accompagnent un séminaire prévu les 13 novembre 2007 au département de mathématiques de l'U-Caen à la demande de Guy Laville.
∗
UNIVERSITE DE CAEN année 2007-2008
1
SOMMAIRE
2
SOMMAIRE
1 Introduction
4
2 Interaction magnétique d'une particule classique
2.1
2.2
Le mouvement d'un solide . . .
L'interaction magnétique . . .
2.2.1 Point de vue énergétique
2.2.2 Point de vue dynamique
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3 Mise en évidence du spin 1/2
3.1
3.2
3.3
L'expérience de Stern & Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation d'un électron et mesure du spin (expérience de principe) . . . . . . . . .
L'eet Zeeman du sodium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Les spineurs non-relativistes de Pauli (1927)
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Le spin en MQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les spineurs à 3D d'Elie Cartan (1913) . . . . . . . .
Les spineurs conjugués de charge : références [2][9] . .
4.3.1 dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Rotation des spineurs conjugués . . . . . . .
4.3.3 Les spineurs transformés par Parité . . . . .
L'interaction électromagnétique du spin de l'électron
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Les spineurs relativistes de Dirac (1928)
5.1
5.2
L'invariance de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Les spineurs de SL(2C) . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 L'électron libre . . . . . . . . . . . . . . . . .
L'équation de Dirac et l'interaction électromagnétique
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5
5
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6
7
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8
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10
10
10
13
13
13
14
14
14
15
15
15
17
18
6 Conclusion
19
7 ANNEXES
20
7.1
Propriétés du groupe SL(2,C)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
LIST OF FIGURES
3
List of Figures
1
2
3
4
5
6
7
Spineur de E. CARTAN 1913 . . . . . . . . . . . . . .
Les spineurs en physique . . . . . . . . . . . . . . . . .
L'expérience de Stern & Gerlach . . . . . . . . . . . .
Analyse du spin d'un électron . . . . . . . . . . . . . .
La uorescence du sodium : le doublet D1 D2 . . . . .
L'eet Zeeman anomal sur le doublet D1 D2 du sodium
Représentation d'un spineur et de son conjugué en 3D
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1
4
7
8
9
9
15
1 INTRODUCTION
4
1 Introduction
Figure 2: Les spineurs en physique
• Les spineurs et le spin interviennent dans diérents domaines de la physique qui sont résumés
sur la gure 2.
• Historique
E. Cartan 1913
W. Pauli 1927
P. Dirac 1928
• Notations
Nous utilisons les notations de E. Cartan [2] qui ne sont malheureusement pas très standard :
• ∗ signie transposée
• x̄ signie conjugaison complexe de x
µ
¶
0 1
• La matrice C est iσ2 =
−1 0
+
• A qui signie la conjugaison hermitique de A
• conventions de l'électromagnétisme : Les champs électriques et magnétiques sont notés E~
~ , ou bien B de plus :
et B
~ = c = ² 0 = µ0 = 1
⇒
α =
e2
4π
2 INTERACTION MAGNÉTIQUE D'UNE PARTICULE CLASSIQUE
5
2 Interaction magnétique d'une particule classique
2.1 Le mouvement d'un solide
Le solide est le modèle le plus simple pour une particule "élémentaire" non-ponctuelle
X
dP~
~ =
m~v ⇒
mvt du centre de gravité P~ = M V
= F~
dt
X
d~σG
= ~ΓG
mvt autour du centre de gravité ~σG =
~r ∧ m~v ⇒
dt
Le torseur cinématique est
~ , Ω)
~
torseur des vitesses ≡ (V
(1)
(2)
Les propriétés cinétiques s'évaluent en appliquant les théorèmes de König de la mécanique :
1
1
l'énergie cinétique EC = M V 2 + I.Ω2
2
2
~
~
le moment cinétique ~σO = M OG ∧ V + ~σG
(3)
Remarques
- si la particule est ponctuelle le mouvement autour de G ne comporte pas d'énergie car le
moment d'inertie est nul.
- dans le référentiel G le mouvement est une rotation autour d'un axe passant par G ; si le
mouvement est libre ~σG est constant (mouvement du rotateur libre en méca).
- ordres de grandeur pour les particules quantiques
2
ω =
mc
~
2
I =
~
mc2
hν = mc2 et
~
⇒ r =
soit
mc
σG = Iω ∼ ~
v = rω = c
(4)
2.2 L'interaction magnétique
2.2.1 Point de vue énergétique
Les équations de Hamilton et l'invariance de jauge conduisent à modier l'hamiltonien libre de la
particule caractérisée par (m,q)
H =
1
p~
2m
2
Hem = qA0 +
~
p → p~ − q A
1
~ 2
(~p − q A)
2m
(5)
~ = − 1 (~r ∧ B)
~
Localement le champ B est constant donc A
2
Linéairement en A c'est à dire par rapport au champ électromagnétique et par rapport à la charge
q on obtient :
q
p~ 2
−
(~r ∧ p~).B~
avec ~σ = ~r ∧ p~
(6)
Hem = qA0 +
2m
2m
2 INTERACTION MAGNÉTIQUE D'UNE PARTICULE CLASSIQUE
6
Si l'on décrit une particule composée, non-ponctuelle, au repos dans son référentiel comme un solide
en rotation, l'interaction électromagnétique devient en fonction du moment magnétique ~µ :
X q
Hem = H0 − ~µ.B~
avec ~µ =
(~r ∧ p~)
2m
où H0 est l'hamiltonien avec B = 0.
• Notations de la physique microscopique
Le moment cinétique ~σ devient → ~j ou ~s
Le moment magnétique est liè au moment cinétique
~µ = γ~j
Le rapport gyromagnétique est γ
q
)
2m
où q et m sont respectivement la charge et la masse totale du système (de l'atome ou de la particule
) et où g est le facteur de Landé (de l'atome ou de la particule ) 1
γ = g (
Conclusion :
L'étude de l'interaction magnétique des particules permet une analyse de leur spin noté j ou s
qui "représente" leur moment cinétique interne.
Hem = H0 − µ
~ .B~
2.2.2 Point de vue dynamique
Mouvement dans un champ magnétique
• Classiquement le moment magnétique n'est stable que s'il s'aligne avec le champ externe B créé
par le dispositif expérimental.
Quantiquement l'énergie de l'état stationnaire observé est modiée par la présence du champ.
E = E0 − γjz .B
avec jz = m~
• Si le champ externe B = (0, 0, B) créé par le dispositif expérimental est dirigé selon Oz et est
inhomogène, la particule subit une force qui l'entraîne vers les régions de champ B intense si
jz est positif et inversement si jz est négatif.
Fz = γ j z
∂B
∂z
Si jz est nul le mouvement de la particule n'est pas modié.
1 cf
exposé sur l'expérience g-2
3 MISE EN ÉVIDENCE DU SPIN 1/2
7
3 Mise en évidence du spin 1/2
3.1 L'expérience de Stern & Gerlach
L'expérience de Stern et Gerlach est une expérience de Mécanique quantique démontrant la quantication du spin. L'expérience, mise au point par Otto Stern et Walther Gerlach en 1920, consiste à
faire passer des particules de spin 1/2 (en l'occurrence des atomes d'argent neutre électriquement)
dans un champ magnétique non uniforme de direction verticale.
Dans le modèle classique de l'atome de Niels Bohr, le faisceau de particules devrait être dispersé
Figure 3: L'expérience de Stern & Gerlach
verticalement en raison de la composante verticale du moment magnétique de l'atome qui prend
un continuum de valeurs entre −µz et +µz en fonction de l'orientation de l'atome. En revanche,
l'expérience montre que le faisceau se sépare en deux, indiquant que la composante verticale du moment magnétique donc du spin ne peut prendre que deux valeurs opposées. On ne peut attribuer ce
résultat à un moment cinétique orbital, comme le pensaient Stern et Gerlach, car le nombre quantique
représentant cette valeur est toujours impair (2J+1 avec J entier). L'atome d'argent a une structure
électronique telle que le moment magnétique de l'atome résulte d'un seul électron périphérique sur
la couche 5s, en eet, la structure atomique de l'argent est :
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 4d10 5s1
L'atome d'argent se comporte comme un électron lourd mais neutre ce qui présente un avantage sur
le plan expérimental par rapport à l'électron lui-même.
3 MISE EN ÉVIDENCE DU SPIN 1/2
8
3.2 Polarisation d'un électron et mesure du spin (expérience de principe)
Figure 4: Analyse du spin d'un électron
Dans la suite on justiera la propriété des spineurs de tourner sous l'action des matrices de SU(2)
ψ
avec
→
Uψ
U = cos(α)σ0 − i sin(α) ~σ .~n
~n = (0, 1, 0)
α =µ−θ/2
¶
µ
¶
1
cos(θ/2)
0
ψ∝
→ψ ∝
0
−sin(θ/2)
On obtient :
probabilités : (up) = cos2 (θ/2)
(down) = sin2 (θ/2)
Cas particuliers
θ = π/2 alors probabilités (up/down ) = 0, 5/0, 5
θ = π probabilités (up/down ) = 0/1
3 MISE EN ÉVIDENCE DU SPIN 1/2
3.3 L'eet Zeeman du sodium
Figure 5: La uorescence du sodium : le doublet D1 D2
Figure 6: L'eet Zeeman anomal sur le doublet D1 D2 du sodium
9
4 LES SPINEURS NON-RELATIVISTES DE PAULI (1927)
10
4 Les spineurs non-relativistes de Pauli (1927)
4.1 Le spin en MQ
La mécanique quantique impose
- le recours aux nombres complexes pour calculer les amplitudes de probabilité
- de décrire les systèmes physiques dans un espace de Hilbert
- si un système n'admet que deux valeurs propres, l'espace est de dimension 2
Un spineur de Pauli est un élément de C(2) qui décrit une direction interne éventuelle d'une particule
(l'électron) sous la forme d'un vecteur de R(3).
L'introduction mathématique des spineurs doit permettre de construire une application de R(3) dans
C(2) qui permette une interprétation quantique
4.2 Les spineurs à 3D d'Elie Cartan (1913)
Les mathématiques viennent au secours du programme de W. Pauli
Introduisons les spineurs en suivant E. Cartan, 1913([2], [5]) Soit deux vecteurs V1 V2 de R3 et
dénissons un vecteur complexe V = V1 + iV2 et assoçions ψ à ce vecteur complexe.


µ ¶
x = x1 + i x 2
ξ0
V =  y = y1 + i y 2  ↔ ψ =
ξ1
z = z1 + i z2

x = ξ02 − ξ12
∃ ξ0 , ξ1 tels que  y = i(ξ02 + ξ12 )
si | V1 | = | V2 | et V1 ⊥ V2
z = −2ξ0 ξ1
Rappel : Les matrices sigma de Pauli sont hermitiques telles que :
¶
¶
µ
¶
µ
¶
µ
µ
1 0
0 −i
1 0
0 1
; σ2 =
; σ3 =
; σ1 =
σ0 = 1 =
i 0
0 −1
1 0
0 1
Les matrices de Pauli vérient :
σi σj = i²ijk σk + δij
soit (a.σ)(b.σ) = (a.b) + i((a ∧ b).σ)
si (ijk) ∼ +
∀i σi+ = σi
(7)
Autre façon d'écrire la relation existant entre V et ψ
µ
¶
z
x − iy
V = V1 + iV2 vecteur isotrope ↔ matrice : X = V.σ =
x + iy −z
¶
µ
¶
¶
µ
µ
¢
0 1
ξ0 ¡
−ξ0 ξ1 +ξ02
∗
−ξ1 ξ0 = 2 (ψ) (ψ)
= 2
X = 2
ξ1
−1 0
−ξ12 +ξ0 ξ1
(8)
Nous utilisons ici les notations de E. Cartan, à savoir ∗ signie transposée et x̄ signie conjugaison
complexe de x ; elles µ
ne sont ¶
malheureusement pas très standard .
0 1
La matrice C est
. Nous utilisons également A+ pour la conjugaison hermitique de A.
−1 0
4 LES SPINEURS NON-RELATIVISTES DE PAULI (1927)
11
En résumé, l'application qui, à V = V1 + iV2 , fait correspondre le spineur ψ est dénie par :
µ
¶
z
x − iy
X =
= 2 (ψ) (ψ)∗ C
avec | X | = 0
x + iy −z
Propriétés remarquables :
1. Vérication V 2 = x2 + y 2 + z 2 = V12 − V22 + 2iV1 .V2 = 0 ⇒| V1 | = | V2 | et V1 .V2 = 0
2. V + .V = x̄x + ... = V12 + V22 = 2(ξ¯0 ξ0 + ξ¯1 ξ1 )2 = 2 (ψ + ψ)2
3. si V1 et V2 sont unitaires (sur la sphère unité) ψ est normé
ψ + ψ = ξ¯0 ξ0 + ξ¯1 ξ1 = 1
En MQ , la somme des probabilités est égale à 1
4. Condition vériée par X et ψ
Xψ = 0
Cette condition n'est pas susante pour dénir ψ , on obtient simplement
x = z
ξ12 − ξ02
2ξ0 ξ1
y = z
ξ12 + ξ02
2iξ0 ξ1
(9)
il faut encore z = −2ξ0 ξ1
5. de plus
1
xi = trace[σi X]
2
6. Une rotation dans R3 induit une transformation unitaire sur ψ car ψ + ψ = 1 est conversé.
7. Une symétrie plane par rapport à un plan de normale unitaire ~a induit les transformations
suivantes, avec A = a.σ :
X → X 0 = −AXA
ψ → ψ 0 = ±Aψ
Pour démontrer cette dernière propriété il faut faire appel à une propriété de la matrice C à
savoir :
CA = −A∗ C ⇒ ψ ∗ CA = −ψ ∗ A∗ C = (Aψ)∗ C
8. Une rotation comme combinaison de symétrie ~a puis ~b induit les transformations suivantes :
X → X 0 = U XU +
avec U = BA = (a.b) − i(σ.(a ∧ b)) et U + = AB = U −1
(10)
U = cos(θ/2) − i sin(θ/2)(σ.n)
La rotation (~n , θ) devient sur le spineur ψ :
ψ → ψ0 = ± U ψ
9. U (1) est l'action la plus simple sur ψ , c'est une transformation linéaire unitaire commutative tandis que l'action correspondante sur (V1 , V2 ) est une rotation autour de la direction V3
perpendiculaire au plan (V1 , V2 ) : V3 = V1 ∧ V2 .
4 LES SPINEURS NON-RELATIVISTES DE PAULI (1927)
ψ
→
12
exp(−iα) ψ ⇒ (V1 , V2 ) → Rot(2α) ◦ (V1 , V2 )
Il est remarquable que V3 soit un vecteur axial ou bivecteur et qu'il ne soit pas le 3ième vecteur
de base d'un trièdre orthonormé. ! Démonstration 1 : Considérant une rotation innitésimale...
R3 (2α) ◦ (V1 + i V2 ) ∼ [1 + 2αV3 ∧] (V1 + iV2 ) =
(1 − 2iα)(V1 + iV2 ) ∼ exp(−2iα)(V1 + iV2 ) soit
ψ 0 = exp(−iα)ψ
Démonstration 2 : Considérons un changement de phase quelconque sur un spineur
- dans cette transformation ψ → ψ 0 = exp(−iα)ψ et x → exp(−2iα) x soit
x01 = cos(2α)x1 + sin(2α)x2
x02 = −sin(2α)x1 + cos(2α)x2
etc...
~1 .V~2 sont conservés
- alors | V1 |, | V2 | et V
~1 ∧ V~2 est invariant
- et V
En MQ , si ψ est stationnaire (propre de H ) la phase de ψ varie avec le temps :
ψ(t) = exp(−iω t) ψ(0)
avec ω =
E
~
Cette évolution est associée dans R3 à une rotation du couple (V1 , V2 ) autour de V3 : le "spineur
est en rotation" à la vitesse angulaire 2ω (attention, seule la vitesse relative a un sens car
l'énergie n'est pas dénie de façon absolue)
10. Les transformations par SU(2) de ψ sont associées aux rotations dans R3, SU(2) est une
représentation à 2 dimensions de SO(3) ; par exemple une rotation θ = 2α autour d'une
direction ~n de R3 agira sur ψ par une matrice de SU(2) à 3 paramètres (α, ~n) :
ψ
→
± Uψ
U = cos(α)σ0 − i sin(α) ~σ .~n
11. Les matrices de SU(2) peuvent s'écrire dans l'espace des spineurs à 2 dimensions
U = exp(−iα(σn))
car (σn)2 = 1 ; on peut aussi l'écrire comme la matrice spéciale unitaire la plus génrale :
µ
¶
a, b
a = cos(α) − isin(α)n3
U =
avec aa∗ + bb∗ = 1 soit
∗ ∗
b = −isin(α)(n1 − in2 )
−b , a
12. D'une manière générale, l'évolution du spineur ψ(t), régie par l'équation de Schrödinger est
unitaire et conduit nécessairement dans l'espace du spin à une rotation décrite par une matrice
de SU (2) fonction du temps
ψ(t) = U (t)ψ(0)
4 LES SPINEURS NON-RELATIVISTES DE PAULI (1927)
13
4.3 Les spineurs conjugués de charge : références [2][9]
4.3.1 dénition
Ils sont associés au vecteur V̄ c'est à dire à la paire de R3 (V1 , −V2 ) ; évidemment dans cette
conjugaison V3 change de signe et les rotations autour de V3 s'inversent. La matrice associée à V̄ est
X + car :


x1 − i x 2
V̄ =  y1 − i y2 
z1 − i z 2
µ
¶
z̄
x̄ − iȳ
+
V̄ conjugué ↔ V̄ .σ = X hermitique conjuguée =
(11)
x̄ + iȳ −z̄
Etant donné l'expression de X en fonction de ψ (équation 12) il vient très simplement :
¡ ¢
X + = = −2C ψ̄ (ψ)+
Si, avec E. Cartan, on appelle C la matrice :
µ
C = −iσ2 =
0 +1
−1 0
¶
(12)
et si de plus on appelle ψc le spineur ±iC ψ̄ alors :
X + = 2ψc ψc∗ C
(13)
Ce qui signie que le conjugaison dans l'espace des spineurs s'écrira (voir [9] page 51) :
µ
¶
+ξ¯1
ψ → ψc = ±iC ψ̄ = ±i
−ξ¯0
L'opération de conjugaison est involutive ; au carré elle ne redonne ψ .
(iC ¯) ◦ (iC ¯) = 1
(ψc )c = ψ
Un changement de phase sur ψ se traduit par le changement de phase opposé sur ψc . En mécanique
quantique ceci a des conséquences importantes vis à vis des charges qui sont inversées mais aussi
l'énergie. Si l'on considère un état d'énergie négative la conjugaison de charge en fera un état physique
d'énergie positive, si l'on considère un état d'énergie positive la conjugaison puis le renversement du
temps en feront un état physiquement acceptable.
E. Cartan appelle les spineurs ψc , spineurs de 2ième espèce [2] page 62.
4.3.2
Rotation des spineurs conjugués
La rotation des spineurs conjugués est déterminée par celle des spineurs ψ
ψ → U ψ ⇒ ψc → −iC Ū ψ̄
Il est facile de montrer que
C Ū = U C
Il en résulte que ψc se transforme comme ψ dans les rotations
ψc → U ψc
4 LES SPINEURS NON-RELATIVISTES DE PAULI (1927)
14
4.3.3 Les spineurs transformés par Parité
a) La parité n'est pas : Le spineur associé à la paire (−V1 , −V2 ) n'est pas le transformé par
parité du vecteur V , dans cette transformation V3 est inchangé. La matrice associée à −V est
évidemment −X . Etant donné l'expression de X en fonction de ψ (équation 12), il résulte que
cette transformation n'est autre qu'une rotation de ±π/2 :
ψ → (± i) ψ
b) La parité est : La transformation de parité dans le plan associe au couple initial (V1 , V2 ) la
paire (V1 , −V2 ) et donc au vecteur V le vecteur V̄ . La parité est donc liée à la symétrie plane
par rapport au plan V1 , V3 et à la conjugaison de charge à ceci près qu'au cours du temps le
comportement du transformé par parité se distingue de celui obtenu par conjugaison de charge
(les rotation sont inversées au cours du temps).
A une rotation près on peut dénir la parité comme :
ψ → ψc
(14)
4.4 L'interaction électromagnétique du spin de l'électron
Il faut obtenir une équation de Schrödinger pour le spineur de Pauli qui prenne en compte l'interaction
magnétique constatée expérimentalement.
La solution de Pauli ( 1927 ) est, pour l'électron, :
½
~s = ( ~2 ) ~σ
γ = (q/2m)
(15)
Hem = H0 − ~µ.B~
avec ~µ = g γ ~s et
g − 2 = 0, 00.. q = −e
• Théorie des atomes à un électron (alcalins ou ions)
L'électron est dans le champ d'attraction du noyau et dans un champ magnétique extérieur B
alors son hamiltonien "phénoménologique" s'écrira :
µ
¶
p~ 2
0
Hem =
qA +
− ~µ.B~
avec ~µ = γ[ ~l + g ~s ] et ~l = ~r ∧ p~
2m
• Transformation de Hem dans la conjugaison de charge
Sur l'hamiltonien, la transformation de conjugaison des spineurs s'écrit :
Hem → C H̄em C −1
~ → +~µ .B~
soit − ~µ .B
A partir de C σ̄i C −1 = −σi et C l¯i C −1 = −li
4.5 Conclusion
Avec l'hypothèse de Pauli, on explique
• l'expérience de Stern-Gerlach
• mais aussi l'eet Zeeman atomique à savoir la démultiplication des raies d'émission (raies de
uorescence) sous l'eet du champ magnétique.
• la structure de l'atome grâce au principe d'exclusion
Un spineur pourrait être réprésenté géomètriquement comme le montre la gure 7
5 LES SPINEURS RELATIVISTES DE DIRAC (1928)
15
Figure 7: Représentation d'un spineur et de son conjugué en 3D
5 Les spineurs relativistes de Dirac (1928)
5.1
L'invariance de Lorentz
Il est évident que l'hypothèse de Pauli est non relativiste et ad-hoc pour expliquer les résultats
expérimentaux (eet Zeeman & l'expérience de Stern-Gerlach). Paul Dirac en 1928 construit une
théorie relativiste du spin 1/2 (de l'électron) en partant de l'équation de Klein-Gordon.
Le spineur de Dirac a 4 composantes complexes, c'est un élément de C(4) . Les 4 dimensions sont
associées
- × 2 : degrés de liberté du spin
- × 2 : existence des anti-particules, les positrons !
µ ¶
χ1
ψ =
avec χ1 , χ2 des spineurs de Pauli
χ2
Notations
L'énergie impulsion P = (E, p~)
Les quantités de mouvement :
pµ = i∂µ = i
∂
∂xµ
5.1.1 Les spineurs de SL(2C)
Le groupe SL(2C) est le groupe des matrices (2,2) complexes et spéciales (référence [6] page 138) ;
ce groupe est une représentation du groupe de Lorentz propre, il contient le sous-groupe SU(2) qui
représente les rotations. C'est un groupe de Lie à 6 paramètres réels , ses générateurs peuvent être
construits à l'aide des matrices de Pauli.
σj et iσj
j = 1, 2, 3
Il s'exponentie
A = exp(−i(λ.σ))
Si lambda est complexe l'élément A de SL(2C) n'est pas unitaire !
Le lien de A avec la matrice de Lorentz Λ associée dans l'espace des quadrivecteurs est donné par
µ
¶
x0 − z −x + iy
(16)
X = x0 − (x.σ) =
⇒ X 0 = A X A+ = (ΛX)
−x − iy x0 + z
5 LES SPINEURS RELATIVISTES DE DIRAC (1928)
P
| X | = x20 − x2i
Λµν =
1
2
16
trace[σµ Aσν A+ ]
réf [6] page 139
Le spineur complexe conjugué ψc = ±iC ψ̄ ne se transforme pas comme ψ :
ψ → Aψ ⇒ ψc → C ĀC −1 ψc
Il y a deux représentations (2,2), A et Ā, distinctes (inéquivalentes) du groupe de Lorentz. On
introduit parfois les composantes non-pointées ( pointées) d'un spineur comme celles des composantes
qui se transforment par A (par Ā). Très symboliquement on écrira :
ψ n,ṁ → An Ām ψ n,ṁ
Le spineur de Dirac est composé des spineurs de Pauli ψ0 et ψ1 qui se transforment de Lorentz
respectivement l'un comme ψ , l'autre comme ψc !
µ ¶
ψ0
ψD (x) =
ψ1
Par construction, les transformations de Lorentz agissent sur ces spineurs ψD (x) comme suit
0
ψD (x) → Σ(A) ψD (x) = ψD
(x0 )
avec
µ
¶
µ
¶
A
0
A
0
Σ(A) =
=
0 C ĀC −1
0 (A+ )−1
et x0 = Λx
(17)
Introduisons l' opérateur P̂ construit avec les opérateurs d'énergie-impulsion :
P̂
= m−1 (p0 − (p.σ)) ⇒ P̂ −1 = m−1 (p0 + (p.σ))
(18)
En utilisant les propriétés de SL(2C) résumées dans l'annexe, on montre facilement que l'opérateur
de Dirac D(P ) agissant sur les spineurs ψD déni ci-dessous permet de construire une équation
invariante relativiste.
¶
¶
µ
µ
0
p0 − (p.σ)
0 P̂
⇒ D(P ) ψD = mψD
(19)
=
D(P ) = m
p0 + (p.σ)
0
P̂ −1 0
La démonstration repose sur les propriétés remarquables suivantes et aussi sur les équations 26-28 :
D2 (P ) = m2
si P 2 = m2
A P̂ A+ = P̂ 0
(A+ )−1 (P̂ )−1 A−1 = (P̂ 0 )−1
Enn Σ(A)D(P )Σ−1 (A) = D(P 0 )
avec P 0 = ΛP
Alors,
0
0
D(P ) ψD = m ψD ⇒ D(P 0 ) ψD
= m ψD
5 LES SPINEURS RELATIVISTES DE DIRAC (1928)
17
Cette équation n' est autre que l'équation de Dirac que l'on obtient ici dans une représentation
particulière qui est celle de Weyl , appelée parfois représentation chirale ou relativiste car associée à
une représentation particulière du groupe de Lorentz propre (référence [6] page 143).
D = 6 p ⇒ D ψD (x) = m ψD (x)
Les matrices gamma dans la représentation relativiste de Weyl (réf [1], page 115) sont :
µ
¶
µ
¶
µ
¶
0 σ0
0 σi
−σ0 0
0
i
5
0 1 2 3
γ = β =
;γ =
; γ = iγ γ γ γ =
σ0 0
−σi 0
0 σ0
µ
αi =
¶
−σi 0
(réf [1] page 101)
0 σi
Si l'énergie implusion est xée (P étant déterminé, l'état physique est une onde plane...), les spineurs
de Dirac constituent un espace de Hilbert élémentaire à deux dimensions (spin up ou down) et il y a
des états à énergie positive ou négative. Dans la représentation de Weyl, au repos, on a
µ ¶
µ ¶
µ ¶
ψ
−ψ
ξ0
ψD (x) = exp(−i mx0 )
ou exp(+i mx0 )
avec ψ =
(20)
ψ
ψ
ξ1
L'opérateur de spin permet de donner un sens physique aux états de base au repos. Ils sont propres
de l'opérateur qui génère les rotations autour de la direction conventionnelle Oz (cf Annexe 1).
µ
¶
1 σ3 0
S3 =
2 0 σ3
L'opérateur de parité qui échange χ1 et χ2 et qui s'écrit donc dans cette représentation γ0 permet
aussi de caractériser physiquement ces états; on a
γ0 ψD = ±ψD selon le signe de l'énergie
Ceci signie que la parité intrinsèque d'un spineur complexe conjugué est l'opposé de celle du spineur.
Cette propriété a des conséquences expérimentales importantes dans la spectroscopie des particules
en particulier des mésons.
5.1.2 L'électron libre
• L'équation invariante de Dirac :
(6 p − m )ψ = (i 6 ∂ − m)ψ(x) = 0
• Propriétés relativistes des matrices γ µ :
1. {γ µ , γ ν } = 2g µν
2. σ
µν
=
i
2
µ
[γ , γ ] → générateurs du groupe de Lorentz propre : σ
µ
ν
ij
=
σk 0
0 σk
3. γ 5 invariant de Lorentz ; {γ µ , γ 5 } = 0
4. conséquence : décomposition du produit en partie symétrique anti-symétrique
γ µ γ ν = −i σ µν + g µν
¶
5 LES SPINEURS RELATIVISTES DE DIRAC (1928)
18
• Les matrices de Pauli :
σi σj = i²ijk σk + δij
• Les matrices γ µ dans la représentation de Pauli-Dirac :
µ
¶
µ
¶
µ
¶
σ0 0
0 σi
0 σ0
0
i
5
0 1 2 3
γ = β =
;γ =
; γ = iγ γ γ γ =
0 −σ0
−σi 0
σ0 0
µ
¶
0 σi
i
αi = βγ =
σi 0
• Les solutions libres pour l'électron :
p
- avec p0 = E = ω =
p2 + m2 ≥ 0
µ
ψ(p) =
¶
χ
σ.p
χ
ω+m
- avec p0 = E = −ω = −
p
µ
¶
ω−m
−σ.p
ψ = 0
σ.p
−ω − m
µ ¶
χ
∼
à l'approximation non-relativiste
0
(21)
(22)
p2 + m2 ≥ 0
µ
¶
−ω − m −σ.p
ψ = 0
σ.p
ω−m
µ σ.p ¶ µ ¶
− ω+m χ
0
ψ(p) =
à l'approximation non-relativiste
∼
χ
χ
(23)
(24)
- Passage de la représentation relativiste (de Weyl) à la représentation non-relativiste (de
Pauli) peut se faire par l'intermédiaire d'une transformation unitaire U dans l'espace des
spineurs de Dirac telle que
µ
¶
σ
σ
0
0
1
U = √2
U −1 = U + = √12 (1 − γ 0 γ 5 )
= √12 (1 + γ 0 γ 5 )
−σ0 σ0
ψR = U −1 ψN R
γN R = U γR U −1
- Au repos, les spineur à énergie positive (respectivement négatives) s'écrivent :
µ ¶
±χ
1
ψR (p = 0) = √2
χ
5.2 L'équation de Dirac et l'interaction électromagnétique
• principe d'interaction minimale (invariance de jauge) :
pµ = i∂µ
6 p →6 p − q 6 A
par exemple : pour un électron q = −e et A0 = A0 = V (le potentiel électrique).
p0 = i∂0
→
E + e A0 = i∂0 + e V
• L'équation de Dirac décrit l'action des champs sur les courants électroniques :
{γ µ (i∂µ − qAµ − m }ψ(x) = 0 = (6 p + e 6 A − m)ψ(x)
(25)
6 CONCLUSION
19
• Conséquence (vers Klein-Gordon modiée) :
³
(6 p + e 6 A + m )(6 p + e 6 A − m )ψ(x) = 0
´
e µν
2
2
(P + eA) − m +
σ Fµν ψ(x) = 0 avec P = (E, p~)
2
où l'on voit que
~
- le "spin" σ µν n'interagit qu'avec Fµν c'est à dire avec les champs E~, B
- mais le mouvement dépend encore du potentiel Aµ (expérience de Böhm Aharonov ...)
• Vers l'équation de Schrödinger modiée :
³
´
e µν
(E + eV − m)(E + eV + m) − (p + eA)2 +
σ Fµν ψ = 0
2
• A la limite non-relativiste (E + eV + m ∼ 2m) on retrouve l'équation de Pauli et l'interaction
magnétique du spin de Pauli ( cf paragraphe 4.4 et référence [7])
³
(E + eV − m) −
(p+eA)2
2m
+
e
4m
µν
´
σ Fµν ψ = 0
6 Conclusion
L'équation de Dirac et son opérateur constituent des questions historiques et fascinantes à la limite
de la physique et des mathématiques, des questions où la pertinence des maths pour décrire le monde
physique tient du "mystère".
Références additionnelles [2], [4], [8], [5], [10], [3]
7 ANNEXES
20
7 ANNEXES
7.1
Propriétés du groupe SL(2,C)
• dénition : Soit les matrices de GL(2,C) ce sont les matrices (2,2) à coecients complexes
soit 8 paramètres réels. Les spéciales sont de déterminant 1 elles forment un sous-groupe des
matrices non singulières ; elles dépendent de 6 paramètres réels.
A ∈ SL(2C) si | A |= 1
• Les matrices A de SL(2,C) sont de la forme
µ
¶
µ
¶
α β
δ −β
−1
A =
avec αδ − βγ = 1 et A
=
γ δ
−γ α
• Propriété remarquable du groupe SL(2,C) : si C est la matrice donnée par l'équation 12 nous
avons pour toute matrice A de SL(2,C) :
(A∗ )−1 = C AC −1
soit (A+ )−1 = C ĀC −1
• L'algèbre de Lie du groupe peut être construite sur des générateurs qui sont les matrices (2,2)
de trace nulle
σj et iσj avec j = 1, 2, 3
• les matrices A de SL(2,C) peuvent s'écrire sous forme exponentielle :
i
A = exp(− ((a − ib).σ))
2
Les matrices de SL(2C) constituent une représentation à deux valeurs ±A du groupe de Lorentz
propre
• La correspondance se construit de la manière suivante soit X une matrice associèe à un
quadrivecteur dans l'espace temps V = (x0 , x, y, z) alors
µ
¶
x0 − z −x + iy
X = x0 σ0 − xi σi = x0 − (x.σ) =
−x − iy x0 + z
• Par construction, le déterminant de X est égal à la métrique (pseudo-norme) de X :
X
x2j = x2
| X |= x20 −
j
D'autre part :
xµ =
1
trace[σµ X]
2
• De plus :
µ
¶
x̄0 − z̄ −x̄ + iȳ
X =
= x̄0 σ0 + x̄i σi
−x̄ − iȳ x̄0 + z̄
µ
¶
1
x0 + z x − iy
−1
X
=
= x0 σ0 + xi σi
| X | x + iy x0 − z
+
(26)
7 ANNEXES
21
• La transformation X → X 0 conserve la métrique c'est donc une transformation de Lorentz ;
attention ±A donne le même Λ.
X → X 0 = A X A+ alors x0µ = Λµν xν avec Λµν =
1
trace[σµ Aσµ A+ ]
2
(27)
De plus X −1 se transforme par (A+ )−1 :
X 0−1 = (A+ )−1 X −1 A−1
(28)
• Cas particulier : les rotations.
i
A = exp(− ((a − ib).σ)) avec b = 0 et
2
~a = a ~n
En utilisant (a.σ)2 = a2 on obtient
A = cos(a/2) − isin(a/2)(n.σ)
A+ = cos(a/2) + isin(a/2)(n.σ)
Evidemment, Λ est une rotation d'angle θ = a autour du vecteur ~n ; en particulier, A étant
manifestement unitaire, on aura Λ00 = 1 et Λ0i = 0 et x00 = x0 .
Plus particulier encore, les rotations θ autour de Oz :
A = cos(θ/2) − isin(θ/2)σ3 ∼ 1 − i θ
σ3
2
• Cas particulier : les Lorentz pures.
i
A = exp(− ((a − ib).σ)) avec a = 0 et
2
~b = b ~n
En utilisant (b.σ)2 = b2 on obtient
A = ch(b/2) − sh(b/2)(n.σ)
A+ = A
A la limite non-relativiste dans la direction Ox :
A∼1−b
σ1
2
La transformation n'est pas unitaire mais hermitienne, c'est un boost dans la direction du
vecteur ~n à la vitesse v = th(b). En eet le calcul de X 0 donne :
X 0 = [ch − sh (n.σ)] × (x0 − (x.σ)) × [ch − sh (n.σ)]
avec
(n.σ) × (x.σ) = ((n.x) + i(n ∧ x).σ)
(n.σ) × (x.σ) × (n.σ) = (n.x)(n.σ) − (x − (n.x)n).σ) = ((2(n.x)n − x).σ)
(29)
7 ANNEXES
22
En développant :
X 0 = x0 (ch2 + sh2 − 2chsh (n.σ)) − ((ch − sh (n.σ))(x.σ)((ch − sh (n.σ))
on trouve
x00 = (ch2 + sh2 )x0 + 2chsh (n.x)
x0 = 2chsh x0 n + ch2 x + sh2 ((2(n.x)n − x)
Soit en changeant l'argument des fonctions hyperboliques (b/2 → b), on retrouve le boost de
Lorentz :
x00 = ch(b)x0 + sh(b)(n.x) = γ(x0 + v(n.x))
(n.x0 ) = sh(b)x0 + ch(b) (n.x) = γ((n.x) + v x0 )
(n ∧ x0 ) = (n ∧ x)
avec sh(b) = vγ
ch(b) = γ = √
1
(1−v 2 )
th(b) = v
Plus particulier encore, le boost à la vitesse v est selon de Ox :
x00
x01
x02
x03
=
=
=
=
γ(x0 + vx1 )
γ(x1 + v x0 )
x2
x3
REFERENCES
References
[1] F. Halzen & al. { Quarks and leptons }. John Wiley, Inc., 1984.
[2] E. Cartan. { La théorie des spineurs I et II }. Hermann Edt., 1938.
[3] E. Durand. { Mécanique quantique III }. Masson Edt., 1976.
[4] M. Gourdin. { Cours de DEA : polycopiés }. LPTHE. Orsay, 1969.
[5] J. Hladik. { Les Spineurs en physique }. Masson Edt., 1996.
[6] Les Houches. { High Energy Physics }. Dunod Edt, 1965.
[7] C. Longuemare. { Lamb shift }. Séminaire d'analyse U-Caen, 2006.
[8] P. Lounesto. { Cliord Algebras and Spinors }. Cambridge U Press., 1997.
[9] M. Morand. { Géométrie spinorielle }. Masson Edt., 1973.
[10] V. Morin. { http://www.ummo-sciences.org/activ/science/spineurs}. U-Angers, 2003.
23