Equations différentielles

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS RÉELS CONSTANTS
Dans tout ce qui suit, (p,q) est un couple de réels donné.
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Définition.
Une équation différentielle linéaire d’ordre 2 sans second membre est une équation différentielle
de la forme :
y 00 + py 0 + qy = 0 (E)
Une fonction f est solution de (E) si et seulement si elle est deux fois dérivable sur R et si :
∀x ∈ R, f 00 (x) + pf 0 (x) + qf (x) = 0.
Exemple :
y 00 = 0,
y 00 + y 0 + y = 0,
y 00 − y = 0,
y 00 + y = 0.
L’objectif est de résoudre l’équation (E), c’est-à-dire trouver toutes des solutions de cette équation différentielle.
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Quelques propriétés à démontrer.
Soit S l’ensemble des solutions de (E).
Démontrer les propriétés suivantes :
1. La fonction nulle est solution de (E) quelles que soient les valeurs de p et q.
2. S n’est pas vide.
3. S est stable par combinaisons linéaires :
∀(α, β) ∈ R2 , (f, g) ∈ S 2 ⇒ αf + βg ∈ S .
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3.1
Résolution de l’équation (E).
Equation de la forme y 00 − k 2 y = 0 (k ∈ R∗ ).
Question 1. Soit r un réel.
Montrer qu’une fonction f de la forme f : x 7→ erx appartient à S si et seulement si r est égal à
k ou -k.
En déduire que toutes les fonctions de la forme x 7→ αekx + βe−kx où α et β sont deux réels
quelconques sont solution de l’équation différentielle y 00 − k 2 y = 0 .
Question 2. Démontrer que l’équation différentielle y 00 − k 2 y = 0 avec les conditions initiales
y(0)=0 et y’(0)=0 possède une unique solution, à savoir la fonction nulle.
(Indication : Introduire la fonction z définie par z= y’-ky où y est solution du problème).
Question 3. Soit z une solution quelconque de l’équation différentielle y 00 − k 2 y = 0 avec les
conditions y(0)=a et y’(0)=b où a et b sont deux réels quelconques donnés.
Démontrer que z est bien définie et qu’elle est unique.
Aide : on cherchera z sous la forme :
z : x 7→ αekx + βe−kx .
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3.2
Equation de la forme y 00 + k 2 y = 0 (k ∈ R∗ ).
Une fonction Φ de R dans C est définie par la donnée de deux fonctions f et g de R dans R :
Φ = f + ig.
Si f et g sont dérivables sur R, alors il est possible d’écrire :
Φ0 = f 0 + ig 0 .
Question 1. Soit k un réel donné, posons (E’) l’équation différentielle :
Y 0 − ikY = 0.
Prouver que la solution générale de cette équation différentielle est définie par :
∀x ∈ R,
Y (x) = Ceikx .
Préciser les parties réelles et imaginaires de eikx et vérifier que les fonctions ainsi définies sont
solutions de (E’).
On considère l’équation différentielle :
y 00 + ω 2 y = 0.
Prouver (avec z= y’+iωy), que :
La fonction nulle est la seule solution de l’équation ci-dessus telle que y(0)=y’(0)=0.
Question 2. Soit z une fonction solution de l’équation différentielle z 00 + ωz = 0.
1. Prouver qu’il existe une unique couple (α, β) de réels tel que :
si y(x) = α cos ωx + β sin ωx, on a : y(0) = z(0) et y 0 (0) = z 0 (0).
2. En s’inspirant de ce qui précède, démontrer le théorème suivant :
Théorème : La solution générale de l’équation différentielle y 00 + ωy = 0 , où
ω ∈ R∗ , est donné par :
y(x) = A cos ωx + B sin ωx
Les constantes A et B sont définies par les conditions initiales y(0) et y’(0).
3. Montrer que iω et −iω sont les racines d’une équation du second degré associée à l’équation différentielle étudiée. Rappeler comment cos ωx et sin ωx s’expriment comme combinaisons linéaires de eiωx et e−iωx . Exprimer alors la solution générale du théorème précédent comme combinaison de ces deux exponentielles complexes.
3.3
Equation de la forme y 00 + py 0 + qy = 0(E)
.
Question 1. Pour tout réel λ on pose y(x) = eλx z(x). Calculer y’(x) et y”(x) en fonction de
z(x), z’(x) et z”(x).
Question 2. Montrer que y est solution de (E) si, et seulement si, z est solution de l’équation
différentielle :
z 00 + (2λ + p)z 0 + (λ2 + λp + q)z = 0.
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p
p
Question 3. On pose λ = − . Montrer que la fonction y définie par y(x) = e− 2 z(x) est
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solution de (E) si, et seulement si, z est solution d’une équation différentielle à préciser.
Question 4. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (E) dans chacun des
trois cas suivants :
p2 − 4q > 0 ; p2 − 4q = 0 ; p2 − 4q < 0.
Question 5. Déterminer pour les trois cas ci-dessus, une solution de l’équation différentielle
(E) satisfaisant de plus les conditions initiales y(0)=p et y’(0)= q, où p et q sont des réels
donnés.
Prouver que cette solution est unique.
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