Complément Chap1

M. ABD-LEFDIL
Compléments de M.Q. -SM-SMI 3
2007-2008
Modèle de Bohr
L’hydrogène excité par des décharges électriques émet des raies
conformément à la formule de Ritz (1885).
(1)
1 1 
1
=R 2 - 2
λ
 n f n i 
H2
Rexp = 1.0967758 10-3 Å-1 :cte de Rydberg
nf = 1 ; ni ≥ 2
série de Lyman (UV)
nf = 2 ; ni ≥ 3
série de Balmer (Vi)
nf = 3 ; ni ≥ 4
série de Paschen (IR)
nf = 4 ; ni ≥ 5
série de Brackett (IRL)
→
v
ee+
r
Interprétation classique :
L’électron gravite sur une orbite circulaire autour du noyau)
→
La force centripète m γ n compense la force électrostatique
attractive et l’électron décrit une orbite circulaire à vitesse
constante (revoir le cours de mécanique du point SMI 1).
(2)
v2
e2
mγ n = m
=
r 4π ε 0 r 2
1
e2
2
Ec = m v =
2
8 π ε0 r
(3)
⇒
;
- e2
Ep =
4 π ε0 r
e2
E = Ec + Ep = 8 π ε0 r
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Remarques :
i) E < 0
est la condition pour la formation d’un système (e--
noyau) lié. C’est aussi la condition pur obtenir une trajectoire
fermée (revoir le cours sur les coniques, e=0 : orbite circulaire et
0<e<1 : orbite elliptique où e est l’excentricité de la conique)
ii) E est une fonction continue de r.
Conséquence : Comme l’électron est chargé et accéléré, l’électron
doit rayonner de façon continue des ondes électromagnétiques
(o.e.m.) dont la fréquence ν est égale à sa fréquence de révolution
autour du noyau. Dans ce cas, il va perdre de l’énergie et finira
par tomber sur le noyau impliquant donc une instabilité de la
matière. Ce qui est en contradiction avec la réalité.
On en déduit l’insuffisance du modèle classique pour expliquer
l’émission de l’hydrogène.
Hypothèses de Bohr:
1er postulat de Bohr : L’électron en mouvement autour du proton
dans l’atome d’hydrogène ne peut avoir comme trajectoires que
certaines orbites répondant à une relation de quantification du
moment cinétique.
2ème postulat de Bohr : Dans ces orbites, l’électron ne perd pas
d’énergie. Ces orbites sont stables.
Une radiation est émise seulement si un électron transite d’un état
d’énergie noté ni vers un état d’énergie nf avec ni supérieure à nf.
L’énergie de la radiation émise est ∆E=hυ, égale à la différence
d’énergie entre les deux états.
→
→
→
Le moment cinétique L = OM ∧ m v est quantifié.
L=mvr=nh:
en utilisant (2)
4πε h
n = 0,53 n (A)
r =
me
2
2
0
n
2
2
°
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°
a = 0.53 A : 1er rayon de Bohr
0
h=
h
= 1.05 10 -34 J.s
2π
en utilisant
(3)
-me 1
1
E =
= −13,6
(eV)
8h ε n
n
4
n
2
2
2
2
0
L’électron émet un rayonnement lorsqu’il passe d’une
orbite permise stable d’énergie Ei, à une orbite
Ei
hν
permise aussi d’énergie Ef plus faible.
L’énergie du photon émis est telle que :
hν = Ei – Ef ⇒
Ef
1 1 
1
=R 2 - 2
λ
 n f n i 
R
th
n =6
n=5
=
m e4
8h
3
c ε 02
≈ R exp
On a un bon accord entre
Brackett (IRL)
n=4
Paschen (IR)
la théorie et l’expérience.
n=3
E3 = −
n=2
E2 = −
n=1
E1 = −
Balmer (Vis)
Lyman (UV)
13.6
32
13.6
22
13.6
1
2
= - 1.5 ev
= - 3.40 ev
= - 13.6 ev
Remarque :
Pour un électron en orbite autour d’un noyau de charge +Ze :
0,53
r =
n A
Z
2
°
n
et
Z
E = - 13,6
eV
n
2
n
2