Fonctions polynômes du second degré, classe de - MathsFG

Fonctions polynômes du second degré, classe de
seconde
F.Gaudon
25 mars 2010
Table des matières
1 Étude des fonctions polynômes du second degré
2
2 Résolution d'équations produits
4
1
Fonctions polynômes du second degré - 2nde
1
Étude des fonctions polynômes du second degré
Dénition :
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction qui s'écrit
sous la forme ax2 + bx + c pour tout x réel avec a, b et c trois nombres
réels xés avec a 6= 0.
Propriété :
Toute fonction polynôme du second degré s'écrit sous la forme f (x) =
a(x − u)2 + v où u et v sont des réels.
Preuve :
On a :
f (x) = ax2 + bx + c
c
b
f (x) = a(x2 + x + )
a
a
b
b2
c
f (x) = a((x + )2 − 2 + )
2a
4a
a
b 2
b2
4ac
f (x) = a((x + ) − 2 + 2 )
2a
4a
4a
Exemple :
Soit f dénie par f (x) = −2x2 + 12x + 10. On a f (x) = −2(x2 − 6x − 5) puis
f (x) = −2((x − 3)2 − 9 − 5) ce qui s'écrit encore f (x) = −2((x − 3)2 − 14) donc
f (x) = −2(x − 3)2 + 28.
Propriété :
Toute fonction polynôme du second degré est représentée dans tout repère
orthonormé par une parabole.
Preuve :
admise
Exemple :
Voici la représentation graphique de la fonction f précédente sur [−1; 5]
http: // mathsfg. net. free. fr
2
Fonctions polynômes du second degré - 2nde
30
25
20
15
10
5
~
j
O
0
~
i
−5
−10
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Propriété :
Pour toute fonction polynôme du second degré sous la forme f (x) =
a(x − u)2 + v ,
• si a > 0 la fonction f est décroissante sur l'intervalle ] − ∞; u] et
croissante sur l'intervalle [u; +∞[ et admet un minimum égal à v en u.
• si a < 0 la fonction f est croissante sur l'intervalle ] − ∞; u] et décroissante sur l'intervalle [u; +∞[ et admet un maximum égal à v en
u.
Synthèse :
Si a > 0,
x
-∞
u
&
f (x)
+∞
%
v
et si a < 0,
x
-∞
u
+∞
v
f (x)
http: // mathsfg. net. free. fr
%
3
&
Fonctions polynômes du second degré - 2nde
Preuve :
Supposons a < 0, l'autre cas se traiterait de la même manière. On a f (x) =
a(x − u)2 + v où a, u et v sont des réels avec a 6= 0.
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ]−∞; 0] et tels que x1 ≤ x2 . On a donc
x1 − u ≤ x2 − u ≤ 0. Comme la fonction carré est décroissante sur ] − ∞; 0],
on a donc (x1 − u)2 ≥ (x2 − u)2 d'où en multipliant par le nombre a négatif,
a(x1 − u)2 + v ≤ a(x2 − u)2 + v et a(x1 − u)2 + v ≤ a(x2 − u)2 + v c'est à dire
f (x1 ) ≤ f (x2 ) ce qui justie que la fonction est croissante sur ] − ∞; 0].
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle [u; +∞[ et tels que x1 ≤ x2 . On a
donc 0 ≤ x1 − u ≤ x2 − u. Comme la fonction carré est croissante sur [0; +∞[,
on a donc (x1 − u)2 ≤ (x2 − u)2 d'où en multipliant par le nombre a négatif,
a(x1 − u)2 + v ≥ a(x2 − u)2 + v et a(x1 − u)2 + v ≥ a(x2 − u)2 + v c'est à dire
f (x1 ) ≥ f (x2 ) ce qui justie que la fonction est décroissante sur [u; +∞[.
On a donc bien un maximum pour x = u et ce maximum est f (u) = (u−u)2 +v = v .
Exemple :
Dans l'exemple précédent f (x) = −2(x − 3)2 + 28. a = −2. a est négatif donc on a
le tableau de variations suivants :
x
-∞
3
+∞
28
f (x)
2
%
&
Résolution d'équations produits
Propriété :
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Exemples de résolution d'équations du second degré : :
• Résolution de l'équation (3x+2)(4x−3) = 0 dans l'ensemble des réels. D'après
la propriété énoncée, 3x + 2 = 0 ou 4x − 3 = 0 c'est à dire 3x = 2 ou 4x = 3
donc encore x = 32 ou x = 34 . L'équation (3x + 2)(4x − 3) = 0 a donc pour
solutions 32 et 34 .
• Résolution de l'équation (3x + 2)(2x − 1) − x(3x + 2) = 0 dans l'ensemble
des réels. Ici, l'équation n'est pas factorisée. La développer ne permet pas de
résoudre l'équation car on trouve 3x2 − x − 2 = 0 qu'on ne sait pas résoudre. Il
faut donc la factoriser : l'équation donne alors (3x + 2)(2x + 1 − x) = 0 c'est à
dire (3x + 2)(x + 1) = 0 qui se résout en utilisant la propriété énoncé ci-dessus.
On a donc 3x + 2 = 0 ou x + 1 = 0 donc x = −2
ou x = −1.
3
http: // mathsfg. net. free. fr
4
Fonctions polynômes du second degré - 2nde
• Résolution de l'équation x2 + 4x + 4 = 0. Ici encore, l'équation n'est pas factorisée. Il n'y a pas de facteur commun mais une identité remarquable apparaît
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 . On résout donc l'équation (x + 2)2 = 0 qui donne
x + 2 = 0 donc x = −2.
http: // mathsfg. net. free. fr
5