TD N°2 L`ATOME DE BOHR

- 1 -
TD N°2 L’ATOME DE BOHR
EXERCICE 1
ETAT FONDAMENTAL ET EXCITE DE L’ATOME DE BOHR
• Modèle planétaire de l’atome d’hydrogène (Rutherford) : noyau chargé positivement
autour duquel gravite un électron chargé négativement
Problème : l'électron, charge électrique accélérée, devrait selon la physique classique,
rayonner de l'énergie et donc finir par s'écraser sur le noyau.
De plus l’obtention d’un spectre discontinu montre que l’atome ne peut prendre que des
valeurs discrètes d’énergie : l’énergie est quantifiée.
• Postulat de Bohr :
1) L'électron ne rayonne aucune énergie lorsqu'il se trouve sur une orbite stable (ou orbite
stationnaire). A chaque orbite correspond un niveau d’énergie de l’atome.
2) L’électron ne rayonne ou n'absorbe de l'énergie que lors d'un changement d'orbite : il
passe d’une orbite à l’autre par émission d’un photon (retour à un état plus stable de
moindre énergie) ou absorption d’un photon (passage à un état excité de plus grande
énergie).
E
n
E
m
E
Absorption Emission
hν= E
n
- E
m
hν= E
n
- E
m
E
n
E
m
E
Absorption Emission
hν= E
n
- E
m
hν= E
n
- E
m

- 2 -
• Système étudié : électron
• Référentiel : du laboratoire (supposé galiléen), origine = proton supposé fixe
• Bilan des forces :
- Force électrostatique (attractive)
- Poids négligeable
F
r
u
r
e
+
e
-
r
0
F
r
u
r
e
+
e
-
r
0
A Relation entre le rayon r
0
de la trajectoire de l’électron et sa vitesse
L’électron est soumis à la force électrostatique exercée par le proton : u
r
e
Fr
r
2
0
2
0
4
1
πε
−=
Relation fondamentale de la dynamique : amF
r
r
∑
= amu
r
e
F
e
rr
r
=−=
2
0
2
0
4
1
πε
Expression de l’accélération dans la base orthonormale directe locale de Frênet ),( NT
r
r
:
-
T
r
: vecteur unitaire tangent à la courbe, dirigé dans le sens du mouvement
- N
r
: vecteur normal à T (rotation de π/2)
NaTaa
NT
r
r
r
+=
Accélération tangentielle :
dt
dv
a
T
=
Accélération normale :
R
v
a
N
2
= (R : rayon de courbure)

- 3 -
L’électron a un mouvement circulaire uniforme donc : 0==
dt
dv
a
T
et
0
2
r
v
a
N
=
Donc : u
r
v
Naa
N
r
r
r
0
2
−== (accélération centripète)
En remplaçant dans la relation fondamentale : u
r
v
mu
r
e
F
e
rr
r
0
2
2
0
2
0
4
1−=−=
πε
On en déduit :
0
2
2
0
2
0
4
1
r
v
r
e=
πε
 2
0
2
0
4vm
e
r
e
πε
=
B Energie mécanique de l’électron
• Energie cinétique : r
e
vmE
ec
0
2
2
42
1
2
1
πε
×==
r
e
E
c
0
2
8 πε
=
• Energie potentielle
Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du
chemin suivi par son point d'action (exemple : force électrostatique, force gravitationnelle…).
Si ce n'est pas le cas elle est alors dite non-conservative (exemple : force de frottement,
forces de pression…).
Une force conservative dérive d’une énergie potentielle telle que :
dx
dE
F
p
−=
La force électrostatique est conservative, donc dérive d’une énergie potentielle :
dr
dE
F
p
−= drFdE
p
.−=
Intégrons cette relation pour r variant entre r et l’infini :
r
e
r
e
r
e
dr
r
e
dr
r
e
drFrEE
r
rrr
pp
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
2
0
4
)
4
(0
4
.
4
.
4
1
.)()(
πεπεπεπεπε
=−−=
−==−−=−=−∞
∞
∞∞∞
∫∫∫
Par convention : 0)( =∞
p
E
r
e
E
p
0
2
4 πε
−=
• Energie mécanique :
r
e
r
e
r
e
EEE
pc
0
2
0
2
0
2
848 πεπεπε
−=−=+=
r
e
E
0
2
8 πε
−=

- 4 -
L’énergie de l’atome est négative , et augmente avec le rayon de l’orbite (c’est-à-dire lorsque
l’électron est excité). Quand r tend vers l’infini, l’énergie tend vers zéro : l’électron est libéré
de l’attraction électrostatique exercée par le noyau ( ionisation de l’atome).
C Rayon des orbites
1
er
postulat de Bohr : le moment cinétique de l’électron est quantifié
L
r
v
r
r
r
L
r
v
r
r
r
Moment cinétique : prL
r
r
r
∧= vmp
e
r
r
= : quantité de mouvement
π
2
h
nvrmL
e
== n :
nombre quantique principal (entier ≥ 1)
D’autre part on a montré que : rm
e
v
e0
2
2
4 πε
=
On en déduit le rayon r des différentes orbites :
2
0
2
2
em
h
nr
e
n
π
ε
=
Rayon de l’orbite de nombre quantique principal n :
1
2
rnr
n
=
2
0
2
1
em
h
r
e
π
ε
=: rayon de la 1
ère
orbite de Bohr
pmm
em
h
r
e
9,5210.29,5
)10.6,1(10.1,9
10.84,8)10.62,6(
11
21931
12234
2
0
2
1
==
××
×
==
−
−−
−−
ππ
ε
Remarque : SI
9
0
10.9
4
1=
πε
SI
12
9
0
10.84,8
10
.
9
4
1
−
=
×
=
π
ε
Nombre quantique principal n Rayon de l’orbite (en m et pm)
Etat fondamental 1
pmmr 9,5210.29,5
11
1
==
−
2
pmmrr 21210.12,24
10
12
===
−
3
pmmrr 47610.76,49
10
13
===
−
4
pmmrr 84610.46,816
10
14
===
−
5
pmmrr 132010.32,125
9
15
===
−
6
pmmrr 190010.90,136
9
16
===
−
Etats excités
(n > 1)
7
pmmrr 259010.59,249
9
17
===
−

- 5 -
D Vitesse des électrons
rm
e
v
e0
2
2
4 πε
=
nh
e
em
h
nm
e
rm
e
v
e
e
e
1
2
4
4
0
2
2
0
2
2
0
0
×===
ε
π
ε
πε
πε
nh
e
v
n
1
2
0
2
×=
ε
16
3412
219
0
2
1
.10.2,2
10.62,6(10.84,82
)10.6,1(
2
−
−−
−
=
××
== sm
h
e
v
ε
Remarque : cv <
1
donc l’électron n’est pas relativiste, on peut donc lui appliquer les lois de
la mécanique classique
Nombre quantique principal n Vitesse de l’électron (m/s)
Etat fondamental 1 16
1
.10.2,2
−
=smv
2 16
1
2
.10.1,1
2
−
== sm
v
v
3 15
1
3
.10.3,7
3
−
== sm
v
v
4 15
1
4
.10.5,5
4
−
== sm
v
v
5 15
1
5
.10.4,4
5
−
== sm
v
v
6 15
1
6
.10.6,3
6
−
== sm
v
v
Etats excités
(n > 1)
7 15
1
7
.10.1,3
7
−
== sm
v
v
E Energie de l’électron
2
2
2
0
4
2
0
2
2
0
2
0
2
1
8
8
8n
h
me
em
h
n
e
r
e
E
e
e
×−=−=−=
ε
π
ε
πε
πε
2
1
2
2
2
0
4
1
8n
E
n
h
me
E
e
n
=×−=
ε
eVJ
h
me
E
e
6,1310.2,2
)10.62,6()10.84,8(8
10.1,9)10.6,1(
8
18
234212
31419
2
2
0
4
1
−=−=
××
×
−=−=
−
−−
−−
ε
Nombre quantique principal n Energie (J et eV)
Etat fondamental 1
eVJE 6,1310.2,2
18
1
−=−=
−
2
eVJ
E
E40,310.4,5
4
19
1
2
−=−==
−
Etats excités
(n > 1)
3
eVJ
E
E51,110.4,2
9
19
1
3
−=−==
−