II. Comparaison de deux nombres relatifs ! Egalité des produits en croix Pour a, b, c et d des nombres avec b et d non nuls : L’égalité revient au même que l’égalité a x d = b x c. Exemple : Si on a l’égalité (puis x = , on peut dire que 3 x x = 2 x 6 = 12. = 4) III. Equations du premier degré Equation du 1er degré à une inconnue: Une équation du 1er degré à une inconnue est une égalité de deux termes qui sont les membres de l’équation où figure une lettre (en général x) qui est l’inconnue de cette équation. Résoudre l’équation revient à trouver la ou les valeurs de l’inconnue qui font l’égalité est vraie. Exemple : Dans l’équation 2x + 6 = 0, -3 est solution de l’équation et c’est la seule, car 2 × (-3) + 6 = 0. ! Plus petit que ..., plus grand que ... Pour a et b des nombres : a b revient au même que a – b 0. a b revient au même que a – b > 0. De même : a b revient au même que a – b 0. a < b revient au même que a – b < 0. Méthode de résolution : On considère de nouveau l’équation 2x + 6 =0. Pour la résoudre, nous allons mettre les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre, en soustrayant 6 de chaque côté : 2x+ 6 - 6 = 0 – 6, soit 2 x = - 6. Ensuite, nous voulons la valeur de x, donc nous divisons par 2 les deux termes : soit x = - 3. Remarque : La plupart du temps, il n’y a qu’une solution à une équation du 1er degré à une inconnue, mais il se peut qu’aucun nombre ne soit solution ou au contraire tous les nombres. Vocabulaire : x est strictement positif correspond à x > 0. x est strictement négatif correspond à x < 0. La solution de l’équation est -3. Par exemple, dire que x > 6 revient à dire que x – 6 > 0 et inversement. ! Inégalités - Une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou soustrait aux deux membres le même nombre. Si x > 3, x + 2 > 3 + 2 (= 5) ou si x < 3, x -5 < 3 – 5 (= -2). - Une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou divise les deux membres par le même nombre positif. Si x > 3, 4 x > 3 x 4 (=12) ou si x < 6, - Une inégalité change de sens quand on multiplie ou divise les deux membres par le même nombre négatif. Si x > 3, -4 x < -4 x 3 (= - 12) ou si x < 6, . Exercice commenté : Nathan achète 2 Cd de musique au même prix et un poster valant 5 €. Il dépense en tout pour 25 €. Quel est le montant d’un CD ? On appelle x le prix d’un CD. Il dépense la somme 2 x pour les 2 CD et 5 € pour le poster. Il dépense donc en tout 2 x + 5 et cette expression vaut 25. 2 x + 5 = 25 est équivalent à 2 x + 5 - 5 = 25 – 5, soit 2 x = 20. 2 x = 20 est équivalent à , soit x = 10. Le prix de chaque CD est de 10 €. Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2009 Forme non réduite Forme réduite Exemple : 2 (1 – x) = 2 – 2x = -2 x + 2. (1 - x)(x + 2) = x + 2 – x × x – x × 2 = – x + 2 - x2 = - x2 – x + 2. On dit que l’on a réduit l’expression, lorsque l’on a ordonné les termes en x, selon les puissances décroissantes. ! Réduction Exemple : (x + 1)(x - 3) = x × x + x × (–3) + 1x + 1 × (-3) = x2 – 3x + x – 3 = x2 – 2x –3 (x - 2)(x + 2) = x × x + x × 2+ (-2) × x + (-2)×2 = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 (a + b) × (c + d)= a × c + a × d + b × c + b × d. - Développement double. Pour tous les nombres relatifs a, b, c et d, on a la formule : Exemple : 4 × (x + 2) = 4 × x + 4 × 2 = 4 x + 8. k ×(a + b)= k × a + k × b et (a + b) × k = a × k + b × k k × (a - b)= k × a - k × b et (a - b) × k= k × a - k × b - Développement simple. Pour tous les nombres relatifs k, a et b, on a les formules : ! Formules de développement I. Développement et réduction Développement et réduction Comparaison de nombres relatifs Equations