Cours3/TD3

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L2 Mention Informatique
UE Probabilités
Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles
Notes de cours rédigées
par
Régine André-Obrecht, Julien Pinquier, Sergei Soloviev

2
Soit
(
)
P,,AΩ et X :
Ω
→ R une variable aléatoire.
I. Variable aléatoire réelle
Définition : Soit
(
)
P,,AΩ et X :
Ω
→ R une variable aléatoire.
X est une variable aléatoire réelle si ,I
∀
intervalle de R,
{
}
∈∈IX A.
Proposition : Cette condition est vérifiée dès que
{
}
∈≤ xX A, pour tout x de R.
Elle entraîne que
{
}
∈∈BX A, pour tout borélien B de la tribu borélienne B(R) et que la loi de X est
définie par P
x
(B) = P(
{
}
BX ∈ ), pour tout B de B(R).
Fonction de répartition On appelle Fonction de répartition de la variable aléatoire X, la fonction
F : R [0,1] définie par :
)()( xXPxF
≤
=
La fonction de répartition caractérise la loi de probabilité de la variable X.
II. Variable aléatoire réelle à densité
a. Définitions
1. Soit f : R→ R
+
continue par morceaux avec un nombre fini de discontinuités, intégrable et
tel que
∫
+∞
∞
=
-
1f(x)dx . f est une densité.
2. X est dite à densité, de densité f, si
∫
∞−
=∈∀
x
f(u)duF(x),x R .
Propriétés : Si X est une variable aléatoire réelle de densité f :
1.
] ] ( ) ] ] ( ) ] ] ( )
∫
=−=∞−∞−=
b
a
f(u)duF(a)F(b)a,Pb,Pba,P ,
2. P(X=x) = 0,
3. En tout point où f est continue : F’(x) = f(x).
Réciproque : Soit F la fonction de répartition de X. Si X est dérivable (sauf en un nombre fini de
points) alors X est à densité et f(x) = F’(x) si la dérivée existe et 0 sinon.
Représentation
∫
=
A
f(u)duP(A) = « Aire sous la courbe »
x
f(x)
A
P(A)

3
x
f(x)
a
b
a
b
1
−
0
x
F(x)
1
λ
=
0
1
x
f(x)
1
λ
=
0
1
b. Lois usuelles
Loi uniforme sur [a, b] (équiprobabilité)
f(x) =
sinon.
0
b,x a si
ab 1≤≤ −
F(x) =
b.
x
si
1
b,x a si
a-b a-x
du
ab 1
a,
x
si
0
x
a
≥
≤≤=
−
≤
∫
Fonction de base pour la simulation d’autres lois.
Loi exponentielle de paramètre λ
• Durée de vie d’un phénomène (sans mémoire)
• Délai entre 2 événements imprévisibles (Fonctionnement d’un ordinateur avant une
panne, Emission de particules radioactives, Tremblement de terre)
f(x) =
sinon.
0
0, xsi e λ x-λ≥
[
]
e1e- du λe F(x)
x
0
xλ
x
0
λu-λu-
∫
−
−===
x
F(x)
a
b
1
0

4
x
f(x)
0
0,4
x
F(x)
0
1
Loi gaussienne ou normale (centrée réduite)
e
2π
1
f(x)
2
x
2
1
−
=
Intégrale de Gauss : π 2
2
2
1
=
∫
∞+
∞−
−x
e donc 1f(u)du =
∫
+∞
∞− .
∫
∞−
x
f(u)du ? Approximation de la fonction de répartition  tables numériques.
III. Moments d’une variable aléatoire réelle
Définition : X :
Ω
→ R à densité f et
ϕ
: R→ R continue par morceaux.
Si
∫
+∞<f(x)dx(x) ϕ alors (X)
ϕ
est une variable aléatoire intégrable et
(
)
∫
= (x)f(x)dx(X)E ϕϕ
Définition : E(X) est l’espérance de X et
(
)
(
)
(
)
2
XEXEvar(X) −=
Remarques :
1. Avec cette définition, on peut tout faire à la seule condition qu’il faut vérifier à chaque fois
que les valeurs absolues des fonctions soient intégrables.
2. Il faut interpréter E(ϕ (X)) comme la valeur moyenne des valeurs prises par la variable ϕ (X).
3. Toutes les propriétés obtenues pour les variables discrètes dénombrables vont ainsi être
retrouvées dès que les intégrales convergent (la page suivante devient inutile !).
Définition : Si
∫
+∞<f(x)dxx
n
, on dit que X admet un moment d’ordre n et égal à :
(
)
∫
=f(x)dxxXE
nn
.
Propriétés :
• Si X a un moment d’ordre n, X a des moments d’ordre j, j ≤ n,
• var(X) = E(X
2
) – E(X)
2
et var(λX+γ) = λ
2
var(X),
• E(X)
2
≤ E(X
2
)
• E(X)
2
= E(X
2
)
⇔
P(X=E(X)) = 1.

5
Une astuce courante:
Si ϕ = 1
A
la fonction indicatrice d’un borélien A sur R, c'est-à-dire :
Axsix
Axsix ∉=
∈
=
,0)(
,1)(
ϕ
ϕ
∫
==
A
A
duufXEAP )())(1()(
IV. Vecteurs aléatoires
Définition : Soient n variables aléatoires réelles {X
1
, X
2
,…,X
n
} définies à partir de (Ω, A, P ), on
appelle vecteur aléatoire la variable X = (X
1
, X
2
,…,X
n
)
Si X
i
Ω  R , X Ω  R
n
.
Proposition : si les (X
i
) sont des variables aléatoires réelles, X est un vecteur aléatoire réel dont la loi
est entièrement caractérisée par :
),...,,()()(,...
221121 nnXn
IXIXIXPIXPIPxIxxIIIsi ∈∈∈=∈==
Fonction de répartition : ),,,(),...,,(
221121 nnn
xXxXxXPxxxF ≤≤≤=
Définition : X est un vecteur aléatoire réel à densité s’il existe une fonction f de R
n
dans R
+
, vérifiant
nn
x x x
n
dududuuuufxxxF
n
...),...,,(...),...,,(
212121
1 2
∫ ∫ ∫
∞− ∞− ∞−
=
] ] ] ] ] ]
( )
∫∫∫
∞−∞−∞−
=∞−××∞−×∞−∈
n21
x
n21n21
xx
n21
...dxdx)dxx,...,x,f(x...x,...x,x,XP
Loi marginale de X
i
: si X est un vecteur réel à densité, X
i
est une va réelle à densité avec pour
densité ,...
ˆ
...),,...,,(...)(
21,21 niniii
duudduduuuuufxf
∫ ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
= où dû
i
signifie que l’on n’intègre
pas selon la coordonnée i.
V. Indépendance
Définition : n variables aléatoires réelles{X
1
, X
2
,…,X
n
} définies à partir de (Ω, A, P ) sont dites
indépendantes si et seulement si :
)(),...,,( .
1
2211 ii
n
i
nn
IXPIXIXIXP ∈
∏
=∈∈∈
=
Théorème : Soit X le vecteur de n variables aléatoires réelles {X
1
, X
2
,…,X
n
}, les variables {X
1
,
X
2
,…,X
n
} sont indépendantes si et seulement si
F(x
1
, x
2
,…,x
n
)=
∏
iii
xF )(
où F et F
i
sont les fonctions de répartition de X et X
i.
Proposition : X = (X
i
)
i=1,…,n
un vecteur aléatoire. Si X est à densité f et si f se factorise :
)(xf)x,...,f(x i
n
1i in1 ∏ =
=
avec une densité f
i
, alors les (X
i
) sont indépendantes. (Réciproque vraie)
Théorème : Soit (X
i
)
i=1,…,n
variables aléatoires indépendantes à densités,
)(Xg que tel.:g
iii
RR →∀ intégrable, alors
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.XgEX...gXgE
iinn11
∏
=
Réciproquement si cette relation est vraie i
g∀ alors les (X
i
) sont indépendants.