Baccalauréat S Probabilités

 Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de 1999 à 2005
Tapuscrit : D ENIS V ERGÈS
No
Lieu et date
1
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16
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30
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33
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38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Amériquedu Nord juin 2005
Antilles juin 2005
Asie juin 2005
Centres étr angers juin 2005
France juin 2005
La Réunion juin 2005
Liban juin 2005
Nlle–Calédonie mars 2005
Polynésie juin 2005
Amérique Sud nov. 2004
France septembre 2004
La Réunion septembre 2004
Polynésie septembre 2004
Amérique du Nord juin 2004
France juin 2004
Liban juin 2004
Polynésie juin 2004
Pondichéry juin 2004
La Réunion juin 2004
Amérique Sud nov. 2003
Nlle-Calédonie nov. 2003
Antilles septembre 2003
France septembre 2003
Amérique du Nord juin 2003
Antilles juin 2003
Centres étrangers juin 2003
La Réunion juin 2003
Liban juin 2003
Polynésie juin 2003
Nlle-Calédonie mars 2003
Amérique Sud déc. 2002
Nlle-Calédonie nov. 2002
France septembre 2002
Amérique du Nord juin 2002
Antilles juin 2002
Asie juin 2002
France juin 2002
La Réunion juin 2002
Polynésie juin 2002
Pondichéry juin 2002
Amérique Sud déc.2001
Antilles septembre2001
Antilles juin 2001
Asie juin 2001
Centres étrangers juin 2001
France juin 2001
Liban juin 2001
Polynésie juin 2001
Amérique Sud nov. 2000
Q.C.M.
×
×
P. conditionelle
×
×
×
×
×
×
Variable
aléatoire
Loi binomiale
Loi uniforme
Loi exponentielle
Suite
Géométrie
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Baccalauréat S
Index des exercices de probabilité de 1999 à 2005
Tapuscrit : D ENIS V ERGÈS
No
Lieu et date
50
51
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63
Antilles septembre 2000
France septembre 2000
Polynésie septembre 2000
Antilles juin 2000
Asie juin 2000
Centres étrangers juin 2000
France juin 2000
Liban juin 2000
Polynésie juin 2000
Pondichéry juin 2000
Amérique Sud nov. 1999
Antilles septembre 1999
France septembre 1999
Sportifs ht-niveau sept. 1999
Exercices de probabilités
Q.C.M.
P. conditionelle
Variable
aléatoire
Loi binomiale
Loi uniforme
Loi exponentielle
Suite
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
2
Géométrie
Baccalauréat S
1. Amérique du Nord juin 2005
On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1,
deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.
On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au
toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles
et six consonnes).
Un joueur fait une partie en deux étapes :
Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.
Deuxième étape :
• si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l’urne. Il gagne la partie
si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de
l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle
et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de
l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle
et il perd dans le cas contraire.
À la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s).
On définit les évènements suivants :
D1 : « le dé indique 1 »
D3 : « le dé indique 3 »
D2 : « le dé indique 2 »
G : « la partie est gagnée ».
A et B étant deux évènements tels que p(A) = 0, on note p A (B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.
1.
a. Déterminer les probabilités p D1 (G), p D2 (G), et p D3 (G)
b. Montrer alors que p(G) =
23
.
180
2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu
le numéro 1 avec le dé.
3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10−2 près.
Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la
probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,9 ?
Exercices de probabilités
3
Baccalauréat S
2. Antilles juin 2005
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera
sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie.
Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de
biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50
biographies.
40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains
de biographies sont français.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
a. 0, 4
b. 0, 75
c.
1
150
2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur
soit français est :
a. 0, 3
b. 0, 8
c. 0, 4
3. La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est
a. 1, 15
b. 0, 4
c. 0, 3
4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français
est :
a. 0, 9
b. 0, 7
c. 0, 475
5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant
que l’écrivain est français est :
a.
4
b.
150
12
19
c. 0, 3
6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait
choisi au moins un roman policier est :
a. 1 − (0, 25)20
Exercices de probabilités
b. 20 × 0, 75
4
c. 0, 75 × (0, 25)20
Baccalauréat S
3. Asie juin 2005
Une association organise une loterie pour laquelle une participation m
exprimée en euros est demandée.
Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne
contenant 2 boules vertes et 3 boules jaunes.
Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu.
Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m.
Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à
faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit :
1
• sur de la roue le gain est de 100 €,
8
1
• sur de la roue le gain est de 20 €,
4
• sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m.
On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ».
On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ».
On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et
ne gagne rien ».
1. Quelques calculs.
a. Calculer les probabilités P (V) et P (J) des évènements respectifs
V et J.
b. On note P V (R) la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant qu’il a obtenu deux boules vertes. Déterminer P V (R) puis
P (R ∩ V).
c. Calculer P (R).
d. Calculer la probabilité de gagner les 100 €, puis la probabilité de
gagner les 20 € de la roue.
2. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du
joueur c’est-à-dire la différence entre les sommes éventuellement
perçues et la participation initiale m.
a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X .
b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier
que p(X = −m) est 0,6.
c. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléa140 − 51m
toire X est E(X ) =
.
80
d. L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière
en euro. Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que
l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?
Exercices de probabilités
5
Baccalauréat S
3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les
résultats obtenus.
Calculer la probabilité qu’il perde au moins une fois sa mise.
4. On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On
note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans
l’urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n
le nombre de boules jaunes, on suppose n 1. Calculer la valeur
minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.
Exercices de probabilités
6
Baccalauréat S
4. Centres étrangers juin 2005
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits.
On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le
correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s’il décroche, la probabilité
pour qu’il réponde au questionnaire est 0,3.
On pourra construire un arbre pondéré.
1. On note :
• D1 l’évènement : « la personne décroche au premier appel » ;
• R1 l’évènement « la personne répond au questionnaire lors du premier appel ».
Calculer la probabilité de l’évènement R1 .
2. Lorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte
une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde
au questionnaire sachant qu’il décroche est 0,2. Si une personne ne
décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.
On note :
• D2 l’évènement : « la personne décroche au second appel ».
• R2 l’évènement : « la personne répond au questionnaire lors du
second appel ».
• R l’évènement : « la personne répond au questionnaire ».
Montrer que la probabilité de l’évènement R est 0,236.
3. Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la
probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième)
4. Un enquêteur a une liste de 25 personnes à contacter. Les sondages
auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Quelle
est la probabilité pour que 20 % des personnes répondent au questionnaire ? (on donnera la réponse arrondie au millième)
Exercices de probabilités
7
Baccalauréat S
5. France juin 2005
Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous forme de fraction
et sous forme décimale approchée par défaut à 10−3 près.
Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et
3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte
cylindrique.
1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard
dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de
billes rouges choisies.
a. Déterminer la loi de probabilité de X .
b. Calculer l’espérance mathématique de X .
2. Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l’enfant choisisse
d’abord au hasard une des deux boîtes, puis qu’il prenne alors une
bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les évènements suivants :
C1 : « L’enfant choisit la boîte cubique »,
C2 : « L’enfant choisit la boîte cylindrique »,
R : « L’enfant prend une bille rouge »,
V : « L’enfant prend une bille verte ».
a. Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à
ce deuxième jeu.
b. Calculer la probabilité de l’évènement R.
c. Sachant que l’enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la boîte cubique ?
3. L’enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à
chaque fois la bille tirée à sa place.
a. Exprimer, en fonction de n, la probabilité p n que l’enfant ait
pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix.
b. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle p n 0, 99.
Exercices de probabilités
8
Baccalauréat S
6. La Réunion juin 2005
On considère trois urnes U1 , U2 , et U3 .
L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urne U2
contient une boule noire et quatre boules rouges ; l’urne U3 contient trois
boules noires et quatre boules rouges.
Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1 et une boule
de U2 , à les mettre dans U3 , puis à tirer au hasard une boule de U3 .
Pour i prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Ni , (respectivement Ri )
l’évènement « on tire une boule noire de l’urne Ui » (respectivement « on
tire une boule rouge de l’urne Ui »).
1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités suivant :
N3
N2
R3
N1
N3
R2
R3
N3
N2
R3
R1
N3
R2
R3
2.
a. Calculer la probabilité des évènements N1 ∩ N2 ∩ N3 , et N1 ∩
R2 ∩ N3 .
b. En déduire la probabilité de l’évènement N1 ∩ N3 .
c. Calculer de façon analogue la probabilité de l’évènement R1 ∩
N3 .
3. Déduire de la question précédente la probabilité de l’évènement N3.
4. Les évènements N1 et N3 sont-ils indépendants ?
5. Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle est la probabilité
que la boule tirée de U1 soit rouge ?
Exercices de probabilités
9
Baccalauréat S
7. Liban juin 2005
Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la
sortie de la chaîne de fabrication.
Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran
est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est
acheminé chez le client, sinon il est détruit.
Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70 %
des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que
parmi les écrans réparés, seulement 65 % d’entre eux passent le second
test avec succès.
On note T1 l’évènement : « le premier test est positif ».
On note C l’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».
1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication.
Déterminer les probabilités des évènements T1 , et C.
2. La fabrication d’un écran revient à 1 000 € au fabricant si l’écran n’est
testé qu’une fois.
Cela lui coûte 50 € de plus si l’écran doit être testé une seconde fois.
Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif) au client.
On introduit la variable aléatoire X qui, à chaque écran fabriqué,
associe le « gain » (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.
a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.
b. Exprimer l’espérance de X en fonction de a.
c. À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?
Exercices de probabilités
10
Baccalauréat S
8. Nouvelle–Calédonie mars 2005
Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter
l’impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique.
Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un mois soit au total quarante trajets. On
admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la
probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p.
Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de
cent euros.
Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette
étude.
Soit X i la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé
au i -ème trajet et la valeur 0 sinon. Soit X la variable aléatoire définie par
X = X 1 + X 2 + X 3 + · · · + X 40 .
1. Déterminer la loi de probabilité de X .
2. Dans cette partie on suppose que p =
1
20
.
a. Calculer l’espérance mathématique de X .
b. Calculer les probabilités P (X = 0), P (X = 1) et P (X = 2).
c. Calculer à 10−4 près la probabilité pour que Claude soit contrôlé
au plus deux fois.
3. Soit Zi la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique
réalisé par le fraudeur.
Justifier l’égalité Z = 400−100X puis calculer l’espérance mathéma1
tique de Z pour p = .
5
4. On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité que Claude
subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99 %.
a. Démontrer que P (X 2) = (1 − p)38 741p 2 + 38p + 1 .
b. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f (x) = (1−x)38 741x 2 + 38x + 1 .
Montrer que f est strictement décroissante sur [0 ; 1] et qu’il
existe un unique réel x0 appartenant à l’intervalle [0 ; 1] tel que
n
f (x0 ) = 0, 01. Déterminer l’entier naturel n tel que
< x0 <
100
n +1
.
100
c. En déduire la valeur minimale qu’il faut attribuer à p afin que
la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit
supérieure ou égale à 99 %.
(On exprimera p en fonction de x0 ).
Exercices de probabilités
11
Baccalauréat S
9. Polynésie juin 2005
Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres.
Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés par a et b.
2 % des montres fabriquées présentent le défaut a et 10 % le défaut b.
Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les évènements suivants :
A : « la montre tirée présente le défaut a » ;
B : « la montre tirée présente le défaut b » ;
C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts » ;
D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».
On suppose que les évènements A et B sont indépendants.
1. Montrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,882.
2. Calculer la probabilité de l’évènement D.
3. Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq
montres.
On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand
pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et
sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres,
associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts
a et b.
On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun
défaut ».
Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera une valeur
approchée à 10−3 près.
Exercices de probabilités
12
Baccalauréat S
10. Amérique du Sud novembre 2004
On note p A (B) la probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant
que l’évènement A est réalisé.
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au
toucher.
1. On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.
On note A0 l’évènement ; « on n’a obtenu aucune boule noire » ;
On note A1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire » ;
On note A2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires ».
Calculer les probabilités de A0 , A1 et A2 .
2. Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne.
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules
de l’urne.
On note B0 l’évènement : « on n’a obtenu aucune boule noire au
tirage no 2 »
On note B1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire au
tirage no 2 »
On note B2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires au tirage
no 2 »
a. Calculer p A0 (B0 ), p A1 (B0 ) et p A2 (B0 ).
b. En déduire p(B0 ).
c. Calculer p(B1 ) et p(B2 ).
d. On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage.
Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire
lors du premier ?
3. On considère l’évènement R : « il a fallu exactement les deux tirages
pour que les deux boules noires soient extraites de l’une ».
1
Montrer que p(R) = .
3
Exercices de probabilités
13
Baccalauréat S
11. France septembre 2004
1. Soit une particule au hasard.
Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A1 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K1 »,
A2 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K2 »,
B1 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K1 »,
B2 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K2 »,
C1 : « la particule entre dans K1 »,
C2 : « la particule entre dans K2 ».
2. On procède cinq fois de suite et de façon indépendante à l’épreuve
décrite en introduction.
Le nombre de particules étant très grand, on admettra que les proportions 75 % et 25 % restent constantes.
Calculer la probabilité de l’évènement E suivant : « il y a exactement
deux particules dans K2 ».
Partie B
Un récipient contient le gaz décrit précédemment. Les particules A sont
radioactives et se transforment spontanément en particules B ; chaque
particule A donne en se transformant une particule B.
On note p(t ) la proportion de particules A dans le gaz. Ainsi, à l’instant
t = 0, on a p(0) = 0, 75.
Plus généralement, si t est exprimé en années, on a p(t ) = 0, 75e−λt , où λ
est une constante réelle.
La demi-vie 1 des particules de type A est égale à 5 730 ans.
1. Calculer λ ; on prendra une valeur approchée décimale à 10−5 près
par défaut.
2. Au bout de combien d’années 10% des particules de type A se serontelles transformées en particules de type B ?
3. Déterminer la valeur de t pour laquelle il y aura autant de particules
de type A que de particules de type B (on arrondira à l’unité).
1
temps au bout duquel le nombre de particules restantes est la moitié du nombre initial.
Exercices de probabilités
14
Baccalauréat S
12. La Réunion septembre 2004
Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U1 , U2 et U3 contenant chacune k
boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
ll y a trois boules noires dans l’urne U1 ,deux boules noires dans l’urne U2
et une boule noire dans l’urne U3 , et toutes les autres boules contenues
dans les urnes sont blanches.
Les boules sont indiscernables au toucher.
Une partie se déroule de la façon suivante :
le joueur lance le dé,
• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U1 ,
note sa couleur et la remet dans l’urne U1 ;
• s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans
l’urne U2 , note sa couleur et la remet dans l’urne U2 ;
• si le numéro amené par le dé n’est ni le 1 ni un multiple de trois, il
prend au hasard une boule dans l’urne U3 , note sa couleur et la remet
dans l’urne U3 .
On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants :
A : « Le dé amène le numéro 1 » ;
B : « Le dé amène un multiple de trois » ;
C : « Le dé amène un numéro qui n’est ni le lui un multiple de trois » ;
N : « La boule tirée est noire ».
1. Le joueur joue une partie.
a. Montrer que la probabilité qu’il obtienne une boule noire est
5
égale à .
3k
b. Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la
boule tirée est noire.
c. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire
1
soit supérieure à .
2
d. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire
1
soit égale à .
30
2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir
1
une boule noire en jouant une partie soit égale à .
30
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.
Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−3 , la probabilité qu’il
obtienne au moins une fois une boule noire.
Exercices de probabilités
15
Baccalauréat S
13. Polynésie septembre 2004
On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.
Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les
nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3.
Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et un carton le nombre −1.
On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont
équiprobables. On note a le nombre lu sur le canon de U et b celui lu
sur le carton de V.
1. Justifier que les points pondérés (A, a), (B, b) et (C, 4) admettent un
barycentre. On le note G.
2.
a. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
E1 « G appartient à la droite (BC) » ;
E2 « G appartient au segment [BC] ».
b. Montrer que la probabilité de l’évènement E3 : « G est situé à
l’intérieur du triangle ABC et n’appartient à aucun des côtés »
2
est égale à . On pourra faire appel des considérations de signe.
5
3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes
conditions l’épreuve qui consiste à tirer un carton dans chacune des
urnes U et V puis à considérer le barycentre G de la question 1..
On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre
de réalisations de l’évènement E3 .
a. Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la variable aléatoire X soit égale à 4.
b. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d’avoir
au moins un des barycentres situé à l’intérieur du triangle ABC
soit supérieure ou égale à 0, 999.
Exercices de probabilités
16
Baccalauréat S
14. Amérique du Nord juin 2004
Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une
fléchette dans une cible ayant la forme suivante :
B
R
B
V
B
V
B
J
B
J
B
J
B
B
B
B
B
B
J
B
J
B
J
B
V
B
V
B
R
B
La fléchette atteint toujours une case et une seule.
Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes
la même probabilité d’être atteintes.
Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.
Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.
Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd
rien.
Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a
désigne un nombre réel positif.
1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du
joueur (compté négativement quand il perd).
a. Donner la loi de probabilité de X .
b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que
l’espérance E(X ) soit nulle.
2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.
a. Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?
b. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle
est la probabilité qu’il gagne exactement 2 fois ? exactement 5
fois ?
c. Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en 2. b. ?
Exercices de probabilités
17
Baccalauréat S
15. France juin 2004
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant
électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité p de
durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t
semaines est
p([0 ; t [) =
t
0
λe−λx dx.
Une étude statistique, montrant qu’environ 50 % d’un lot important de
ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines,
permet de poser p([0 ; 200[) = 0, 5.
1. Montrer que λ =
ln 2
.
200
2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait
une durée de vie supérieure ? 300 semaines ? On donnera la valeur
exacte et une valeur approchée décimale au centième près.
3. On admet que la durée de vie moyenne d m de ces composants est la
A
limite quand A tend vers +∞ de
λxe−λx dx.
0
A
a. Montrer que
λxe
−λx
dx =
− λAe−λA − e−λA + 1
.
λ
b. En déduire d m on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale ? la semaine près.
0
Exercices de probabilités
18
Baccalauréat S
16. Liban juin 2004
Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les
médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif
ou technique).
12 % des personnels sont des médecins et 71 % sont des soignants.
67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes.
On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 10−4 près.
1. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.
a. Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?
b. Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?
c. On sait que 80 % du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’interroger une femme AT.
En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant que
la personne interrogée fait partie du personnel AT.
2. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital
au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet
est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1].
On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.
Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min ?
3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel
mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40
noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère
qu’il s’agit de 40 tirages successifs indépendants avec remise).
Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ?
Exercices de probabilités
19
Baccalauréat S
17. Polynésie juin 2004
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes
identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable
aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou
encore loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.
Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.
1. Sachant que p(X > 10) = 0, 286, montrer qu’une valeur approchée à
10−3 près de λ est 0, 125.
On prendra 0, 125 pour valeur de λ dans la suite de l’exercice.
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une
durée de vie inférieure à 6 mois.
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la
probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans ?
4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire
décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au
moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure â 10 ans ?
5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que
la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10
ans soit supérieure à 0,999 ?
Rappel :
Loi exponentielle de paramètre λ sur [0 ; +∞[, dite aussi loi de durée
de vie sans vieillissement :
b
pour 0 a b, p([a ; b]) =
λe−λt dt et
a
c
λe−λt dt .
pour c 0, p([c ; +∞[) = 1 −
0
Exercices de probabilités
20
Baccalauréat S
18. Pondichéry juin 2004
Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U1 , U2 et U3 contenant chacune k
boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Il y a trois boules noires dans l’urne U1 , deux boules noires dans l’urne U2
et une boule noire dans l’urne U3 , et toutes les autres boules contenues
dans les urnes sont blanches.
Les boules sont indiscernables au toucher.
Une partie se déroule de la façon suivante :
le joueur lance le dé,
• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U1 ,
note sa couleur et la remet dans l’urne U1 ;
• s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans
l’urne U2 , note sa couleur et la remet dans l’urne U2 ;
• si le numéro amené par le dé n’est ni le 1 ni un multiple de trois, il
prend au hasard une boule dans l’urne U3 , note sa couleur et la remet
dans l’urne U3 .
On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants :
A : « Le dé amène le numéro 1. »
B : « Le dé amène un multiple de trois. »
C : « Le dé amène un numéro qui n’est ni le 1, ni un multiple de 3. »
N : « La boule tirée est noire.»
1. Le joueur joue une partie.
a. Montrer que la probabilité qu’il obtienne une boule noire est
5
égale à .
3k
b. Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la
boule tirée est noire.
c. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire
1
soit supérieure à .
2
d. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire
1
soit égale à .
30
2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir
1
une boule noire en jouant une partie soit égale à .
30
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.
Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−3 , la probabilité qu’il
obtienne au moins une fois une boule noire.
Exercices de probabilités
21
Baccalauréat S
19. La Réunion juin 2004
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre
correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un
demi-point ; l’absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Première partie
Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux
banques de données :
B1 , contenant 6000 adresses, dont 120 sont erronées et 5 880 sont exactes,
B2 , contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erronées et 3800 sont exactes.
1. On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6 000 réalisées à l’aide de B1 . La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :
120 5880
+ 7
3
A:
6000
B:
10
3 7
10
120
5880
C:
×
×
3
6000
6000
3
120
3 7
10
3
7
D:
×
×
3
120
5880
2. Parmi les 10 000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant
que l’étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu’elle
ait été réalisée à l’aide de B1 est :
A : 0, 98
B:
0, 4 × 0, 95
0, 6 × 0, 98 + 0, 6 × 0, 02
C : 0, 6×0, 98
D:
0, 6 × 0, 98
0, 6 × 0, 98 + 0, 4 × 0, 95
Deuxième partie
La durée de vie, exprimée en heures, d’un robot jusqu’à ce que survienne
la première panne est modélisée par une loi de probabilité p de durée
de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ (loi exponentielle de paramètre λ = 0, 000 5). Ainsi la probabilité que le robot tombe
en panne avant l’instant t est :
p ([0 ; t [) =
t
0
λe−λx dx.
1. La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à 2 500
heures est :
2500
A : e− 2000
Exercices de probabilités
5
B : e4
22
2500
C : 1 − e− 2000
2000
D : e− 2500
Baccalauréat S
2. La durée de vie moyenne
d’un robot ménager est donnée par la for
mule : E = lim
t
t→+∞ 0
λxe−λx dx.
a. L’intégrale lim λxe−λx dx est égale à :
t→+∞
A :λ
t2
2
−λt
e
B : −t e
−λt
−
e−λt
λ
+
1
λ
C : λt e
−λt
−λt
−λe
−λ
b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :
A : 3 500
Exercices de probabilités
B : 2 000
23
C : 2 531, 24
D : 3 000
−λt
D : te
−
e−λt
−λ
Baccalauréat S
20. Amérique du Sud novembre 2003
Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement −1, 0, 0, 1 et indiscernables au toucher.
On tire un jeton du sac, on note son numéro x et on le remet dans le sac ;
on tire un second jeton, on note son numéro y et on le remet dans le sac ;
puis on tire un troisième jeton, on note son numéro z et on le remet dans
le sac.
Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés.
À chaque tirage de trois jetons,on associe, dans l’espace muni d’un re−
→
− →
− →
père orthonormal O, ı ,  , k le point M de coordonnées (x, y, z).
Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possiblesdu point M. Les
coordonnées
−
→
− →
− →
du point A sont (1 ; −1 ; −1) dans le repère O, ı ,  , k .
On note C le cube ABCDEFGH.
1. Démontrer que la probabilité que le point M soit en A est égale à
1
.
64
2. On note E1 l’évènement : « M appartient à l’axe des abscisses ».
1
Démontrer que la probabilité de E1 est égale à .
4
→
−
3. Soit P le plan passant par O et orthogonal au vecteur n (1 ; 1 ; 1).
a. Déterminer une équation cartésienne du plan P .
b. Tracer en couleur sur le graphique de l’annexe, la section du
plan P et du cube C . (On ne demande pas de justification).
c. On note E2 l’évènement : « M appartient à P ».
Quelle est la probabilité de l’évènement E2 ?
4. On désigne par B la boule de centre O et de rayon 1,5 (c’est-à-dire
l’ensemble des points M de l’espace tels que OM 1, 5).
On note E3 l’évènement : « M appartient à la boule B ».
Déterminer la probabilité de l’évènement E3 .
Exercices de probabilités
24
Baccalauréat S
Cette page ANNEXE sera complétée et remise avec la copie
H
G
E
F
→
−
k
→
−ı
→
−

O
D
C
A
B
Exercices de probabilités
25
Baccalauréat S
21. Nouvelle–Calédonie novembre 2003
On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à
un carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante :
pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un
grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire S n qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année
suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance mathématique de S n
notée E(S n ) est égale â 10.
Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.
k n−k
10
n 10
1. Calculer p, puis justifier l’égalité P(S n = k) = k
1−
n
n
où k est un entier naturel tel que 0 k n.
10
ln 1 −
n
2. a. Établir l’égalité ln[P(S n = 0)] = −10×
où ln désigne la
− 10
n
fonction logarithme népérien ; en déduire que lim P(S n = 0) =
n→+∞
e−10 .
b. Démontrer que P(S n = k + 1) = P (S n = k) ×
est un entier naturel tel que 0 k n − 1.
c. Démontrer que si lim P (S n = k) = e−10
n→+∞
k + 1 n.
n − 10
10k
k!
alors on a également lim P (S n = k + 1) = e
n→+∞
n −k
×
10
, où k
k +1
pour 0 k n,
−10
10k+1
(k + 1)!
pour 0 d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’en10k
tier naturel k que lim P (S n = k) = e−10
où k est un entier
n→+∞
k!
naturel tel que 0 k n.
3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on
10k
est une approximation acceptable de
puisse admettre que e−10
k!
P(S n = k). Utiliser cette approximation pour calculer à 10−4 près la
probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois
accidents de scooters à ce carrefour.
Exercices de probabilités
26
Baccalauréat S
22. Antilles–Guyane septembre 2003
Une association organise des promenades en montagne. Douze guides
emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever
du Soleil. L’été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe
doit s’inscrire la veille de la promenade.
Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que
chacun des groupes inscrits ne se présente pas au départ de la prome1
nade est égale à . On admettra que les groupes inscrits se présentent
8
indépendamment les uns des autres.
Les probabilités demandées seront arrondies au 100e le plus proche.
1.
a. Montrer que la probabilité qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21.
b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours
où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors
d’un mois de 30 jours. Montrer que X suit une loi binomiale
dont on précisera les paramètres.
Donner la signification des évènements X = 30 puis X = 0 et
calculer la probabilité de ces évènements.
Préciser l’espérance mathématique E(X )
Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?
c. Une somme de 1 Crédit (la monnaie locale) est demandée à
chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade.
Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait
versé pour la journée.
On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits,
perçue par l’association un jour donné.
Calculer la probabilité de l’évènement [S = 11].
Préciser l’espérance mathématique de S.
2.
a. Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. Évidemment si les 13 groupes inscrits se présentent,
le 13e groupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplacement entraîne une dépense de
2 Crédits à l’association.
Quelle est a probabilité P13 qu’un jour donné il n’y ait pas de
désistement, c’est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se
présentent au départ de la promenade ?
b. Soit R la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution.
Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer son espérance
mathématique.
Exercices de probabilités
27
Baccalauréat S
c. Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est :

k 13−k 
7
1
 k· k
 − 2P13 .
13
8
8
k=0
13
Calculer ce gain.
d. La décision du dirigeant est-elle rentable pour l’association ?
Exercices de probabilités
28
Baccalauréat S
23. France septembre 2003
Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ».
À la fin d’une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les
caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon « journaux
» contient 3 fois plus de pièces de 1 € que celle du rayon « souvenirs ».
Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face differe et
symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40 % des pièces
de 1 € dans la caisse du rayon « souvenirs » et 8 % de celle du rayon «
journaux » portent une face symbolisant un pays autre que la France (on
dira « face étrangère »).
1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche
les pièces portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard
et avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X
la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de
pièces portant une face « étrangère ».
a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent
une face étrangère.
c. Calculer la probabilité qu’au moins 2 pièces parmi les 20 portent
une face étrangère.
2. Les pièces de 1 € issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.
On prélève au hasard une pièce du sac.
On note S l’évènement « la pièce provient de la caisse souvenirs » et
E l’évènement « la pièce porte une face étrangère ».
a. Déterminer P(S), PS (E) ; en déduire P(S ∩ E).
b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16.
c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la
probabilité qu’elle provienne de la caisse « souvenirs ».
3. Dans la suite, la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans le
sac porte une face étrangère est égale à 0,16.
Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2)
du sac au hasard et avec remise.
Calculer n pour que la probabilité qu’il obtienne au moins une pièce
portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.
Exercices de probabilités
29
Baccalauréat S
24. Amérique du Nord juin 2003
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions : chacune comporte trois réponses, une et une seule tant exacte.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe,
page 5, en cochant pour chaque question la case correspondante à la réponse proposée.
Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.
Toute réponse exacte entraîne une bonification, toute erreur est pénalisée.
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une
loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement, définie sur l’intervalle [0, +∞[. Ainsi, la probabilité d’un intervalle [0, t [, notée p([0, t [), est
la probabilité que l’appareil ménager tombe en panne avant l’instant t .
t
Cette loi est telle que p([0, t [) =
λe−λx dx, où t est un nombre réel
0
positif représentant le nombre d’années (loi exponentielle de paramètre
λ, avec λ > 0).
1. Pour t 0, la valeur exacte de p([t , +∞[) est :
a.
1 − e−λt
b.
e−λt
c.
1 + e−λt
2. La valeur de t pour laquelle on a p([0, t [) = p([t , +∞[) est :
ln 2
λ
λ
a.
b.
c.
λ
ln 2
2
3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en
panne avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de
λ est alors :
41
ln(82)
50
b. ln
c.
a. ln
41
50
ln(100)
4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux
premières années après sa mise en service, la probabilité qu’il ne
connaisse aucune panne l’année suivante est :
a. p([1, +∞[) b. p([3, +∞[) c. p([2 ; 3[
Dans la suite de l’exercice on prendra λ = 0, 2.
5. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois
premières années, arrondie à 10−4 près, est :
a. 0, 552 3 b. 0, 548 8 c. 0, 451 2
6. Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps.
On désigne par X la variable alatoire égale au nombre d’appareils
qui n’ont pas de panne au cours des trois premières années.
La valeur la plus proche de la probabilité de l’évènement « X = 4 »
est :
a. 0, 555 5 b. 0, 802 2 c. 0, 160 7
Exercices de probabilités
30
Baccalauréat S
25. Antilles juin 2003
Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article ;
un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure
avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0,02. Le contrôle a montré aussi que
les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il
présente au moins l’un des deux défauts.
1. Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A
soit défectueux est égale à 0,049 4.
2. Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. Soit X la variable aléatoire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre
d’articles défectueux.
a. Définir la loi de X .
b. Calculer l’espérance mathématique de X . Quel est le sens de ce
nombre ?
3.
a. Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à
l’entreprise A.
Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles
défectueux dans sa commande.
b. Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir au moins un
article défectueux reste inférieure à 50 %. Déterminer la valeur
maximale du nombre n d’articles qu’il peut commander.
4. La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre
0,000 7, c’est-à-dire de densité de probabilité la fonction f définie
sur [0 ; +∞[ par :
f (x) = 0, 000 7e−0,000 7x .
Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un tel article ait une durée de
vie comprise entre 700 et 1 000 jours.
Exercices de probabilités
31
Baccalauréat S
26. Centres étrangers juin 2003
Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin,
les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme
des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc.
Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable alatoire qui mesure la distance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il
survienne un incident. On admet que D suit une loi exponentielle de pa1
ramètre λ = , appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.
82
On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par :
p(D A) =
A
1
0
82
x
e− 82 dx.
Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis au millime.
1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :
a. comprise entre 50 et 100 km ;
b. supérieure 300 km.
2. Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident,
quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des
25 prochains kilomètres ?
3. Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.
a. Au moyen d’une intégration par parties, calculer I(A) =
où A est un nombre réel positif.
A
1
0
82
b. Calculer la limite de I(A) lorsque A tend vers +∞. (Cette limite
représente la distance moyenne cherchée).
4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l’entrepôt et le lieu où survient un incident
sont des variables aléatoires deux deux indépendantes et de même
1
loi exponentielle de paramètre λ = .
82
d tant un réel positif, on note X d la variable aléatoire égale au nombre
d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.
a. Montrer que X d suit une loi binomiale de paramètres N0 et e−λd .
b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.
Exercices de probabilités
32
x
xe− 82 dx
Baccalauréat S
27. La Réunion juin 2003
Cet exercice comporte 3 questions indépendantes.
Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c et d.
Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.
Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.
Vous inscrirez en toutes lettres « VRAI » ou « FAUX » dans la case correspondante du tableau donné en annexe à rendre avec la copie.
1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes
la même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n désignant un entier supérieur à 10. Soit X la
variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches
tirées.
1
a. X suit une loi binomiale de paramètres n et .
4
1
b. P(X = 0) = 2n
2
c. P(X < 5) = 1 − P(X > 5)
d. E(X ) = 0, 75n
2. Une maladie atteint 1 % d’une population donnée.
Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes :
• Chez les individus malades, 99 % des tests sont positifs et 1 % sont
négatifs.
• Chez les individus non malades, 98 % des tests sont négatifs (les
autres étant positifs).
Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test.
On note M l’évènement : l’individu est malade et T l’évènement : le
test pratiqué est positif.
a. PM (T) + PM (T) = 1, 01.
b. PM (T) + PM (T) = P(T)
c. P(T) = 2, 97.10−2
d. Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour
que l’individu testé ne soit pas malade.
3. La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une
variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,01.
Alors :
a. La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0 ; +∞[
par : f (t ) = e−0,01t
b. Pour tout réel t positif, P(Y t ) = 1 − e−0,01t
Exercices de probabilités
33
Baccalauréat S
c. La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est,
à 0,01 près, égale à 0,16.
d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit
supérieure à une minute.
Exercices de probabilités
34
Baccalauréat S
28. Liban juin 2003
Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve
qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose
que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.
On note p n , la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des
n − 1 premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.
1. Calculer les probabilités p 2 , p 3 et p 4 .
2. On considère les évènements suivants :
B n : « On tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,
Un : « On tire une boule blanche et une seule lors des n − 1 premiers
tirages ».
a. Calculer la probabilité de l’évènement B n .
b. Exprimer la probabilit de l’évènement Un en fonction de n.
c. En déduire l’expression de p n en fonction de n et vérifier l’égalité :
pn =
n −1
4
×
n
2
3
.
3. On pose : S n = p 2 + p 3 + · · · + p n .
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :
n
2
.
+1 ×
Sn = 1 −
2
3
n
b. Déterminer la limite de la suite (S n ).
Exercices de probabilités
35
Baccalauréat S
29. Polynésie juin 2003
Partie A
→
−
− →
− →
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k , on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives :
A(0 ; 0 ; 3), B(2 2 ; 0 ; −1), C(− 2 ; − 6 ; −1), D(− 2 ; 6 ; −1).
1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.
2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD]
et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O.
3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.
A
→
−ı →
−
k
→
−
C
B
D
Partie B
On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune
et deux faces peintes en rouge.
On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont
visibles).
1. Calculer la probabilité pour qu’au moins trois faces rouges soient
visibles sur les trois tétraèdres.
2. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur
aucun tétraèdre.
3. Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont
visibles ».
4. On répète n fois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres.
Calculer la probabilité p n pour que l’évènement E soit réalisé au
moins une fois.
Calculer lim p n .
n→+∞
Exercices de probabilités
36
Baccalauréat S
30. Nouvelle–Calédonie mars 2003
Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté
à ses services.
On note, pour n entier naturel non nul, I n l’évènement « La société intervient durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur » et
p n = p(I n ) la probabilité de l’évènement I n .
Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée :
• p(I 1 ) = p 1 = 0, 75.
• Sachant qu’i ! y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit
l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0, 04.
• Sachant qu’iI n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui
suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois
suivant est égale à 0, 64.
On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que
p B (A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.
PARTIE 1
1. Préciser p I n (I n+1 ) et p I n (I n+1 ) puis calculer p (I n+1 ∩ I n ) et p I n+1 ∩ I n
en fonction de p n (n ∈ N∗ ).
2. En déduire p n+1 = −0, 6p n + 0, 64.
3. On considère la suite (qn ) définie sur N∗ par : q n = p n − 0, 4.
a. Démontrer que (qn ) est une suite géométrique.
b. En déduire qn puis p n en fonction de n.
c. Donner une valeur approchée de p 6 à 10−3 près par excès.
Exercices de probabilités
37
Baccalauréat S
31. Amérique du Sud décembre 2002
Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. Une urne B
contient deux boules rouges et deux boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.
1. On dispose d’un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de
1 à 6. On le lance une fois ; si l’on obtient un multiple de 3, on tire au
hasard une boule de l’urne A, sinon on tire au hasard une boule de
l’urne B.
a. Calculer la probabilité d’obtenir une boule noire.
b. Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ?
c. Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l’urne
B sachant qu’elle est rouge ?
2. On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l’on pose chaque fois devant l’urne.
a. Montrer que la probabilité de l’évènement « la 3e boule tirée est
1
noire » vaut .
4
b. Certains pensent que l’évènement « la première boule tirée est
noire » a une probabilité supérieure à l’évènement « la troisième
boule tirée est noire ». Est-ce vrai ? Justifier.
Exercices de probabilités
38
Baccalauréat S
32. Nouvelle–Calédonie novembre 2002
Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d’une urne contenant
six boules blanches et quatre boules rouges.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 € ; si exactement
deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 € et si une seule est rouge il
gagne 4 €. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.
Soit X la variable alatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du
joueur lors d’un jeu.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .
2. Pour un jeu, la mise est de 10 €. Le jeu est-il favorable au joueur,
c’est-à-dire l’espérance mathématiques est-elle strictement supérieure à 10 ?
3. Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable,
celui-ci envisage deux solutions :
- soit augmenter la mise de 1 €, donc passer à 11 €,
- soit diminuer chaque gain de 1 €, c’est-à-dire ne gagner que 99 €,
14 € ou 3 €.
Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?
Exercices de probabilités
39
Baccalauréat S
33. France septembre 2002
Un carré de côté 20 cm est partagé selon les 10 zones suivantes :
- un disque D de rayon 1 cm,
- 8 secteurs S1 , S2 , . . . , S8 de même aire
délimités par les frontières du disque D
et du disque D de même centre et de
rayon 9 cm,
- une zone R entre le disque D et le
bord du carré.
On place un point aléatoirement dans
le carré. La probabilité de placer le
point dans une zone quelconque du
carré est proportionnelle à l’aire de
cette zone.
1.
S3
S2
S4
S1
S5
S8
S6
S7
R
a. Déterminer la probabilité p(D) pour que le point soit placé dans
le disque D.
b. Déterminer la probabilité p(S1 ) pour que le point soit placé dans
le secteur S1 .
2. Pour cette question 2., on utilisera les valeurs approchées suivantes :
p(D) = 0,008 et pour tout k appartenant à {1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}, p(Sk ) =
0, 078 5.
À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant :
- un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros ;
- un point placé dans le secteur Sk fait gagner k euros pour tout k
appartenant à {1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} ;
- un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros.
On note X la variable alatoire égale au gain algébrique obtenu.
a. Calculer la probabilité p(R) pour que le point soit placé dans la
zone R.
Calculer l’espérance de X .
b. On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière indépendante dans le carré. Calculer la probabilité d’obtenir un gain total positif ou nul.
c. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. On joue n fois
de suite. On a donc placé n points de manière indépendante
dans le carré.
Calculer la probabilité p n d’obtenir au moins un point placé
dans le disque D.
Déterminer la plus petite valeur de n tel que p n 0, 9.
Exercices de probabilités
40
Baccalauréat S
34. Amérique du Nord juin 2002
Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées de manière
indépendante.
Partie I
1. Dans un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.), pour une question
donnée, 3 réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Un candidat décide de répondre au hasard à cette question.
La réponse exacte rapporte n point(s) et une réponse fausse fait
perdre p point(s).
Soit N la variable aléatoire qui associe, à la réponse donnée par le
candidat, la note algébrique qui lui sera attribuée pour cette question.
a. Donner la loi de probabilité de N .
b. Quelle relation doit exister entre n et p pour que l’espérance
matématique de N soit nulle ?
2. À un concours un candidat doit répondre à un Q.C.M. de 4 questions comportant chacune trois propositions de réponse dont une
seule est exacte. On suppose qu’il répond à chaque question, au hasard. Calculer la probabilité qu’il réponde correctement à 3 questions exactement (donner cette probabilité sous forme de fraction
irréductible puis sa valeur arrondie au centième).
Partie II
Répondre au Q.C.M. proposé sur la feuille annexe (à rendre avec la copie).
Document à rendre avec la copie
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Il est seulement demandé d’entourer la réponse choisie pour chacune des quatre questions.
L’absence de réponse à une question ne sera pas pénalisée.
a. On dispose de dix jetons numérotés de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour former un « paquet ». Combien de « paquets » contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi former ?
Réponse 1 :
Réponse 2 :
Réponse 3 :
180
330
110
b. A et B sont deux évènements d’un espace probabilisé tels que :
p(A) = 0, 4 p(B) = 0, 5 p(A ∪ B) = 0, 35.
Combien vaut p(A ∩ B) ?
Réponse 1 :
Réponse 2 :
p(A ∩ B) = 0, 1 p(A ∩ B) = 0, 25
Exercices de probabilités
41
Réponse 3 :
Les données sont
insuffisantes pour répondre.
Baccalauréat S
c. A et B sont deux évènements d’un espace probabilisé tels que
1
p(B∩A) = , p A (B) = 0, 25 (probabilité conditionnelle de B sachant que
6
A est réalisé). Combien vaut p(A) ?
Réponse 1 :
Réponse 2 :
Réponse 3 :
2
1
1
p(A) =
p(A) =
p(A) =
3
24
12
d. Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :
xi
1
2
4
1
1
1
pi
2
4
4
Combien vaut l’écart type de X ?
Réponse 1 :
σ=
Exercices de probabilités
3
2
Réponse 2 :
3
σ=
2
42
Réponse 3 :
σ=2
Baccalauréat S
35. Antilles juin 2002
Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société
immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été. On sait que 20 % des chaudières sont sous garantie.
Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit
1
défectueuse est de
.
100
Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une
1
chaudière soit défectueuse est de .
10
On appelle G l’évènement suivant : « la chaudière est sous garantie ».
1. Calculer la probabilité des évènement suivants :
A : « la chaudière est garantie et est défectueuse » ;
B : « la chaudière est défectueuse ».
2. Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que la pro1
babilité qu’elle soit sous garantie est de .
41
3. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80
euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse.
Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse. On note X la variable aléatoire qui représente le coût du
contrôle d’une chaudière. Déterminer la loi de probabilité de X et
son espérance mathématique.
4. Au cours de la période de contrôle, on a trouvé 5 chaudières défectueuses. Quelle est la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles soit
sous garantie ?
Exercices de probabilités
43
Baccalauréat S
36. Asie juin 2002
Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Pour tout entier naturel n 1 , on note En l’évènement « Amélie est arrêtée par le n-ième feu rouge ou orange » et En , l’évènement contraire. Le
feu orange est considéré comme un feu rouge.
Soit p n la probabilité de En et q n celle de En . La probabilité que le premier
1
feu tricolore soit rouge ou orange vaut .
8
On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
• la probabilité que le n + 1-ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le
1
n-ième feu est rouge ou orange, vaut .
20
• la probabilité que le n + 1-ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le
9
n-ième feu est vert, est égale à .
20
1. On s’intéresse, tout d’abord, aux deux premiers feux tricolores.
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
...
...
9
20
...
rouge ou orange
vert
1
8
...
rouge ou orange
...
1
20
...
1er feu
2e feu
b. On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts
parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité
de X .
c. Calculer l’espérance mathématique de X .
2. On se place maintenant dans le cas général.
Exercices de probabilités
44
Baccalauréat S
a. Donner les probabilités conditionnelles p En (En+1 ) et p En (En+1 ).
b. En remarquant que En+1 = (En+1 ∩ En ) ∪ En+1 ∩ En , montrer
que, pour tout n 1,
p n+1 =
1
20
pn +
9
20
qn .
c. En déduire l’expression de p n+1 en fonction de p n .
3. Soit la suite (u n ) de nombres réels définie pour tout entier naturel
n 1 par u n = 28p n − 9.
a. Montrer que (u n ) est une suite géométrique et déterminer sa
raison k.
b. Exprimer u n , puis p n en fonction de n.
c. Déterminer la limite, si elle existe, de p n , quand n tend vers +∞
. Donner une interprétation de ce résultat.
Exercices de probabilités
45
Baccalauréat S
37. France juin 2002
1. Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.
On tire au hasard un jeton de l’urne, on lit le numéro, noté a, porté
sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l’urne. On tire ensuite un
deuxième jeton de l’urne et on note b le numéro du jeton tiré.
→
−
− →
− →
Soit O, ı ,  , k un repère orthonormal de l’espace. On considère
−
→
−
→
les vecteurs U et V de coordonnées respectives (a, −5, 1 − a) et
(1 + b, 1, b).
Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est
1
égale à .
4
2. Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d’un certain
nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d’une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la
première question.
Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur, le jeu s’arrête.
Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est déclaré vainqueur et le jeu s’arrête.
Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ;
le jeu continue.
Pour tout entier n, on désigne par :
An l’évènement : « A gagne la n-ième partie »,
Bn l’évènement : « B gagne la n-ième partie »,
Cn l’évènement : « le jeu continue après la n-ième partie »
a. Calculer les probabilités p(A1 ), p(B1 ) et p(C1 ).
b. Exprimer
p(Cn+1 ) en fonction de p(Cn ) et montrer que p(Cn ) =
n
5
.
8
Exprimer p(An+1 ) en fonction de p(Cn et en déduire que p(An ) =
n−1
3 5
.
16 8
3.
a. Déterminer la limite de p(An ) quand n tend vers +∞.
b. Déterminer le plus petit entier n tel que p(An ) soit inférieur ou
égal à 0,01.
Exercices de probabilités
46
Baccalauréat S
38. La Réunion juin 2002
Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont
été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.
La probabilité d’apparition de « PILE » lors d’un jet d’une pièce truquée
3
est .
4
La probabilité d’apparition de « PILE » lors d’un jet d’une pièce équilibrée
1
est .
2
On suppose que les différents lancers dont il sera question dans la suite
sont indépendants les uns des autres.
La probabilité d’un évènement A est notée p(A). On désigne par A l’évènement contraire de A.
La probabilité conditionnelle de A sachant que l’évènement B est réalisé
est notée p(A/B).
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On prend une pièce au hasard et on la lance :
soit T l’évènement : « la pièce est truquée »,
soit P l’évènement : « on obtient PILE » .
a. Calculer la probabilité d’obtenir « Pile » (on pourra s’aider d’un
arbre).
b. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que
l’on a obtenu « PILE » ?
2. On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.
si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois « Pile », on décide d’éliminer la pièce,
dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
On note E l’évènement « la pièce est éliminée ».
a. Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle
est équilibrée ?
b. Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu’elle
est truquée ?
c. Quelle est la probabilité d’avoir pris une pièce équilibrée et de
l’avoir éliminée ou d’avoir pris une pièce truquée et de l’avoir
conservée ?
Exercices de probabilités
47
Baccalauréat S
39. Polynésie juin 2002
On dispose d’une grille à trois lignes et trois
colonnes. Une machine M1 place au hasard
un jeton dans une case de la grille, puis une
machine M2 place de même un jeton sur la
grille dans une case libre et enfin une troisième machine M3 place un jeton dans une
case libre.
A
B
C
1
2
3
On note les évènements suivants :
• H : « Les trois jetons sont alignés horizontalement » ;
• V : « Les trois jetons sont alignés verticalement » ;
• D : « Les trois jetons sont alignés en diagonale » ;
• N : « Les trois jetons ne sont pas alignés ».
Les nombres demandés seront donnés sous forme de fraction irréductible.
1. Calculer les probabilités des trois évènements H, V et D.
19
En déduire que la probabilité de N est égale à .
21
2. On considère la variable aléatoire X définie par :
• X = 20, lorsque H ou V est réalisé ;
• X = α, lorsque D est réalisé ;
• X = −2, lorsque N est réalisé.
Déterminer α pour que l’espérance de X soit nulle.
3. Dans cette question, on se place dans le cas où la machine M1 est
déréglée ; elle place alors le premier jeton dans l’un des coins de la
grille.
On note ∆ l’évènement : « la machine M1 est déréglée ».
a. Calculer la probabilité d’avoir un alignement horizontal c’est-àdire p ∆ (H), puis de même, d’avoir un alignement vertical p ∆ (V),
d’avoir un alignement en diagonale p ∆ (D).
b. En déduire que la probabilité d’avoir un alignement horizontal
3
ou vertical ou diagonal, est égale à .
28
4. A désigne l’évènement « les trois jetons sont alignés horizontale1
ment ou verticalement ou en diagonale ». On admet que p(∆) = .
5
Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant en précisant les
cinq probabilités correspondantes :
A
1
∆
5
A
A
∆
A
Exercices de probabilités
48
Baccalauréat S
40. Pondichéry juin 2002
Partie A
Une urne contient n boules blanches (n ∈ N et n 2), 5 boules rouges et
3 boules vertes.
On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne .
1. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
2. On note p(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
a. Montrer que p(n) =
n 2 − n + 26
(n + 8)(n + 7)
b. Calculer lim p(n). Interpréter ce résultat.
n→+∞
Partie B
Pour les questions suivantes n = 4.
1. Calculer p(4).
2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules
de l’urne.
Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans
l’urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois.
Il mise au départ la somme de 30 euros.
Pour chaque tirage :
- si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros,
- si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros.
On appelle gain du joueur la différence, à l’issue des deux tirages,
entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut
être positif ou négatif).
On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
a. Quelles sont les valeurs prises par X ?
b. Déterminer la loi de probabilité de X .
c. Calculer l’espérance de X .
Exercices de probabilités
49
Baccalauréat S
41. Amérique du Sud décembre 2001
On considère l’ensemble E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Avec deux chiffres disfincts x et y de E on crée un unique domino simple
noté indifféremment x
y ou y
x .
Avec un chiffre z de E, on forme un unique domino double noté
z
z
.
1. Montrer que l’on peut ainsi créer 36 dominos.
2. On tire au hasard un domino.
a. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino constitué de chiffres
pairs ?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme
des chiffres est paire ?
3. On tire au hasard et simultanément deux dominos.
Un élève affirme : « la probabilité d’obtenir un domino double et un
domino simple dont l’un des chiffres est celui du domino double est
4
égale à
».
45
Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée).
Exercices de probabilités
50
Baccalauréat S
42. Antilles septembre 2001
Soit m un nombre réel et f la fonction définie sur R par :
f (x) = m sin x pour x ∈ [0 ; π]
f (x) = 0
sinon.
1. Déterminer le réel m tel que f soit une densité de probabilité.
2. Représenter f dans un repère orthonormé.
3. Soit X une variable aléatoire dont f est une densité de probabilité.
Définir la fonction de répartition de X puis représenter graphiquement F dans un repère orthonormé.
π
3π
4. Calculer la probabilité p
X .
4
4
5. Calculer les probabilités p(X 0) et p(X 0).
Exercices de probabilités
51
Baccalauréat S
43. Antilles juin 2001
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu
constitué d’un grattage suivi d’une loterie.
Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une pro1
babilité de
ou bien ne rien gagner.
50
G désigne l’évènement : « Le joueur gagne au grattage ».
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. À cette loterie, il peut
gagner 100 euros, ou 200 euros, ou bien ne rien gagner.
Li désigne l’évènement « Le joueur gagne 100 euros à la loterie ».
L2 désigne l’évènement « Le joueur gagne 200 euros à la loterie ».
P désigne l’événement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ».
Si le joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros
1
à la loterie est
, et la probabilité qu’il gagne 200 euros à la loterie est
70
1
.
490
1.
a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui
précèdent.
b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie,
sachant qu’il n’a rien gagné au grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette valeur.
c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total
du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du
billet.
2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total
du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.
2
La probabilité de l’évènement « X = 90 » est
.
125
1
La probabilité de l’évènement « X = 190 » est
.
250
a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la
loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage, est égale
1
à .
10
b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie,
sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage.
c. Déterminer la loi de probabilité de X.
Calculer l’espérance de X.
Exercices de probabilités
52
Baccalauréat S
44. Asie juin 2001
Pour rejoindre le sommet S d’une montagne des Alpes à partir d’un point
de départ D, les randonneurs ont la possibilité d’emprunter plusieurs
parcours. La course n’étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l’un des deux refuges se trouvant à la même altitude de
1400 mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés
au même endroit. On les appelle R1 et R2 .
Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 2500 mètres
d’altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en
faisant une halte au refuge R3 , ou atteindre le sommet directement.
La probabilité que les randonneurs
choisissent de passer par R1 est
1
S
égale à .
3
La probabilité de monter directe5,5 2 6
ment au sommet en partant de R1
R3
3
4 4,5
est égale à .
R1
R2
4
La probabilité de monter directe5
4
ment au sommet en partant de R2
D
2
est égale à .
3
1. Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du
départ D jusqu’au sommet S.
2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
E1 : « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 sachant qu’ils
ont passé la nuit au refuge R1 » ;
E2 « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 » ;
E3 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1 sachant qu’ils
ont fait une halte au refuge R3 » ;
E4 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R2 sachant que, le
deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S ».
3. On note d (M, N ) la distance, en km, à parcourir pour se rendre du
point M au point N .
On donne d (D, R1 ) = 5 ; d (D, R2 ) = 4 ; d (R1 , R3 ) = 4 ; d (R2 , R3 ) = 4,5 ;
d (R3 , S) = 2 ; d (R1 , S) = 5,5 ; d (R2 , S) = 6.
Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par
les randonneurs pour aller du départ D au sommet S.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer l’espérance mathématique de X.
Exercices de probabilités
53
Baccalauréat S
45. Centres étrangers juin 2001
Le directeur d’un musée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une
exposition.
Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d’imaginer le parcours d’un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes :
• Le visiteur passe au hasard d’une salle à une salle voisine.
• Pour sortir d’une salle, il franchit de manière équiprobable n’importe
quelle autre porte que celle qu’il a utilisée pour entrer.
Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s’intéresse qu’aux quatre premières salles traversées, l’entrée E étant comprise dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres,
commençant par la lettre E. Par exemple :
• Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera
son trajet par le mot EBDF.
• Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies.
F
G
T
D
A
B
Entrée
E
C
1. On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet
selon les hypothèses précédentes.
a. Construire l’arbre pondéré des différents trajets possibles pour
ce visiteur.
1
b. Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est .
6
c. Déterminer la probabilité p 1 de l’évènement : « La quatrième
salle du trajet est F ».
d. Pour des raisons techniques, le directeur installe les œuvres les
plus intéressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité p 2
de l’évènement « Le trajet passe par la salle T ».
2. Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun
un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes. On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T.
Exercices de probabilités
54
Baccalauréat S
a. Calculer la probabilité de l’évènement (X = 1).
b. Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par
la salle T. (Donner le résultat arrondi au millième.)
c. Le directeur décide d’obliger les visiteurs à se diriger, après l’entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour
la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que
deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T.
Prouver qu’il a tort.
Exercices de probabilités
55
Baccalauréat S
46. France juin 2001
→
− →
−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v [unité
graphique : 6 cm].
π
On considère la suite (αn ) de nombres réels définie par α0 = et, pour
2
5π
tout entier naturel n, αn+1 = αn +
. Pour tout entier naturel n, on ap6
Mn le point du cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l’angle
pelle
→
− −−−−→
u , OMn ait pour mesure αn .
1. Placer les douze points M0 , M1 , M2 , · · · , M11 .
2. On appelle z n l’affixe de
Mn . Montrer que, pour tout entier naturel
i π2 + 5nπ
12 .
n, on a l’égalité : z n = e
3.
a. Montrer, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :
• les points Mn et Mn+6 sont diamétralement opposés ;
• les points Mn et Mn+12 sont confondus.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité z n+4 =
2iπ
e− 3 z n .
En déduire que la distance Mn Mn+4 vaut 3 puis que le triangle
Mn Mn+4 Mn+8 , est équilatéral.
On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme Mn Mn+4 Mn+8 .
4. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M0, M1 , M2 , · · · , M11
sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément
trois cartons de l’urne. Calculer la probabilité d’obtenir les trois sommets d’un triangle équilatéral.
Exercices de probabilités
56
Baccalauréat S
47. Liban juin 2001
Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés de promenades c1 , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 .
Partie A
Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment
l’une de l’autre, un des cinq circuits.
1. Combien y-a-t-il de tirages possibles pour l’ensemble des deux familles ?
2. Quelle est la probabilité pour qu’elles fassent le même jour, le même
circuit ?
3. Quelle est la probabilité pour que pendant n jours consécutifs, elles
ne se trouvent janais sur le même circuit ?
4. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité de
se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou
égale à 0,9.
Partie B
On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième jour
chaque famille élimine de son tirage le circuit qu’elle a fait la veille. Il reste
donc quatre circuits pour ciacune des deux familles.
On note :
E l’évènement « les deux familles font le même circuit le premier jour ».
F l’évènement « les deux familles font le même circuit le deuxième jour ».
Calculer les probabilités suivantes :
P(E) , P(F/E) , P(F/E) puis P(F ∩ E) et P(F ∩E).
En déduire P(F).
Exercices de probabilités
57
Baccalauréat S
48. Polynésie juin 2001

 1 gros rouge et 3 petits rouges
2 gros verts et 1 petit vert
Une boîte contient 8 cubes :

1 petit jaune
Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boîte (on admettra que la probabilité de tirer un cube donné est indépendante de sa
taille et de sa couleur).
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On note A l’évènement : « obtenir des cubes de couleurs différentes
» et B l’évènement : « obtenir au plus un petit cube ».
a. Calculer la probabilité de A.
2
b. Vérifier que la probabilité de B est égale à .
7
2. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes rouges
tirés par l’enfant.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer l’espérance mathématique de X.
3. L’enfant répète n fois l’épreuve « tirer simultanément trois cubes de
la boîte », en remettant dans la boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. Les tirages sont indépendants. On note P n la
probabilité que l’évènement B soit réalisé au moins une fois.
a. Déterminer P n en fonction de n.
b. Déterminer le plus petit entier n tel que P n 0, 99.
Exercices de probabilités
58
Baccalauréat S
49. Amérique du Sud novembre 2000
Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher.
On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le
sac, puis on tire une seconde boule, on note son numéro y et on la remet
dans le sac.
Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées.
À chaque tirage
deux boules, on associe dans le plan, muni d’un repère
de→
− →
−
orthonormal O, ı ,  , le point M de coordonnées (x ; y).
On désigne par D le disque de centre O et de rayon 1,7.
Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.
→
− →
−
1. Placer dans le plan muni du repère (O ; ı ,  ) les points correspondant aux différents résultats possibles.
2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A « Le point M est sur l’axe des abscisses » ;
B « Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ».
3.
a. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules,
associe la somme x 2 + y 2 . Déterminer la loi de probabilité de
la variable aléatoire X . Calculer son espérance mathématique
E(X ).
b. Montrer que la probabilité de l’évènement « le point M appar4
tient au disque D » est égale à .
9
4. On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan.
Quelle est la probabilité de l’évènement suivant :
C : « Au moins un de ces points appartient au disque D » ?
5. On renouvelle n fois de suite, de façon indépendante, le tirage de
deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi n points
du plan.
Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un de ces points appartient à D
» soit supérieure ou égale à 0, 999 9.
Exercices de probabilités
59
Baccalauréat S
50. Antilles septembre 2000
1. Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis
un sommet quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y
a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit qu’elle « fait un pas
».
a. La fourmi se trouve en A.
Après avoir fait deux pas, quelle
est la probabilité qu’elle soit :
• en A ?
• en B ?
• en C ?
• en D ?
b. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on
note :
Sn l’évènement « la fourmi est
au sommet S après n pas », et
p n la probabilité de cet évènement.
S
D
A
C
B
Donner p 1 .
En remarquant que Sn+1 = Sn+1 ∩ Sn , montrer que
p n+1 =
1
3
1 − pn .
2. On considère lasuite (p n ), définie pour tout nombre entier n stricte1


 p1
=
3
ment positif par :
.

1

 p n+1 =
1 − pn
3
a. Montrer par récurrence
pout tout entier naturel n strictement
nque,
1
1
.
positif, on a p n = 1 − −
4
3
b. Déterminer lim p n .
n→+∞
Exercices de probabilités
60
Baccalauréat S
51. France septembre 2000
Les résultats seront donnés à 10−3 près.
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter.
Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la
probabilité pour qu’il accepte de répondre au questionnaire est 0,2.
1. On note :
• A1 l’évènement « la personne est absente lors du premier appel » ;
• R1 l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors du premier appel ».
Quelle est la probabilité de R1 ?
2. Lorsqu’une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour qu’elle soit absente est 0,3. Et, sachant qu’elle est présente lors du second appel, la probabilité pour qu’elle accepte de
répondre au questionnaire est encore 0,2.
Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus
de la contacter.
On note :
A2 l’évènement « la personne est absente lors du second appel » ;
R2 l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire
lors du second appel » ;
R l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire
».
Montrer que la probabilité de R est 0,176. (On pourra utiliser un
arbre).
3. Sachant qu’une personne a accepté de répondre au questionnaire,
quelle est la probabilité pour que la réponse ait eu lieu lors du premier appel ?
4. On suppose que les sondages auprès des personnes d’une même
liste sont indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes
à contacter. Quelle est la probabilité pour qu’une au moins des 20
personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire ?
Exercices de probabilités
61
Baccalauréat S
52. Polynésie septembre 2000
On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On
désigne par p k la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k (k est un entier et 1 k 6).
Ce dé a été pipé de telle sorte que :
• les six faces ne sont pas équiprobables,
• les nombres p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , p 6 , dans cet ordre, sont six termes
consécutifs d’une suite arithmétique de raison r ,
• les nombres p 1 , p 2 , p 4 dans cet ordre, sont trois termes consécutifs
d’une suite géométrique.
k
pour tout entier k tel que 1 k 6.
21
2. On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants :
A : « le nombre obtenu est pair »
B : « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 »
C : « le nombre obtenu est 3 ou 4 ».
1. Démontrer que : p k =
a. Calculer la probabilité de chacun de ces évènements.
b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou
égal à 3, sachant qu’il est pair.
c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements
A et C sont-ils indépendants ?
3. On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :
• d’une urne U1 contenant une boule blanche et trois boules noires,
• d’une urne U2 contenant deux boules blanches et une boule noire.
Le joueur lance le dé :
• s’il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l’urne
U1 ,
• s’il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de
l’urne U2 .
On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est déclaré gagnant lorsqu’il tire une boule blanche, on note G cet évènement.
a. Déterminer la probabilité de l’évènement G ∩ A, puis la probabilité de l’évènement G.
b. Le joueur est gagnant. Déterminer la probabilité qu’il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé.
Exercices de probabilités
62
Baccalauréat S
53. Antilles juin 2000
Un groupe de vingt-deux personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B.
Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont
voir le fim B.
Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le fim A, deux
vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la
semaine précédente.
Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce
groupe. On considère les évènements suivants :
A 1 « la personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ;
A 2 « la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ;
B 1 « la personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ;
B 2 « la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ».
1.
a. Calculer les probabilités suivantes : p(A 1 ) et p(A 2 ).
b. Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants :
p(A 2 /A 1 ), p(A 2 /B 1 ) e t p(A 1 ∩ A 2 )
c. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n’est demandée pour cette question.
?
A2
?
A1
?
B2
?
?
?
?
A2
?
?
B2
?
B1
d. Retrouver à partir de l’arbre pondéré que p(A 2 ) =
8
.
11
2. Le prix du billet pour le film A est de 30 F et de 20 F pour le film B.
On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne interrogée, des deux séances de cinéma.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .
b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire
X.
Exercices de probabilités
63
Baccalauréat S
54. Asie juin 2000
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une
fléchette. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle at1
teigne la cible au lancer suivant est égale à . Lorsqu’elle a manqué la
3
cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant
4
est égale à . On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances
5
d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les évènements suivants :
A n : « Alice atteint la cible au n e coup ».
B n : « Alice rate la cible au n e coup ».
On pose P n = p(A n ).
Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre
pondéré.
1. Déterminer p 1 et montrer que p 2 =
4
.
15
2. Montrer que, pour tout entier naturel n 2,
pn =
3. Pour n 1 on pose u n = p n −
2
15
p n−1 +
3
1
.
15
.
13
Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme u 1 et la raison q.
4. Écrire u n puis p n en fonction de n.
5. Déterminer lim p n .
n→+ ∞
Exercices de probabilités
64
Baccalauréat S
55. Centres étrangers juin 2000
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les
réponses sous forme de fractions.
Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges, et 2 boules vertes,
indiscernables au toucher.
1. On tire simultanément au hasard 3 boules de l’urne.
a. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
E1 : « Les boules sont toutes de couleurs différentes. »
E2 : « Les boules sont toutes de la même couleur. »
b. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules
associe le nombre de boules bleues tirées.
Établir la loi de probabilité de X .
Calculer l’espérance mathématique de X .
2. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.
On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une
boule de l’urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne
avant de procéder au tirage suivant.
On effectue ainsi k tirages successifs.
Quelle est la valeur minimale de k pour que la probabilité de ne tirer
que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la
probabilité de ne tirer que des boules rouges ?
Exercices de probabilités
65
Baccalauréat S
56. France juin 2000
Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.
Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre.
Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres.
Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois.
On note A l’évènement contraire de l’évènement A et p(A / B) la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.
1. On interroge un élève de la classe pris au hasard.
On appelle P l’évènement : « L’élève fait partie du club photo », et T
l’événement : « L’élève fait partie du club théâtre ».
Montrer que les évènements P et T sont indépendants.
2. Lors d’une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents.
Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d’un autre
membre du club qui sera lui aussi tiré au sort.
a. On appelle T1 l’évènement : « Le premier élève appartient au
club théâtre ». Calculer p(T1 ).
b. On appelle T2 l’évènement « L’élève pris en
photo
appartient
au club théâtre ». Calculer p(T2 /T1 ), puis p T2 /T1 . En déduire
p (T2 ∩ T1 ) et p T2 ∩ T1 .
(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)
c. Montrer que la probabilité que l’élève pris en photo appartienne
au club théâtre est 0,2.
3. Toutes les semaines, on recommence de façon indépendante la séance
de photographie avec tirage au sort du photographe et du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de
suite.
Calculer la probabilité qu’au bout de 4 semaines, aucun membre du
club théâtre n’ait été photographié.
Exercices de probabilités
66
Baccalauréat S
57. Liban juin 2000
Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes.
Dans les questions 1. et 2. on tire au hasard et simultanément 3 boules de
cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles.
1. Soit les évènements suivants :
A « Les trois boules sont rouges. »
B « Les trois boules sont de la même couleur. »
C « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »
a. Calculer les probabilités p(A), p(B) et p(C ) .
b. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le
nombre de couleurs obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de X . Calculer E (X ).
2. Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules
rouges où n est un entier supérieur ou égal à 2. L’urne contient donc
n + 5 boules, c’est-à-dire, n rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au
hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les évènements suivants :
D « Tirer deux boules rouges. »
E « Tirer deux boules de la même couleur. »
a. Montrer que la probabilité de l’événement D est
p(D) =
n(n − 1)
.
(n + 5)(n + 4)
b. Calculer la probabilité de l’évènement E , p(E ) en fonction de
1
n. Pour quelles valeurs de n a-t-on p(E ) ?
2
Exercices de probabilités
67
Baccalauréat S
58. Polynésie juin 2000
Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
4 jetons blancs marqués 0 ;
3 jetons rouges marqués 7 ;
2 jetons blancs marqués 2 ;
1 jeton rouge marqué 5.
1. On tire simultanément 4 jetons du sac.
Quel est le nombre de tirages possibles ?
2. On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère
les évènements suivants :
A : « Les quatre numéros sont identiques ».
B : « Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 ».
C : « Tous les jetons sont blancs ».
D : « Tous les jetons sont de la même couleur ».
E : « Au moins un jeton porte un numéro différent des autres ».
a. Montrer que la probabilité de l’évènement B, est
4
.
105
b. Calculer la probabilité des évènements A, C , D, E .
c. On suppose que l’évènement C est réalisé, calculer alors la probabilité de l’évènement B.
On établit la règle de jeu suivante :
- Si le joueur peut former 5 000, il gagne 75 F.
- Si le joueur peut former le nombre 7 000, il gagne 50 F.
- Si le joueur peut former le nombre 2 000, il gagne 20 F.
- Si le joueur peut former le nombre 0 000, il perd 25 F.
Pour tous les autres tirages, il perd 5 F.
G est la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Établir la loi de probabilité de G et calculer l’espérance mathématique de G.
Exercices de probabilités
68
Baccalauréat S
59. Pondichéry juin 2000
Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n’ouvrent pas la porte
parce qu’elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors
les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et
sans remise. On appelle clef numéro x la clef utilisée au x-ième essai.
1. On appelle D1 l’évènement : « La clef numéro 1 n’ouvre pas la porte
». Calculer sa probabilité.
2. On appelle D2 l’évènement : « La clef numéro 2 n’ouvre pas la porte
». Calculer la probabilité que l’évènement D2 se réalise, sachant que
l’évènement D1 est réalisé.
En déduire la probabilité de l’évènement D1 ∩ D2 .
On pourra, pour la suite de l’exercice, s’aider d’un arbre pondéré.
3. Quelle est la probabilité de l’évènement : « Les clefs numéros 1 et 2
ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l’ouvre pas » ?
4. Pour 1 i < j 5, on note (i ; j ) l’évènement : « Les clefs qui
n’ouvrent pas la porte sont les clefs numéros i et j », et P (i ; j ) la
probabilité de cet évènement.
a. Calculer P (2 ; 4).
b. Calculer P (4 ; 5).
Exercices de probabilités
69
Baccalauréat S
60. Amérique du Sud novembre 1999
Un appareil électronique envoie à une imprimante un code qui est un
nombre de quatre chiffres, chaque chiffre ne pouvant prendre que les valeurs 0 ou 1 (par exemple : 1011).
1.
a. Combien l’appareil peut-il fabriquer de codes distincts ?
On supposera dans ce qui suit que tous ces codes ont la même probabilité
d’être produits.
b. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de 1 figurant
dans le code. Donner la loi de probabilité de X et calculer son
espérance mathématique.
2. Une imprimante a été choisie au hasard dans une série.
À la suite d’études antérieures, on a observé cinq cas possibles. Dans
le cas E0 , l’imprimante n’écrit que des 0, quel que soit le code émis
par l’appareil. Pour chaque élément n de l’ensemble { 1, 2, 3}, dans
le cas En l’imprimante écrit correctement les n premiers caractères
du code et n’écrit ensuite que des 0.
Par exemple, lorsque E2 survient, tous les codes commençant par 01
sont imprimés 0100. Dans le cas E4 , l’imprimante fonctionne correctement.
L’état de l’imprimante sera donc considéré comme le résultat d’une
épreuve aléatoire ayant cinq issues possibles E0 , E1 , E2 , E3 , E4 . On
admet que, pour chaque élément n de l’ensemble { 0, 1, 2, 3}, P (En ) =
32 × 10−3 . Le code émis par l’appareil est indépendant de l’état de
l’imprimante.
a. Calculer la probabilité P (E4 ). Pour la suite, C désigne l’évènement : « le code imprimé est identique à celui émis par l’appareil ».
b. On suppose que E0 se produit. Quelle est la probabilité P (C/E0 )
que le code imprimé soit quand même celui que l’appareil a
envoyé ?
En déduire la probabilité P (C ∩ E0 ).
c. Déterminer de même P (C/En ) puis P (C∩En ) pour tout élément
n de l’ensemble {1, 2, 3, 4}. En déduire P (C).
d. Si le code imprimé est exactement celui émis par l’appareil, quelle
est la probabilité que E2 se soit produit ?
Exercices de probabilités
70
Baccalauréat S
61. Antilles–Guyane septembre 1999
Dans tout l’exercice on considère 20 boules indiscernables au toucher (10
noires et 10 blanches) et deux urnes A et B dans chacune desquelles on
placera 10 boules suivant un mode qui sera précisé dans chaque question.
1. On choisit dix boules au hasard et on les met dans l’urne A. On place
les dix autres boules dans l’urne B.
a. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne contiennent
chacune que des boules de même couleur ?
b. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes contiennent
chacune 5 boules blanches et 5 boules noires ?
2. Soit x un entier tel que 0 x 10. On place maintenant x boules
blanches et 10 − x boules noires dans l’urne A et les 10 − x boules
blanches et x boules noires restantes dans l’urne B. On procède à
l’expérience E :
On tire au hasard une boule de A et on la met dans B, puis on tire au
hasard une boule de B et on la met dans A.
On désigne par M l’évènement « chacune des deux urnes a la même
composition avant et après l’expérience ».
a. Pour cette question a., on prend x = 6.
Quelle est la probabilité de l’évènement M ?
b. Montrer que la probabilité de l’évènement M est égale à :
1
55
− x 2 + 10x + 5 .
c. Pour quelles valeurs de x l’évènement M est-il plus probable
que l’évènement contraire M ?
Exercices de probabilités
71
Baccalauréat S
62. France septembre 1999
Dans tout l’exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère
l’expérience suivante :
On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et
une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une
boule blanche dans l’urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on ajoute
une boule noire dans l’urne.
Puis on tire simultanément, et au hasard, trois boules de l’urne.
1. On appelle E0 l’évènement : « Aucune boule blanche ne figure parmi
les trois boules tirées » et B l’évènement : « Le jeton est tombé sur la
face blanche ».
a. Calculer P(E0 ∩ B), P (E0 ∩ B), puis P(E0 ).
b. On tire trois boules de l’urne, aucune boule blanche ne figure
dans ce tirage. Quelle est la probabilité que le jeton soit tombé
sur la face noire ?
2. On appelle E1 l’évènement : « Une boule blanche et une seule figure
parmi les trois boules tirées » et B l’évènement : « Le jeton est tombé
sur la face blanche ».
a. Calculer la probabilité de l’évènement E1 .
b. On effectue successivement quatre fois l’expérience décrite au
début, qui consiste à lancer le jeton, puis à tirer les trois boules
de l’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir, au moins une fois, une et une
seule boule blanche ?
Exercices de probabilités
72
Baccalauréat S
63. Sportifs de haut-niveau septembre 1999
Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules blanches et quatre
boules noires.
On prélève simultanément quatre boules dans l’urne. Les prélèvements
sont supposés équiprobables.
1. Calculer la probabilité d’un prélèvement unicolore.
2.
a. Quelle est la probabilité d’un prélèvement bicolore composé de
boules rouges et blanches ?
b. Démontrer que la probabilité d’un prélèvement bicolore est
68
.
165
3. Déduire des résultats précédents la probabilité d’un prélèvement
tricolore.
4. Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux boules rouges sachant que le prélèvement est bicolore ?
Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cornus. http ://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/
Exercices de probabilités
73