L2-M31 Analyse Université d`Évry TD 3 - Fonctions d`une

L2-M31 Analyse Universit´e d’´ Evry
TD 3 - Fonctions d’une variable r´eelle
Exercice 1. Soit fune fonction continue sur Rtelle que
∀x, y ∈R, f(x+y) = f(x) + f(y).
On pose a=f(1). Exprimer fsur N, puis sur Z, puis sur Qet enfin sur R.
Tout d’abord, nous avons :
f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) ⇒f(0) = 0
Ensuite, soit n∈N:
f(n) = f(
n
X
i=1
1) =
n
X
i=1
f(1) = na
f(0) = f(−n+n) = f(−n) + f(n) = f(−n) + na = 0
Ainsi, f(−n) = −na et ∀z∈Z, f(z) = za.
Soit (p, q)∈Z×N∗.
f(qp
q) = f(
q
X
i=1
p
q) =
q
X
i=1
f(p
q) = qf(p q)
=f(p) = pa
Ainsi f(p
q) = p qaet ∀x∈Q,f(x) = xa.
Soit x∈R.
Comme Qest dense dans R, il existe une suite (xn) de rationnels telle que xn−→
n→+∞x.
Nous avons alors, comme fest continue
lim
n−→+∞f(xn) = f(x)
= lim
n−→+∞xna=xa
puisque l’application x7→ xa est continue dans R.
Exercice 2. Soit la fonction r´eelle de la variable r´eelle d´efinie par
∀x∈R∗, f(x) = xsin 1
xet f(0) = 0.
Montrer que fest continue sur R.
fest continue sur R∗car x7→ xet x7→ sin(1
x) sont continues sur ce domaine (comme
compos´ee de fonctions continues).
Il faut maintenant v´erifier que fse prolonge par continuit´e en 0 avec la valeur 0.

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Pour tout x > 0, on a −1≤sin(1
x)≤1 et −x≤xsin(1 x)≤x. On a donc 0 =
lim
x−→0+−x≤lim x−→0+f(x)≤lim x−→0+x= 0.
De mˆeme, pour tout x < 0, on a −1≤sin(1
x)≤1 et −x≥xsin(1 x)≥x. Ainsi,
0 = lim
x−→0−−x≥lim x−→0−
f(x)≥lim
x−→0−
x= 0.
La fonction fse prolonge donc par continuit´e en 0, avec f(0) = 0. La fonction initiale
est donc continue sur R.
Exercice 3. Soit −∞ <a<b<+∞,fet gdeux fonctions continues de [a, b] dans R.
On suppose de plus
∀x∈[a, b], f(x)< g(x).
a) Montrer qu’il existe δ > 0 tel que
∀x∈[a, b], f(x) + δ < g(x).
La fonction g−fest continue sur l’intervalle ferm´e born´e [a, b]. Elle atteint donc
ses bornes. On pose γ= min
x∈[a,b]g−f. Comme ∀x∈[a, b], f(x)< g(x), on a γ > 0 et
∀x∈[a, b]γ
2< γ ≤g(x)−f(x)
En notant δ=γ
2, on a donc bien f(x) + δ < g(x), ∀x∈[a, b].
b) Le r´esultat est il encore vrai si on remplace [a, b] par [a, b[ ou [a, +∞[?
Le r´esultat n’est plus vrai : montrons des contre-exemples: On prend a=−1, b= 0,
f(x) = 0 et g(x) = −x. Pour tout x∈[−1,0[, f(x)< g(x), mais pour δ > 0, f(x) + δ≥
g(x)∀x∈[−δ, 0]. Comme ∀δ > 0, [−δ, 0[∩[−1,0[6=∅, nous avons un contre-exemple.
On prend a= 1, b= +∞,f(x) = 0 et g(x) = 1
x. On a pour tout x∈[1,+∞[,
f(x)< g(x), mais pour tout δ > 0, f(x) + δ≥g(x) sur [1
δ,+∞[. Comme ∀δ > 0,
[1
δ,+∞[∩[1,+∞[6=∅, nous avons un contre exemple.
Exercice 4. Soit fune fonction `a valeurs r´eelles continue sur l’intervalle [a, b], avec
−∞ <a<b<+∞. Montrer qu’il existe c∈[a, b] tel que
4f(a) + f(b)=5f(c).
On pose, pour tout x∈[a, b], g(x)=4f(a) + f(b)−5f(x). La fonction gest continue
sur [a, b].
On a ´egalement g(a) = f(b)−f(a) et g(b) = 4(f(a)−f(b)). On remarque que
g(a)g(b)≤0, ce qui revient `a dire que g(a)≥0≥g(b) ou g(a)≤0≤g(b). Ainsi,
d’apr`es le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire, il existe c∈[a, b] tel que g(c) = 0. C’est
`a dire, qu’il existe c∈[a, b] tel que 4f(a) + f(b) = 5f(c).
Exercice 5. Soit fune fonction continue de [0,1] dans [0,1]. Montrer que fadmet au
moins un point fixe.
On pose, pour tout x∈[0,1], g(x) = f(x)−x. La fonction gest continue sur [0,1].
On remarque que g(0) ≥0≥g(1). Ainsi, d’apr`es le th´eor`eme de la valeur in-
term´ediaire, il existe c∈[0,1] tel que g(c) = 0. C’est `a dire, qu’il existe c∈[0,1]
tel que f(x) = x.

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Exercice 6. Un v´ehicule se rend en une heure d’une ville A `a une ville B distante de
A de xkilom`etres. Montrer qu’il existe deux points du trajet distants de x
2kilom`etres
tels que le temps de parcours entre ces 2 point est exactement 1/2 heure. Indication:
introduire la fonction d: [0,1] →R+telle que d(t)repr´esente la distance parcourue `a
l’instant t.
On introduit la gfonction d´efinie de [0,1/2] dans [0, x] telle que g(t) = d(t+1
2)−d(t)−x 2.
La fonction grepr´esente diff´erence entre la distance parcourue pendant une demi-heure
`a partir du temps tet x/2. Cette fonction est continue (on suppose que le v´ehicule ne
peut pas se d´eplacer instantan´ement entre deux points distants).
On remarque ensuite que g(0)g(1
2)≤0. Ceci provient de la remarque que si le v´ehicule
a parcouru une distance sup´erieure `a x/2 pendant la premi`ere demi-heure, il a parcouru
une distance inf´erieure `a x/2 pendant la deuxi`eme demi-heure; et inversement.
Nous avons ainsi g(0) ≥0≥g(1/2) ou g(0) ≤0≤g(1/2). D’apr`es le th´eor`eme des
valeurs interm´ediaires, il existe c∈[0,1
2] tel que g(c) = 0. C’est `a dire qu’il existe un
temps c`a partir duquel le v´ehicule aura parcouru x/2 kilom`etres en 1/2 heure.
Exercice 7. Dire si les fonctions suivantes sont uniform´ement continues:
a) f(x) = 1/x sur [1,+∞[ ,
On a |f0(x)|=| − 1
x2| ≤ 1 pour tout x∈[1,+∞[. La fonction d´eriv´ee est born´ee sur
l’intervalle de d´efinition, donc la fonction est uniform´ement continue sur cet intervalle.
(Pour rappel : soit (x, x0)∈[1,+∞[. D’apr`es le th´eor`eme des accroissements fi-
nis, il existe c∈[x, x0] tel que f(x0)−f(x) = f0(c)(x0−x). Ainsi |f(x0)−f(x)|=
|f0(c)||(x0−x)|≤|x0−x|, ce qui montre que fest uniform´ement continue.)
b) f(x)=1/x sur ]0,1],
Elle n’est pas uniform´ement continue sur cet intervalle. Pour le prouver, il suffit de
trouver ε > 0, (xn) et (yn) tels que xn−yn−→
n→+∞0 et |f(xn)−f(yn)|> ε,∀n≥0.
On peut prendre ε= 1, δ > ε,xn=1
n,yn=1 n+δ.
On a alors xn−yn=δ
n(n+δ)−→
n→+∞0 et |f(xn)−f(yn)|=|δ|> ε.
c) f(x) = sin(x) sur R,
On a |f0(x)|=|cos(x)| ≤ 1 pour tout x∈R. La fonction d´eriv´ee est born´ee sur
l’intervalle de d´efinition, donc la fonction est uniform´ement continue sur cet intervalle.
d) f(x) = sin(x2) sur R.
On peut prendre xn=√2πn et yn=√2πn +√2π
8√n.
On a alors xn−yn=−√2π
8√n−→
n→+∞0. De plus, sin(x2
n) = sin(2πn) = 0 et sin(y2 n) =
sin(2πn +π
2+2π 64n−→
n→+∞1. Ainsi, `a partir d’un certain rang, |f(xn)−f(yn)|>1
2. Ceci
montre que la fonction fn’est pas uniform´ement continue.
Exercice 8. Soit fune fonction continue sur [0,+∞[. On suppose que fconverge vers
une limite finie quand xtend vers +∞.

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a) Montrer que fest born´ee.
Soit ε > 0. Comme lim
x−→+∞f(x) = l∈R, il existe Xε>0 tel que pour tout x≥Xε,
on a l−ε≤f(x)≤l+ε.
De plus, comme fest continue sur l’intervalle ferm´e born´e [0, Xε], fest born´ee et
atteint ses bornes sur cet intervalle. Notons fmin et fmax deux r´eels tels que fmin ≤
f(x)≤fmax,∀x∈[0, Xε]. On a alors
min(l−ε, fmin)≤f(x)≤max(l+ε, fmax),∀x∈[0,+∞[.
fest donc born´ee.
b) Montrer que fest uniform´ement continue sur [0,+∞[.
Soit ε > 0. On veut montrer qu’il existe ηε>0 tel que ∀(x, x0)∈[0,+∞[2,|x−x0|<
ηε⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.
Comme lim
x−→+∞f(x) = l, il existe Xε/3>0 tel que pour tout x≥Xε, on a |l−f(x)|<
ε/3.
Comme fest continue en Xε/3, il existe ηXε/3tel que pour tout x∈]Xε/3−ηXε/3, Xε/3+
ηXε/3[, on a |f(x)−f(Xε/3)|< ε/3.
En particulier, ∀(x, x0)∈]Xε/3−ηXε/3, Xε/3+ηXε/3[2, on a
|f(x)−f(x0)≤ |f(x)−f(Xε/3)|+|f(Xε/3)−f(x0)|<2ε/3< ε
.
Ensuite, comme fest continue sur l’intervalle ferm´e born´e [0, Xε/3], fest uniform´ement
continue sur cet intervalle. C’est `a dire qu’il existe η > 0 tel que ∀(x, x0)∈[0, Xε/3[2,
|x−x0|< η ⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.
En prenant ηε= min(η, ηXε/3), on a
∀(x, x0)∈[0, Xε/3+ηXε/3[2,|x−x0|< ηε⇒ |f(x)−f(x0)|< ε
Pour terminer la d´emonstration, il suffit de remarquer que si (x, x0)∈[Xε/3,+∞[, on
a
|f(x)−f(x0)|≤|f(x)−l|+|l−f(x0)| ≤ 2ε/3< ε.
Ainsi,
∀(x, x0)∈[0,+∞[2,|x−x0|< ηε⇒ |f(x)−f(x0)|< ε
La fonction fest donc uniform´ement born´ee sur [0,+∞[.