Espaces vectoriels de dimension finie (poly).

Math´ ematiques - ECS1
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Espaces vectoriels de
dimension finie.
Lyc´ ee LaBruy` ere
30 avenue de Paris
78000 Versailles
c
2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

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20.1 Objectifs du chapitre
Somme de deux sous-espaces vectoriels.
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Somme et somme directe de ksous-espaces vecto-
riels.
Tout vecteur de la somme se décompose de ma-
nière unique.
Concaténation de bases de sous espaces vectoriels. Caractérisation de sommes directes par concaté-
nation des bases.
Base adaptée à une somme directe
Théorème de l’échange.
Espaces vectoriels admettant une famille génératrice
finie.
Existence de bases.
Si Lest libre et si Gest génératrice, le cardinal de
Lest inférieur ou égal au cardinal de G.
Dimension d’un espace vectoriel. Notation dim(E).
Caractérisation des bases. Dans un espace vectoriel de dimension n, une fa-
mille libre ou génératrice de cardinal nest une
base.
Théorème de la base incomplète.
Dimension d’un sous-espace vectoriel. Si Fest un sous-espace vectoriel de Eet si
dim(F)=dim(E), alors F=E.
Dimension d’une somme de deux sous espaces vecto-
riels d’un espace vectoriel de dimension finie.
Dimension d’un supplémentaire. Si Fet Gsont supplémentaires,
dim(F)+dim(G)=dim(E).
Caractérisation de E=F⊕Gpar la dimension et
l’intersection de Fet G.
Existence d’un supplémentaire en dimension finie.
Dimension d’une somme directe de kespaces vecto-
riels.
Rang d’une famille finie de vecteurs.
Rang d’une application linéaire. Si (e1,...,en) est une famille génératrice de E
alors la famille ( f(e1),..., f(en)) engendre Im( f).
Lien entre recherche de l’image et résolution de
système.
Formule du rang. Si Eet Fsont des espaces vectoriels, Eétant de
dimension finie, et une application linéaire ude E
dans F,
dim E=dim(Ker u)+dim(Im u).
Application à la caractérisation des isomor-
phismes.
Formes linéaires et hyperplans.

20.2 Compléments sur les espaces vectoriels 3
20.2 Compléments sur les espaces vectoriels
Dans ce chapitre, par K, on désigne l’ensemble Rou C.
20.2.1 Somme de sous-espaces vectoriels
Définition 1. Soit E1,E2,...,Ekdes sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel
E.
On appelle somme des sous-espaces vectoriels Ei, noté E1+. . . +Ekou
k
X
i=1
Ei, l’en-
semble des vecteurs de Epouvant s’écrire comme somme de vecteurs des sous-espaces
vectoriels Ei:
x∈
k
X
i=1
Ei⇐⇒ (il exite (x1,x2,...,xk)∈E1×E2× · · · × Ekt.q.
x=x1+x2+· · · +xn
La somme
k
X
i=1
Eiest dite directe si tout vecteur de cette somme se décompose de ma-
nière unique comme somme de vecteurs des sous-espaces vectoriels Ei. La somme di-
recte est alors notée E1⊕E2⊕ · · · ⊕ Ekou Lk
i=1Ei.
Exemple 1. Dans R3n[X] où n≥2, on pose
E1=Vect (1,X,...,Xn−1),E2=Vect (Xn,Xn+1,...,X2n−1),E3=Vect (X2n,X2n+1,...,X3n)
On a alors
R3n[X]=E1⊕E2⊕E3.
Proposition 1. Soit E1,E2,...,Ekdes sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel
E.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) la somme E1+E2+· · · +Ekest directe
(2) la seule décomposition du vecteur nul 0Erelativement à
k
X
i=1
Eiest la décomposition
triviale
(3) pour tout j ∈~2,k, E j∩
X
i<j
Ei ={0E}
Exemple 2. Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel Etel que f3=f.
Montrer que Ker f,Ker ( f−IE) et Ker ( f+IE) sont en somme directe.
Attention, pour un nombre supérieur ou égal à 3, le caractère direct deux à deux des
Fine suffit pas pour établir que leur somme est directe !

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Proposition 2. Soit E1,E2,...,Ekdes sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel
E de bases respectives B1,B2,...,Bk.
La somme E1+E2+· · · +Ekest directe si et seulement si la famille B1∪B2∪. . . ∪Bk
est une base de
k
X
i=1
Ei.
Définition 2. Soit E1,E2,...,Ekdes sous-espaces vectoriels en somme directe d’un
K-espace vectoriel Ede bases respectives B1,B2,...,Bk.
La famille B1∪B2∪. . . ∪Bkobtenue en concaténant les bases Biest une base de E,
dite adaptée à la somme directe Lk
i=1.
Exercice 1. Soit E=C[X]. On pose
E0={P∈E|P(jX)=P(X)},
E1={P∈E|P(jX)=jP(X)},
E2={P∈E|P(jX)=j2P(X)}
Montrer que C[X]=E0⊕E1⊕E2.
20.2.2 Familles libres et familles génératrices.
Proposition 3. Soit E un K-espace vectoriel, deux entiers n,p non nuls et (e1,...,en+p)
une famille de n +p vecteurs de E. On note F=(e1,...,en+p)et F0=(e1,...,en).
Alors
Flibre =⇒F0libre
F0génératrice =⇒Fgénératrice
Reformulation : toute sous-famille d’une famille libre est libre et toute surfamille d’une
famille génératrice est génératrice.
Proposition 4. Soit E un K-espace vectoriel, un entier n non nul et (e1,...,en+1)une
famille de n +1vecteurs de E.
(1) Si la famille (e1,...,en)est libre et si en+1<Vect(e1,...,en)alors la famille
(e1,...,en+1)est libre.
(2) Si la famille (e1,...,en+1)est génératrice et si en+1∈Vect(e1,...,en)alors la fa-
mille (e1,...,en)est génératrice.
Théorème de l’échange . Soit E un K-espace vectoriel, deux entiers r,p non nuls.
Soit G=(x1,...,xp)une famille génératrice et L=(y1,...,yr)une famille libre.

20.3 Espaces vectoriels de dimension finie. 5
Alors r ≤p et on peut remplacer r vecteurs de Gpar les vecteurs de Lpour obtenir
une famille génératrice.
20.3 Espaces vectoriels de dimension finie.
Définition 3. Un K-espace vectoriel Eest dit de dimension finie s’il admet une famille
génératrice finie.
Un K-espace vectoriel Eest dit de dimension infinie s’il n’est pas de dimension finie.
20.3.1 Existence de bases en dimension finie. Dimension d’un espace vectoriel de di-
mension finie.
Théorème de la dimension . Soit E un K-espace vectoriel non nul de dimension finie.
Alors il existe une base finie de E et toutes les bases de E ont même cardinal.
Ce cardinal commun s’appelle la dimension de l’espace vectoriel E et on la note dim E.
Preuve. Soit Eun K-espace vectoriel non nul de dimension finie. Par définition, il admet
une famille génératrice finie G0(contenant au moins un vecteur non nul). Si la famille G0
est libre alors c’est une base et la preuve est finie. Sinon, on considère l’ensemble suivant :
F={G|Gest une sous-famille génératrice de G0}
Cet ensemble est non vide puisque G0∈Fet pour toute famille G∈F,
1≤card G≤card G0.
On considère alors l’ensemble
N={card G|G∈F}
L’ensemble Nest une partie non vide (elle contient l’entier p=card G0) de N. Elle admet
donc un plus petit élément r.
Soit alors Gmin une famille de Fde cardinal r. C’est une famille génératrice de E. Si elle
n’était pas libre, on pourrait retirer un vecteur à cette famille et conserver une famille géné-
ratrice qui alors serait de cardinal r−1 mais cela contredirait la minimalité de r.
La famille Gmin est donc libre et génératrice, c’est donc une base de E.
Notons alors Bet B0deux bases de E. Comme Best libre et B0est génératrice,
card B≤card B0
d’après le théorème de l’échange. De même, en échangeant les rôles de Bet B0on obtient
card B0≤card B.
Donc
card B=card B0
Remarque 1. Pour l’espace vectoriel nul {OE}, on conviendra que dim{OE}=0.