Développement et réduction Comparaison de

Développement et
réduction
Comparaison de nombres
relatifs
Equations
I. Développement et réduction
! Formules de développement
- Développement simple.
Pour tous les nombres relatifs k, a et b, on a les formules :
k ×(a + b)= k × a + k × b et (a + b) × k = a × k + b × k
k × (a - b)= k × a - k × b et (a - b) × k= k × a - k × b
Exemple : 4 × (x + 2) = 4 × x + 4 × 2 = 4 x + 8.
- Développement double.
Pour tous les nombres relatifs a, b, c et d, on a la formule :
(a + b) × (c + d)= a × c + a × d + b × c + b × d.
Exemple :
(x + 1)(x - 3) = x × x + x × (–3) + 1x + 1 × (-3) = x
2
– 3x + x – 3 = x
2
– 2x
– 3
(x - 2)(x + 2) = x × x + x × 2+ (-2) × x + (-2)×2 = x
2
– 2x + 2x – 4 = x
2
– 4
! Réduction
On dit que l’on a réduit l’expression, lorsque l’on a ordonné les termes
en x, selon les puissances décroissantes.
Exemple :
2 (1 – x) = 2 – 2x = -2 x + 2.
(1 - x)(x + 2) = x + 2 – x × x – x × 2 = – x + 2 - x
2
= - x
2
– x + 2.
Forme non réduite Forme réduite
II. Comparaison de deux nombres relatifs
! Egalité des produits en croix
Pour a, b, c et d des nombres avec b et d non nuls :
L’égalité revient au même que l’égalité a x d = b x c.
Exemple :
Si on a l’égalité , on peut dire que 3 x x = 2 x 6 = 12.
(puis x = = 4)
! Plus petit que ..., plus grand que ...
Pour a et b des nombres :
a b revient au même que a – b 0.
a b revient au même que a – b > 0.
De même :
a b revient au même que a – b 0.
a < b revient au même que a – b < 0.
Par exemple, dire que x > 6 revient à dire que x – 6 > 0 et inversement.
Vocabulaire :
x est strictement positif correspond à x > 0.
x est strictement négatif correspond à x < 0.
! Inégalités
- Une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou
soustrait aux deux membres le même nombre.
Si x > 3, x + 2 > 3 + 2 (= 5) ou si x < 3, x -5 < 3 – 5 (= -2).
- Une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou divise
les deux membres par le même nombre positif.
Si x > 3, 4 x > 3 x 4 (=12) ou si x < 6,
- Une inégalité change de sens quand on multiplie ou divise les deux
membres par le même nombre négatif.
Si x > 3, -4 x < -4 x 3 (= - 12) ou si x < 6, .
III. Equations du premier degré
Equation du 1er degré à une inconnue:
Une équation du 1er degré à une inconnue est une égalité de deux
termes qui sont les membres de l’équation où figure une lettre (en
général x) qui est l’inconnue de cette équation.
Résoudre l’équation revient à trouver la ou les valeurs de l’inconnue
qui font l’égalité est vraie.
Exemple : Dans l’équation 2x + 6 = 0, -3 est solution de l’équation et
c’est la seule, car 2 × (-3) + 6 = 0.
Méthode de résolution :
On considère de nouveau l’équation 2x + 6 =0.
Pour la résoudre, nous allons mettre les termes en x d’un côté et les
nombres de l’autre, en soustrayant 6 de chaque côté :
2x+ 6 - 6 = 0 – 6, soit 2 x = - 6.
Ensuite, nous voulons la valeur de x, donc nous divisons par 2 les
deux termes : soit x = - 3.
La solution de l’équation est -3.
Remarque :
La plupart du temps, il n’y a qu’une solution à une équation du 1er
degré à une inconnue, mais il se peut qu’aucun nombre ne soit
solution ou au contraire tous les nombres.
Exercice commenté :
Nathan achète 2 Cd de musique au même prix et un poster valant 5 €.
Il dépense en tout pour 25 €.
Quel est le montant d’un CD ?
On appelle x le prix d’un CD.
Il dépense la somme 2 x pour les 2 CD et 5 € pour le poster. Il
dépense donc en tout 2 x + 5 et cette expression vaut 25.
2 x + 5 = 25 est équivalent à 2 x + 5 - 5 = 25 – 5, soit 2 x = 20.
2 x = 20 est équivalent à , soit x = 10.
Le prix de chaque CD est de 10 €.
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2009