MATHEMATIQUES - Equation du 1er degré à une

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
MATHEMATIQUES
- Equation du 1er degré à une inconnue -
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H. Schyns
Novembre 2002

Equations du 1er degréSommaire
H. SchynsS.1
Sommaire
1.DÉFINITIONS
2.RÉSOLUTION
2.1.Forme normale
2.2.Résolution algébrique
2.3.Formes éclatées
2.3.1.Premier exemple
2.3.2.Forme algébrique
2.3.3.Deuxième exemple
2.3.4.Second degré apparent
2.4.Formes fractionnaires
2.4.1.Coefficients fractionnaires
2.4.2.Inconnue au dénominateur
2.5.Forme impossible
2.6.Forme indéterminée
3.MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES
3.1.Lecture de l'énoncé
3.2.Identification de l'inconnue
3.3.Réflexion
3.4.Expérience
3.5.Un autre problème de bilan
EXERCICES DU CHAPITRE
♦Exercice 1
♦Exercice 2
♦Exercice 3
♦Exercice 4

Equations du 1er degré1 - Définitions
H. Schyns1.1
1. Définitions
Une équation est une expression mathématique dans laquelle
il faut trouver la ou les valeurs à donner aux différentes inconnues
pour vérifier l'égalité proposée.
Dans une équation du premier degré à une inconnue, la seule inconnue est affectée
d'un exposant de valeur unitaire.
Une équation se compose toujours de deux membres séparés par le signe égal.
membre de gauche = membre de droite
L'image traditionnelle de l'équation est celle d'une balance dont les plateaux sont en
équilibre au départ et doivent rester en équilibre pendant tout le processus de
résolution.
Habituellement, les équations du premier degré à une inconnue sont présentées
sous la forme
a • x + b = 0
ou, de manière plus condensée a x + b = 0
où xest l'inconnue,
aest le coefficient de l'inconnue,
best le terme indépendant.
a • x + best le membre de gauche (1)
0est le membre de droite
Notons qu'une équation se lit aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche.
Les équations
a • x + b = 0 et 0 = a • x + b
sont rigoureusement identiques (on permute simplement le contenu des deux
plateaux de la balance).
Nous ne nous intéresserons ici qu'aux équations dans lesquelles a et b sont des
nombres réels (a, b i þ). De ce fait, quand la résolution est possible, l'inconnue est
également un réel (x i þ).
Exemples : 1)4 • x - 8 = 0
2)-3 • x - 9 = 0
3)-2 • x + 7 = 0
1 notez bien que l'expression a.x+b n'est pas une équation. Pour qu'il y ait équation, il faut impérativement
deux membres et le signe = entre ces deux membres.

Equations du 1er degré2 - Résolution
H. Schyns2.1
2. Résolution
En toute généralité, résoudre une équation, quelle que soit sa complexité, repose
sur un principe inaltérable :
Toute opération, modification, fonction, appliquée au membre de gauche doit être
également appliquée au membre de droite.
Pour résoudre correctement une équation, il est indispensable de bien se souvenir
des règles de priorité des opérateurs arithmétiques :
-parenthèses,
-fonctions,
-exposants,
-multiplications et divisions,
-additions et soustractions.
2.1. Forme normale
Partons de l'exemple donné ci-dessus :
4 • x - 8 = 0
La première étape consiste à séparer le variable et son coefficient du terme
indépendant. En d'autres mots, il faut garder la variable et son coefficient dans un
membre et faire passer le terme indépendant dans l'autre.
Du point de vue technique, nous allons neutraliser une addition par une
soustraction ou neutraliser une soustraction par une addition.
Dans le cas présent, le terme indépendant est précédé du signe "-". Il s'agit donc
d'une soustraction à neutraliser par une addition dans les deux membres :
4 • x - 8 + 8 = 0 + 8
Dans le membre de gauche, les termes indépendants se neutralisent; dans le
membre de gauche, ils s'additionnent :
4 • x = 8
On résume généralement cette opération en disant que
un terme qui change de membre change de signe (1).
La seconde étape consiste à séparer l'inconnue de son coefficient.
Du point de vue technique, nous allons neutraliser une multiplication par une
division ou neutraliser une division par une multiplication.
1 Rappelons qu'un terme est l'élément d'une addition (dans a+b+c ; a, b et c sont les différents termes)
tandis qu'un facteur est l'élément d'une multiplication ( dans a•b•c ; a, b, et c sont les différents facteurs).
Dans l'expression a•x+b ; a•x et b sont des termes car séparés par "+" tandis que a et x sont des facteurs
car séparés par "•"

Equations du 1er degré2 - Résolution
H. Schyns2.2
Dans le cas présent, le coefficient et l'inconnue sont séparés par le signe "•". Il s'agit
donc d'une multiplication à neutraliser par une division dans les deux membres :
8x4 •=••
4
1
4
1
Dans le membre de gauche, les facteurs se neutralisent; dans le membre de
gauche, ils se simplifient :
4
8
x=
x = 2
On résume généralement cette opération en disant que
un facteur qui change de membre passe du numérateur au dénominateur
ou du dénominateur au numérateur.
La troisième étape est la vérification : on remplace x de l'équation initiale par la
valeur trouvée. Si la résolution est correcte, l'égalité se vérifie.
4 • x - 8 = 0
4 • 2 - 8 = 0
0 = 0
Appliquons le principe de résolution aux deux autres exemples où l'on a utilisé la
multiplication implicite (le signe "•" n'est pas écrit; il est sous-entendu) :
-3 x - 9 = 0-2 x + 7 = 0
-3 x – 9 + 9 = 0 + 9 -2 x + 7 - 7 = 0 - 7
-3 x = 9-2 x = -7
Pour éviter les erreurs, il est préférable que le coefficient de x soit positif.
Changeons le signe dans les deux membres.
3 x = -92 x = 7
3
3
9x3
−
=
2
2
7x2 =
x = -3 2
7
x=
Vérification :
-3•(-3) - 9 = 0 07
2
7
2=+•−
2.2. Résolution algébrique
Le principe de résolution que nous avons illustré avec les trois exemples s'applique
aussi à la résolution de la forme algébrique :
a x + b = 0
a x = - b
ab
x
−
=