Espaces vectoriels de dimension finie (poly).

Mathématiques - ECS1
20
Espaces vectoriels de
dimension finie.
Lycée La Bruyère
30 avenue de Paris
78000 Versailles
c 2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.
2
20.1
Objectifs du chapitre
Somme de deux sous-espaces vectoriels.
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Somme et somme directe de k sous-espaces vectoriels.
Concaténation de bases de sous espaces vectoriels.
Théorème de l’échange.
Espaces vectoriels admettant une famille génératrice
finie.
Existence de bases.
Tout vecteur de la somme se décompose de manière unique.
Caractérisation de sommes directes par concaténation des bases.
Base adaptée à une somme directe
Si L est libre et si G est génératrice, le cardinal de
L est inférieur ou égal au cardinal de G.
Dimension d’un espace vectoriel.
Notation dim(E).
Caractérisation des bases.
Dans un espace vectoriel de dimension n, une famille libre ou génératrice de cardinal n est une
base.
Théorème de la base incomplète.
Dimension d’un sous-espace vectoriel.
Dimension d’une somme de deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie.
Dimension d’un supplémentaire.
Si F est un sous-espace vectoriel de E et si
dim(F) = dim(E), alors F = E.
Si F et G sont supplémentaires,
dim(F) + dim(G) = dim(E).
Caractérisation de E = F ⊕ G par la dimension et
l’intersection de F et G.
Existence d’un supplémentaire en dimension finie.
Dimension d’une somme directe de k espaces vectoriels.
Rang d’une famille finie de vecteurs.
Rang d’une application linéaire.
Formule du rang.
Formes linéaires et hyperplans.
Si (e1 , . . . , en ) est une famille génératrice de E
alors la famille ( f (e1 ), . . . , f (en )) engendre Im( f ).
Lien entre recherche de l’image et résolution de
système.
Si E et F sont des espaces vectoriels, E étant de
dimension finie, et une application linéaire u de E
dans F,
dim E = dim(Ker u) + dim(Im u).
Application à la caractérisation des isomorphismes.
20.2
20.2
Compléments sur les espaces vectoriels
3
Compléments sur les espaces vectoriels
Dans ce chapitre, par K, on désigne l’ensemble R ou C.
20.2.1
Somme de sous-espaces vectoriels
Définition 1. Soit E1 , E2 , . . . , Ek des sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel
E.
k
X
Ei , l’enOn appelle somme des sous-espaces vectoriels Ei , noté E1 + . . . + Ek ou
i=1
semble des vecteurs de E pouvant s’écrire comme somme de vecteurs des sous-espaces
vectoriels Ei :
x∈
k
X
(
Ei ⇐⇒
i=1
La somme
k
X
il exite (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ E1 × E2 × · · · × Ek t.q.
x = x1 + x2 + · · · + xn
Ei est dite directe si tout vecteur de cette somme se décompose de ma-
i=1
nière unique comme somme de vecteurs des
vectoriels Ei . La somme diLsous-espaces
k
recte est alors notée E1 ⊕ E2 ⊕ · · · ⊕ Ek ou
E
.
i
i=1
Exemple 1. Dans R3n [X] où n ≥ 2, on pose
E1 = Vect (1, X, . . . , X n−1 ), E2 = Vect (X n , X n+1 , . . . , X 2n−1 ), E3 = Vect (X 2n , X 2n+1 , . . . , X 3n )
On a alors
R3n [X] = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 .
Proposition 1. Soit E1 , E2 , . . . , Ek des sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel
E.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) la somme E1 + E2 + · · · + Ek est directe
(2) la seule décomposition du vecteur nul 0E relativement à
Ei est la décomposition
i=1
triviale
(3) pour tout j ∈ ~2, k,
k
X


X 
E j ∩ 
Ei  = {0E }
i< j
Exemple 2. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E tel que f 3 = f .
Montrer que Ker f, Ker ( f − IE ) et Ker ( f + IE ) sont en somme directe.
 Attention, pour un nombre supérieur ou égal à 3, le caractère direct deux à deux des
Fi ne suffit pas pour établir que leur somme est directe !
4
Proposition 2. Soit E1 , E2 , . . . , Ek des sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel
E de bases respectives B1 , B2 , . . . , Bk .
La somme E1 + E2 + · · · + Ek est directe si et seulement si la famille B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bk
k
X
Ei .
est une base de
i=1
Définition 2. Soit E1 , E2 , . . . , Ek des sous-espaces vectoriels en somme directe d’un
K-espace vectoriel E de bases respectives B1 , B2 , . . . , Bk .
La famille B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bk L
obtenue en concaténant les bases Bi est une base de E,
k
dite adaptée à la somme directe
i=1 .
Exercice 1. Soit E = C[X]. On pose
E0 = {P ∈ E| P( jX) = P(X)},
E1 = {P ∈ E| P( jX) = jP(X)},
E2 = {P ∈ E| P( jX) = j2 P(X)}
Montrer que C[X] = E0 ⊕ E1 ⊕ E2 .
20.2.2
Familles libres et familles génératrices.
Proposition 3. Soit E un K-espace vectoriel, deux entiers n, p non nuls et (e1 , . . . , en+p )
une famille de n + p vecteurs de E. On note F = (e1 , . . . , en+p ) et F 0 = (e1 , . . . , en ).
Alors
F libre =⇒ F 0 libre
F génératrice =⇒ F génératrice
0
Reformulation : toute sous-famille d’une famille libre est libre et toute surfamille d’une
famille génératrice est génératrice.
Proposition 4. Soit E un K-espace vectoriel, un entier n non nul et (e1 , . . . , en+1 ) une
famille de n + 1 vecteurs de E.
(1) Si la famille (e1 , . . . , en ) est libre et si en+1 < Vect(e1 , . . . , en ) alors la famille
(e1 , . . . , en+1 ) est libre.
(2) Si la famille (e1 , . . . , en+1 ) est génératrice et si en+1 ∈ Vect(e1 , . . . , en ) alors la famille (e1 , . . . , en ) est génératrice.
Théorème de l’échange . Soit E un K-espace vectoriel, deux entiers r, p non nuls.
Soit G = (x1 , . . . , x p ) une famille génératrice et L = (y1 , . . . , yr ) une famille libre.
20.3
Espaces vectoriels de dimension finie.
5
Alors r ≤ p et on peut remplacer r vecteurs de G par les vecteurs de L pour obtenir
une famille génératrice.
20.3
Espaces vectoriels de dimension finie.
Définition 3. Un K-espace vectoriel E est dit de dimension finie s’il admet une famille
génératrice finie.
Un K-espace vectoriel E est dit de dimension infinie s’il n’est pas de dimension finie.
20.3.1
Existence de bases en dimension finie. Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie.
Théorème de la dimension . Soit E un K-espace vectoriel non nul de dimension finie.
Alors il existe une base finie de E et toutes les bases de E ont même cardinal.
Ce cardinal commun s’appelle la dimension de l’espace vectoriel E et on la note dim E.
Preuve. Soit E un K-espace vectoriel non nul de dimension finie. Par définition, il admet
une famille génératrice finie G0 (contenant au moins un vecteur non nul). Si la famille G0
est libre alors c’est une base et la preuve est finie. Sinon, on considère l’ensemble suivant :
F = {G |G est une sous-famille génératrice de G0 }
Cet ensemble est non vide puisque G0 ∈ F et pour toute famille G ∈ F ,
1 ≤ card G ≤ card G0 .
On considère alors l’ensemble
N = { card G |G ∈ F }
L’ensemble N est une partie non vide (elle contient l’entier p = card G0 ) de N. Elle admet
donc un plus petit élément r.
Soit alors Gmin une famille de F de cardinal r. C’est une famille génératrice de E. Si elle
n’était pas libre, on pourrait retirer un vecteur à cette famille et conserver une famille génératrice qui alors serait de cardinal r − 1 mais cela contredirait la minimalité de r.
La famille Gmin est donc libre et génératrice, c’est donc une base de E.
Notons alors B et B 0 deux bases de E. Comme B est libre et B 0 est génératrice,
card B ≤ card B 0
d’après le théorème de l’échange. De même, en échangeant les rôles de B et B 0 on obtient
card B 0 ≤ card B.
Donc
card B = card B 0
Remarque 1. Pour l’espace vectoriel nul {OE }, on conviendra que dim{OE } = 0.
6
Exemple 3. Soit n ∈ N∗ . L’espace vectoriel Rn (resp. Cn ) est un R-espace (resp. C-espace)
vectoriel de dimension finie. Il est engendré par les vecteurs (e1 , e2 , . . . , en ) où
 
 
 
 0 
1
 0 
 
 · 
 0 
 0 
 
e1 =   , e j =  1  , j ∈ ~1, n, en =   .
 · 
 · 
 · 
 
1
0
0
Ces vecteurs en constituent une base dite canonique.
Exemple 4. Soit n ∈ N∗ . Le K-espace vectoriel Kn [X] est un K-espace vectoriel de dimension finie. Il est engendré par les polynômes 1, X, . . . , X n qui en constituent une base dite
canonique.
Exemple 5. Soit (n, p) ∈ N∗ × N∗ . Le K-espace vectoriel Mn,p (K) est de dimension finie.
Il est engendré par les matrices élémentaires (Ei j ) 1≤i≤n qui en constituent une base dite
1≤ j≤p
canonique.
Exemple 6. Le K-espace vectoriel K[X] est un espace vectoriel de dimension infinie.
Sinon, il admettrait une famille génératrice finie P1 , . . . , Pn . En notant alors p = max {deg P j },
j∈~1,n
il viendrait
K[X] = Vect(P1 , . . . , Pn ) ⊂ K p [X]
ce qui est absurde puisque X p+1 < K p [X].
Exemple 7. Le R-espace vectoriel C (R) des fonctions continues sur R est de dimension
infinie. En effet, il contient l’espace vectoriel R[x] des fonctions polynômiales qui est de
dimension infinie puisqu’isomorphe à R[X].
Exemple 8. Le R-espace vectoriel RN des suites réelles est de dimension infinie puisqu’il
contient l’espace vectoriel des suites à support fini qui n’est autre que R[X].
Exercice 2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et E = {P ∈ Rn [X]|P(0) = P(1) = 0}.
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Rn [X] et donner sa dimension.
Théoème de la base incomplète . Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈
N∗ , un entier naturel k < n et (e1 , . . . , ek ) une famille libre de E.
Alors il existe n − k vecteurs ek+1 , . . . , en tels que la famille (e1 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en ) est
une base.
Proposition 5. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ .
(1) Toute famille libre de E est finie et a au plus n éléments.
(2) Toute famille d’au moins n + 1 vecteurs est liée.
(3) Toute famille génératrice a au moins n éléments.
Exercice 3. Soit f ∈ L (E) où E est de dimension finie n ≥ 1. On suppose que f , 0 et
f est nilpotent, c-à-d qu’il existe k ∈ N tel que f k = 0.
20.3
Espaces vectoriels de dimension finie.
7
(a) Montrer que f n’est pas bijective.
(b) Soit p le plus petit entier tel que f p = 0. Montrer qu’il existe x0 ∈ E tel que
(x0 , f (x0 ), . . . , f p−1 (x0 )) est libre.
(c) En déduire que p ≤ n.
Proposition 6. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et F une famille
de vecteurs de E.
Deux quelconques des propriétés suivantes impliquent la troisième :
(1) F possède n éléments
(2) F est libre
(3) F est génératrice
Reformulation : dans un espace vectoriel de dimension finine n, toute famille libre de n
vecteurs est une base et toute famille génératrice de n vecteurs est une base.
Remarque 2. Terminologie.
(1) Une famille libre de n vecteurs d’un espace vectoriel E de dimension finie n est appelée famille libre maximale de E.
(2) Une famille génératrice de n vecteurs d’un espace vectoriel E de dimension finie n est
appelée famille génératrice minimale de E.
Exemple 9. Pour tout k ∈ ~0, n, on pose Pk = X k (1 − X)n−k .
Montrer que la famille (P j )0≤ j≤n est une base de Rn [X]. On montrera que pour tout j ∈
~0, n, X j est combinaison linéaire de P j , P j+1 , . . . , Pn en commençant par écrire X j =
X j × 1n− j .
Exemple 10. Soit f ∈ L (R3 ) tel que f 3 = 0 et f 2 , 0.
Montrer qu’il existe un vecteur ~a ∈ R3 tel que (~a, f (~a), f 2 (~a)) est une base de R3 .
20.3.2
Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie.
Proposition 7. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace
vectoriel de E. Alors
(1) F est un espace vectoriel de dimension finie et dim F ≤ dim E.
(2) De plus, si dim F = dim E alors F = E.
Le corollaire suivant est très utile : pour montrer l’égalité de deux sous-espaces vectoriels de dimension finie, il suffit de montrer une inclusion et l’égalité des dimensions.
Corollaire 8. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sousespaces vectoriels de E. Alors
(
F ⊂ G et
F = G si et seulement si
dim F = dim G
8
Proposition 9. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et F un sousespace vectoriel de E de dimension p.
Il existe un sous-espace vectoiel S de E supplémentaire de F dans E et tout supplémentaire de F dans E est de dimension n − p.
Reformulation : tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet
un supplémentaire dans E.
Proposition 10. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sousespaces vectoriels de E. Alors
dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G.
Proposition 11. Soient E1 , E2 , . . . , Ek des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel
de dimension finie.
Si E1 , E2 , . . . , Ek sont en somme directe alors
dim
k
M
i=1
Ei =
k
X
dim Ei .
i=1
Définition 4. Soit E un K-espace vectoriel non nul.
(a) On appelle droite vectorielle de E tout sous-espace vectoriel D de E de dimension
finie égale à 1.
Il existe alors a ∈ E − {OE } tel que D = Ka.
(b) On appelle plan vectoriel de E tout sous-espace vectoriel P de E de dimension finie
égale à 2.
Il existe alors deux vecteurs a et b non colinéaires de E − {OE } tel que P =
Vect(a, b).
(c) On appelle hyperplan de E tout sous-espace vectoriel H de E admettant un supplémentaire de dimension finie égale à 1.
Lorsque E est de dimension finie n ∈ N∗ ,
H est un hyperplan de E si et seulement si dim H = n − 1.
Exercice 4. Soit E un K-espace vectoriel non supposé de dimension finie.
Soit H un hyperplan de E et F un sous-espace vectoriel de E tel que H ⊂ F et H , F.
Montrer que F = E.
Exemple 11. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E. On suppose que Ker f +
Im f est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E.
Montrer que E est un espace vectoriel de dimension finie.
20.4
20.4
Applications linéaires en dimension finie. Rang.
Applications linéaires en dimension finie. Rang.
Définition 5. Soit E un K-espace vectoriel et (e1 , . . . , en ) une famille de vecteurs de E.
On appelle rang de la famille (e1 , . . . , en ), et on note rg(e1 , . . . , en ), la dimension de
Vect(e1 , . . . , en ).
 
 1 
 
Exemple 12. Dans R3 , déterminer le rang des vecteurs  1  ,
 
1
 
 0 
 1  ,
 
1
 
 0 
 0 
 
1
Exemple 13. Déterminer le rang de la famille de polynômes (P1 , P2 , P3 , P4 ) où
P1 = X, P2 = X + 1, P3 = X 2 + X, P4 = −X 2 + X + 1
Proposition 12. Soit E un K-espace vectoriel, (e1 , . . . , en ) une famille de vecteurs de E
et des scalaires λ1 , . . . , λn et α , 0. Alors


n−1
X


λ j e j  et
(1) rg(e1 , . . . , en ) = rg e1 , . . . , en +
j=1
(2) rg(e1 , . . . , en ) = rg(e1 , . . . , αen ).
Exercice 5. Soit V le sous-espace vectoriel de R4 engendré par les vecteurs
u1 = (1, −2, 5, −3),
u2 = (2, 3, 1, −4) et u3 = (3, 8, 3, 5).
Trouver une base B de V et la compléter cette base en une base de R4 .
Définition 6. Soient E, F deux K-espaces vectoriels avec E de dimension finie et u ∈
L (E, F).
On appelle rang de l’application linéaire u et on note rg u la dimension de Imu.


 x 

 −y + x 
x
.
= 
Exemple 14. Soit f : R2 → R4 définie par f
y
 y 
x
!
Montrer que f est une application linéaire et déterminer rg f .
Exemple 15. Soit f : Rn [X] → Rn [X] définie par f (P) = XP0 − P.
Montrer que f est un endomorphisme de Rn [X] et déterminer rg f .
Exercice 6. Soit u ∈ L (E) tel que rg u = 1. Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que u2 = λu.
9
10
Théorème du rang . Soient E, F deux K-espaces vectoriels avec E de dimension finie
et u ∈ L (E, F).
Alors Im u est un espace vectoriel de dimension finie et
dim Ker f + dim Im f = dim E.
Exercice 7. Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de
E dans lui-même.
Montrer que Ker ( f ) = Im ( f ) ⇐⇒ f 2 = 0 et n = 2 rg( f ).
Exercice 8. Soient E, F deux K-ev de dimension finie et f ∈ L (E, F), g ∈ L (F, E). On
suppose que f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g.
(1) Montrer que rg( f ) = rg(g).
(2) Montrer que E = Img ⊕ Ker f
Proposition 13. Soient E, F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et u ∈
L (E, F). Alors
(1) u est injective si et seulement si rg u = dim E
(2) u est surjective si et seulement si rg u = dim F
Caractérisation des isomorphismes en dimension finie.
Théorème : caractérisation des isomorphismes en dimension finie . Soient E, F deux
K-espaces vectoriels de dimension finie tels que dim E = dim F et u ∈ L (E, F).
Alors les énoncés suivants sont équivalents :
(1) u est injective
(2) u est surjective
(3) u est un isomorphisme de E sur F
Reformulation :
— Toute application linéaire injective entre deux espaces vectoriels ayant la même
dimension (finie) est bijective.
— Toute application linéaire surjective entre deux espaces vectoriels ayant la même
dimension (finie) est bijective.
Exemple 16. Soit f : Rn [X] → Rn+1 l’application définie par
f (P) = (P(x0 ), P0 (x0 ), P00 (x0 ), . . . , P(n) (x0 )).
Montrer que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
20.5
Exercices.
11
Corollaire 14 (caractérisation des automorphismes en dimension finie). Soient E
un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L (E).
Alors les énoncés suivants sont équivalents :
(1) u est injective
(2) u est surjective
(3) u est un automorphisme de E
Exemple 17. Soit E un K-ev de dimension finie n ≥ 1 et f ∈ L (E).
On suppose qu’il existe x0 ∈ E, x0 , OE tel que la famille ( f (x0 ), f 2 (x0 ), . . . , f n (x0 )) est
une base de E.
Montrer que f est un automorphisme de E.
20.4.1
Formes linéaires et hyperplan
Définition 7. Soit E un K-espace vectoriel.
On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K.
Proposition 15. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.
Le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E est un hyperplan de E.
Proposition 16. Réciproquement tout hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire
non nulle.
20.5
Exercices.
Exercice 9. Pouvez vous donner deux bases de R4 ayant en commun les deux vecteurs
u1 = (1, 0, 1, 1) et u2 = (1, 1, 0, 1) ?
Exercice 10. Sous quelles conditions les vecteurs (0, 1, x), (x, 1, −1) et (x, 1, 1 + x)
forment-ils une base de C3 ?
Exercice 11. Soit n ∈ N tel que n ≥ 3 et (e1 , . . . , en ) une base de Rn . On pose en+1 = e1 .
Pour 1 ≤ i ≤ n, on pose ui = ei + ei+1 .
Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs u1 , . . . , un ?
12
Exercice 12. Soit V le sous-espace vectoriel de R3 :
V = {(a, a, 0)
| a ∈ R}
(a) Soient
W1 = {(x, y, z) |
x = 2y − z} et W2 = {(x, y, z) |
x = 2y + z}
Montrer que W1 et W2 sont deux supplémentaires de V dans R3 .
(b) Soit W l’un des supplémentaires de V ci-dessus. Exprimer le projecteur p de R3 tel
que
ker p = W et Im p = V.
Exercice 13. Soit V1 et V2 les sous-espaces vectoriels de R4 donnés par
V1 = {(x, y, z, t) | z = y et t = x} et V2 = {(x, y, z, t) | z = −y et t = −x}.
(a) Montrer que V1 ⊕ V2 = R4 .
(b) Trouver une base B1 de V1 et une base B2 de V2 .
(c) Exprimer le projecteur p tel que ker p = V1 et Im p = V2 .
Exercice 14. Soit E un espace vectoriel de dimension 4 et (e1 , e2 , e3 , e4 ) une base de E.
On pose
v1 = e1 + e2 + e4
v2 = e1 − e2 + e3 − 2e4
v3 = −e1 + e2 − e3 + e4
(a) Montrer que les vecteurs v1 , v2 , v3 forment une famille libre.
(b) La compléter en une base de E.
Exercice 15. Soit f l’endomorphisme de R4 défini dans la base canonique (e1 , e2 , e3 , e4 )
par
f (e1 ) = (1, −4, −2, 1),
f (e3 ) = (0, 1, 1, 1),
f (e2 ) = (1, −3, −1, 2)
f (e4 ) = (3, −8, −2, 7).
Trouver une base de Im f et en déduire le rang de f .
Exercice 16. Soient a, b, u, v, w les vecteurs de R4 suivants :
 
 
 
 
 
 0 
3
1
 1 
0
 6 
3
0
−1
2
a =   , b =   , u =   , v =   , w =   .
−1
1
0
 0 
1
4
5
0
1
0
20.5
Exercices.
13
On note F = Vect (a, b) et G = Vect (u, v, w).
(1) Déterminer les dimensions de F ∩ G et F + G.
(2) Les sev F, G sont-ils supplémentaires dans R4 ?
Exercice 17. Soit P un polynôme unitaire de degré n ∈ N∗ .
(1) Montrer que la famille (P(X), P0 (X), P00 (X), P(3) (X), . . . , P(n−1) (X), P(n) (X)) est une
base de Kn [X].
(2) Quelles sont les coordonnées de P(X + 1) dans cette base ?
Exercice 18. Soit A, B deux sous-ev de même dimension p ≥ 1 d’un K-ev E de dimension finie. Montrer que A et B admettent un supplémentaire commun dans E.
Exercice 19. Soit H et H 0 deux hyperplans d’un K-ev E de dimension finie n ∈ N∗ .
Discuter la dimension de H ∩ H 0 .
Exercice 20. Soit f un endomorphisme non nul de R3 tel que f 2 = 0. Montrer que
rg( f ) = 1.
Exercice 21. Soit E un K-ev de dimension finie n ∈ N∗ et f, g deux endomorphismes de
E tels que
f + g = f ◦ g.
Montrer que f ◦ g = g ◦ f .
Exercice 22. Soit E, F, G des K-ev de dimension finie et f : E −→ F, g : F −→ G des
applications linéaires.
(1) Montrer que si g est injective alors rg(g ◦ f ) = rg( f ).
(2) Montrer que si f est surjective alors rg(g ◦ f ) = rg(g)
Exercice 23. Soit u : C4 [X] 7→ C4 [X] l’application qui à P associe le reste de la division
euclidienne de P par X 2 + X + 1.
(a) Calculer u(X 4 ) et u(X 3 + 1) puis u(2X 4 + X 3 + 1).
(b) Montrer que u est linéaire.
(c) Déterminer ker u et en donner une base.
(d) Montrer que Im u = C1 [X].
14
(e) Pour P ∈ C4 [X], exprimer u(P) en fonction de P( j), P( j2 ).
Exercice 24. Soit n ∈ N∗ et a1 , . . . , an des scalaires deux à deux distincts et f l’application P ∈ Kn−1 [X] 7→ (P(a1 ), . . . , P(an )) ∈ Kn .
(a) Montrer que f est linéaire.
(b) Montrer que f est injective.
(c) En déduire que f est bijective.
(d) Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de Kn . Déterminer f −1 (ei ) pour 1 ≤ i ≤ n.
Exercice 25. Pour tout polynôme Q, on note Q0 le polynôme dérivé de Q. On considère
l’application T de R2n−1 [X] dans R2n définie par :
∀Q ∈ R2n−1 [X], T (Q) = Q(a1 ), Q(a2 ), . . . , Q(an ), Q0 (a1 ), Q0 (a2 ), . . . , Q0 (an )
(a) Montrer que T est une application linéaire de R2n−1 [X] dans R2n .
(b) Montrer que T est injective. En déduire que T est bijective.
Exercice 26. Soit a et b deux réels distincts.
On désire déterminer une solution de l’équation : (En )
(X − a)n An + (X − b)n Bn = 1
d’inconnues An et Bn dans Rn−1 [X], l’espace des polynômes à coefficients réels de degré
inférieur ou égal à (n − 1).
(1) Montrer que si (En ) admet un couple solution, celui-ci est unique.
(2) On considère les ensembles :
F = {(X − a)n P
|
P ∈ Rn−1 [X]}
et G = {(X − b)n P
|
P ∈ Rn−1 [X]}.
(a) Vérifier que F et G sont des espaces vectoriels dont on précisera la dimension.
(b) Déterminer F ∩ G. En déduire la dimension de F + G.
(c) En déduire que (En ) admet une solution unique.
(3) Montrer qu’il existe un polynôme Pn dont on précisera le degré, vérifiant :
Z
∀ x ∈ R,
x
(t − a)(t − b)
n−1
dt = (x − a)n Pn (x)
a
(4) Etablir l’identité : ∀ x ∈ R, (x − a)n Pn (x) + (b − x)n Pn (a + b − x) = (b − a)n Pn (b).
(5) Exprimer le couple solution de (En ) en fonction du polynôme Pn .
Exercice 27. Soit f ∈ L (E) tel que f , 0 où E est de dimension finie n ≥ 1. On
suppose que pour tout x ∈ E il existe k(x) ∈ N∗ tel que f k(x) (x) = 0.
(1) Montrer que f est nilpotent : il existe k ∈ N∗ tel que f k = 0.
20.5
Exercices.
15
k−1
X
fj
est un automorphisme de E. Déterminer en fonction de f
j!
j=0
l’automorphisme réciproque de u.
(2) Montrer que u =
(3) Comparer ker f et ker (u − IE )
Exercice 28. Soit E un K-ev de dimension finie n ≥ 1 et f ∈ L (E). On suppose qu’il
existe x0 ∈ E, x0 , 0E tel que la famille ( f (x0 ), f 2 (x0 ), . . . , f n (x0 )) est une base de E.
(a) Montrer que f est un automorphisme de E.
(b) En déduire que (x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) est une base de E.
(c) Prouver qu’il existe des scalaires a0 , a1 , . . . an tels que f n = a0 IE + a1 f + . . . +
an−1 f n−1 .
Exercice 29. Soit E, F, G des K-ev de dimension finie et f : E −→ F, g : F −→ G des
applications linéaires.
Montrer l’équivalence suivante :
Im ( f ) = ker (g) ⇐⇒ g ◦ f = 0 et rg( f ) + rg(g) = dim(F).
Exercice 30. Soit E et F des ev de dimension finie et f ∈ L (E, F). Montrer que f est
un isomorphisme ssi
∀g ∈ L (F, E), f ◦ g ◦ f = 0 =⇒ g = 0.
Exercice 31. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2. Soit f un endomorphisme de E commutant avec tout automorphisme de E :
∀g ∈ GL(E), f ◦ g = g ◦ f.
(1) Soient x, y deux vecteurs linéairement indépendants de E. Montrer qu’il existe un
automorphisme u de E tel que u(x) = x et u(y) = x + y.
(2) Soit a ∈ E, a < ker f . Montrer que a et f (a) sont liés. En déduire qu’il existe
λ(a) ∈ K tel que f (a) = λ(a)a
(3) Montrer que λ(a) ne dépend pas de a.
Exercice 32. Soit E un K-ev de dimension finie et u, v ∈ L (E) tels que ker u + ker v =
Im u + Im v. Montrer que ces sommes sont directes. Le résultat reste-t-il vrai en dimension infini ?
16
Exercice 33. Soit E un R–espace vectoriel de dimension 4. On note 0̂ l’endomorphisme
nul de E et I l’application identité de E. On considère un endomorphisme u de E tel que
u3 + u2 + u = 0̂.
On pose E1 = Ker (u2 + u + I) et E2 = Ker u.
(1) Montrer que Im u ⊂ E1 et que E1 et E2 sont stables par u.
(2) Montrer que :
(a) E1 ⊕ E2 = E.
(b) E1 = Im u.
(c) E2 = Im (u2 + u + I).
(3a) Montrer que, pour tout vecteur non nul x de E1 , la famille x, u(x) est libre.
(3b) Montrer que s’il existe deux vecteurs x et y de E1 tels que la famille x, u(x), y soit
libre, alors la famille x, u(x), y, u(y) est libre.
(3c) Quelles sont les dimensions possibles de E1 ?
Exercice 34. Soit E un espace vectoriel sur C, de dimension n ∈ N∗ .
• On note IE l’application identique de E.
• Soit p ∈ N? . On dit qu’un endomorphisme f de E est cyclique d’ordre p s’il
existe un vecteur x0 de E vérifiant les trois conditions suivantes :
(i)
f p (x0 ) = x0 ,
(ii)
la famille (x0 , f (x0 ), . . . , f p−1 (x0 )) est génératrice de E,
(iii)
la famille (x0 , f (x0 ), . . . , f p−1 (x0 )) est constituée de vecteurs deux à deux
distincts.
La famille (x0 , f (x0 ), . . . , f p−1 (x0 )) est alors appelée un cycle de f .
On considère un endomorphisme f de E cyclique d’ordre p.
Soit (x0 , f (x0 ), . . . , f p−1 (x0 )) un cycle de f .
(1) Montrer : p ≥ n.
(2) Montrer que f p = IE . En déduire que f est bijective.
(3) On note m le plus grand des entiers naturels k tels que la famille
(x0 , f (x0 ), . . . , f k−1 (x0 )) est libre.
(a) Montrer que f m (x0 )
x0 , f (x0 ), . . . , f m−1 (x0 )
est
combinaison
linéaire
des
m
vecteurs
(b) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel k supérieur ou
égal à m, le vecteur f k (x0 ) est combinaison linéaire des m vecteurs
x0 , f (x0 ), . . . , f m−1 (x0 )
(c) En déduire que m = n et que la famille (x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) est une base
de E.
20.5
Exercices.
17
Exercice 35. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. On appelle projecteur de
E tout endomorphisme f de E vérifiant f ◦ f = f .
(1) Montrer que f est un projecteur si et seulement s’il existe A, B sous–espaces vectoriels de E tels que
i) E = A ⊕ B
ii) ∀x ∈ A, f (x) = 0
iii) ∀x ∈ B, f (x) = x.
(2) Soient f et g deux projecteurs de E.
(a) Montrer que f et g sont deux projecteurs tels que Im f = Im g si et seulement
si f ◦ g = g et g ◦ f = f .
(b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f et g soient deux
projecteurs de même noyau.
a) Montrer que f et g sont deux projecteurs tels que = f = =g si et seulement si
f ◦ g = g et g ◦ f = f .
b)
(3) Soient f, g deux projecteurs de E. On suppose que f ◦ g = g ◦ f . Montrer que :
E = ( Im f ∩ Im g) ⊕ ( Im f ∩ ker g) ⊕ ( ker f ∩ Im g) ⊕ ( ker f ∩ ker g).
Que peut–on dire de f ◦ g ?
18
20.6
Indications pour les exercices
Indication pour l’exercice 2. Caractère non vide et stabilité par combinaison linéaire. Pour
la dimension, commencer par étudier les facteurs possibles pour un polynôme de E en fonction des racines imposées.
Indication pour l’exercice 3. (a) Raisonner par l’absurde.
(b) Soit p le plus petit entier tel que f p = 0. Remarquer que f p−1 , 0 et considérer un
vecteur x0 tel que f p−1 (x0 ) , 0.
(c) Une famille libre en dimension n a au plus n vecteurs.
Indication pour l’exercice 4. L’ev E n’est pas supposé de dimension finie, on ne peut
donc pas utiliser la caractérisation par la dimension. A l’aide d’un supplémentaire de H
dans E, montrer que E ⊂ F.
Indication pour l’exercice 6. Puisque Im (u) est de dimension 1, il est engendré par un
vecteur e. Considérer ensuite le vecteur u(e).
Indication pour l’exercice 9. D’après le théorème de l’échange, on peut partir de deux
bases (par exemple, la base canonique et une autre base) puis faire un échange bien choisis
avec deux vecteurs de chacune de ces bases.
Indication pour l’exercice 10. Montrer d’abord qu’il est nécessaire que x , 0 puis en
supposant x , 0, etudier par opérations élémentaires, le rang de ces trois vecteurs.
P
Indication pour l’exercice 11. Calculer ni=1 (−1)i ui et étudier le rang du système de vecteurs u1 , u2 , . . . , un en travaillant avec leurs coordonnées dans la base (e1 , e2 , . . . , en ).
Indication pour l’exercice 12. Pour exprimer le projecteur p de R3 tel que
ker p = W et Im p = V
il suffit de décomposer tout vecteur (x, y, z) = v + w relativement à la somme V ⊕ W et de
poser p(x, y, z) = w.
Indication pour l’exercice 13. Même méthode qu’à l’exercice précédent pour exprimer le
projecteur p.
Indication pour l’exercice 14. Etudier le rang des vecteurs v1 , v2 , v3 en travaillant avec
leurs coordonnées dans la base (e1 , e2 , e3 , e4 ).
Indication pour l’exercice 15. Puisque (e1 , e2 , e3 , e4 ) est une base de R4 , on a Im ( f ) =
Vect ( f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 )). Il suffit alors d’extraire de la famille génératrice, une base
de Im ( f ) par opérations élémentaires.
Indication pour l’exercice 16. Commencer par la dimension de F +G en calculant le rang
de a, b, u, v, w.
Indication pour l’exercice 18. Partir d’une base de A ∩ B.
Indication pour l’exercice 19. Distinguer les cas H = H 0 et H , H 0 .
Indication pour l’exercice 20. Remarquer que f 2 = 0 ssi Im ( f ) ⊂ ker ( f ).
Indication pour l’exercice 21. Développer ( f − IE ) ◦ (g − IE ).
20.7
Correction des exercices
19
Indication pour l’exercice 22. (1) Remarquer que si v1 , v2 , . . . , v p est une base de Im ( f )
alors g(v1 ), g(v2 ), . . . , g(v p ) est une base de Im (g ◦ f ).
(2) Remarquer que si (e1 , e2 , · · · , en ) est une base de E alors ( f (e1 ), f (e2 ), · · · , f (en )) est
une famille génératrice de F
Indication pour l’exercice 23. (a) Faire les divisions euclidiennes de X 4 et X 3 + 1 par
X 2 + X + 1.
(b) Soient P et Q deux polynômes de C4 [X] et λ ∈ C.
Ecrire les divisions euclidiennes de P et Q par X 2 + X + 1 et penser à l’unicité du reste
dans une division euclidienne.
(c) Soit P un polynôme de C4 [X] :
u(P) = 0 ssi Pest un multiple de X 2 + X + 1.
(d) La question précédente donne la dimension du noyau. Il reste à appliquer le théorème
du rang.
(e) Ecrire u(P) sous la forme αX + β et former un système à deux équations pour trouver α
et β.
Indication pour l’exercice 24. (a) Utiliser la définition.
(b) Utiliser la caractérisation de l’injectivité et compter les racines.
(c) Utiliser la caractérisation des isomorphismes en dimension finie.
(d) Etudier les racines et le degré de f −1 (ei ).
Indication pour l’exercice 25. (a) Utiliser la définition
(b) Etudier le noyau et compter les racines avec leurs multiplicités.
Indication pour l’exercice 27. (1) Il faut trouver un entier k indépendant de x tel que f k
est nul. Considérer une base (e1 , . . . , en ) de E et le plus grand des entiers k associés
aux vecteurs de cette base.
(2) Montrer que u est injectif en étudiant son noyau.
(3) Comparer ker f et ker (u − IE )
Indication pour l’exercice 29. Pour la condition nécessaire, penser au théorème du rang.
Pour la condition suffisante, se rappeler, qu’en dimension finie, l’égalité de deux sev peut
être établie grâce à une inclusion et à l’égalité des dimensions.
Indication pour l’exercice 30. Pour la condition suffisante, montrer que si f n’est pas un
isomorphisme, on peut trouver une application linéaire g non nulle telle que f ◦ g ◦ f = 0.
20.7
Correction des exercices