Exercices : Applications linéaires I Définition

18 juillet 2013
Exercices : Applications linéaires
I Définition générale d’une application linéaire
Exercice I.1 : Dans chacun des cas suivants, l’application fest-elle dans L(R3) ?
1. f(x,y,z)=(x−2z,3z,x+y+z)
2. f(x,y,z)=(x+y,z,1+y+z)
3. f(x,y,z)=(z+y,x y,x)
Exercice I.2 : Dans chacun des cas suivants, l’application proposée est-elle linéaire ?
1. ϕ:
R[0,1] →R
f7→ f(1)−Z1
0f(t)dt
2. ϕ:
R[0,1] →R
f7→ Z1
0f2(t)dt
3. ϕ:½RN→R3
(un)n∈N7→ (u0,u1,u2)
4. ϕ:½D→D
f7→ gf:©x7→ f(x)+x f ′(x)ª
où Dest l’ensemble des fonctions dérivables sur Rà valeurs dans R.
5. ϕ:½R[X]→R[X]
P7→ RP
où RPest le reste de la division euclidienne du polynôme Ppar X2+1.
II Noyau et image
Exercice II.1 : Vérifier que les applications suivantes sont linéaires, et en déterminer le noyau et l’image.
a)f:½R2→R3
(x,y)7→ (4x,y−x,2x+y)b)g:½R3→R2
(x,y,z)7→ (2x+y−z,x−y)
Exercice II.2 : Cest ici considéré comme un R-espace vectoriel.
1. Rappeler la dimension de Cet en donner la base canonique.
2. Montrer que l’application f:z→(2i−1)z+(2−i)¯ zest linéaire. Déterminer son image et son noyau.
Exercice II.3 : Soient fet gdeux endomorphismes d’un K-e.v. Etels que g◦f=f◦g. Montrer que Ker fet Im f
sont stables par g.
III Injectivité, surjectivité
Exercice III.1 : Soit f∈L(E,F). Montrer que :
1. fest injective si et seulement si ftransforme toute famille libre de Een une famille libre de F.
2. fest surjective si et seulement s’il existe une famille génératrice de Edont l’image est génératrice dans F.
Exercice III.2 : Soit f:R3→R3définie par f(x,y,z)=(2x,2y,0).
1. Montrer que fest linéaire. Est-elle injective ?
2. Trouver Ker fet Im f, et montrer que R3=Ker f⊕Im f.fest-elle une projection ?
Exercice III.3 :
Lycée Jean Perrin 2013/2014 1 / 2

18 juillet 2013
1. Pour des applications linéaires f:E→Fet g:F→G, établir l’équivalence :
g◦f=0⇔Im f⊂Ker g
2. Soit Eun C-espace vectoriel et f∈L(E) tel que f2−3f+2I dE=0L(E).
(a) Montrer que fest un automorphisme.
(b) Établir que Im(f−IdE)⊂Ker(f−2I d) et Im(f−2I dE)⊂Ker(f−I dE)
(c) Montrer que E=Ker(f−I dE)⊕Ker(f−2I dE).
(d) En déduire que si Eest de dimension finie n, il existe une base β=(εi)1ÉiÉn, telle que ∀i,f(εi)=λiεi
avec λi=1 ou λi=2.
IV Projections et symétries
Exercice IV.1 : Soit Eun R-espace vectoriel de base (~ i,~ j,~ k). On note ~ Dla droite vectorielle engendrée par le vecteur
~
v(−1,1,2) et ~ Ple plan vectoriel, noyau de la forme linéaire :
f:X=(x,y,z)7→ f(X)=x+2y−z
Donner l’expression analytique de la projection psur ~ Dparallèlement à ~ Pet de la projection qsur ~ Pparallèlement à
~
D.
Exercice IV.2 : Soit f:(R2→R2
(x,y)7→ 1
3(−x+2y,−2x+4y). Montrer que fest une application linéaire. Quelle est
la nature de celle-ci ?
Exercice IV.3 : Soit pun projecteur. Que peut-on dire de l’application 2p−I d ? En donner une interprétation géométrique
(on pourra s’aider d’un dessin).
V Dimension finie. Théorème du rang
Exercice V.1 : Justifier qu’il existe une unique application linéaire fde R2dans R3telle que f(1,2) =(1,1,0) et
f(2,1) =(0,1,1). Déterminer f(x,y), Ker fet Im f.
Exercice V.2 : On définit l’application J:½Rn[X]→Rn−1[X]
P7→ P(X+1)−P(X)
1. Vérifier que Jest une application linéaire, à valeurs dans Rn−1[X].
2. Déterminer Ker Jet Im J.
Exercice V.3 : Soit f:½Rn[X]→Rn[X]
P7→ X P′(X)−2P(X).
1. Montrer que fest une application linéaire, à valeurs dans Rn[X].
2. Déterminer Im f. Quelle est le rang de f?
3. Donner la dimension de Ker f, puis déterminer Ker f.
Exercice V.4 : Soit Eun espace vectoriel de dimension 3 dont une base est (e1,e2,e3). On considère l’endomor-
phisme fdéfini par :
f(e1)=e2+e3f(e2)=e3+e1et f(e3)=e1+e2
Soit x=x1e1+x2e2+x3e3. Déterminer l’expression de f(x) dans la base (e1,e2,e3). fest-il un automorphisme de E?
Exercice V.5 : Montrer que f:½R3→R3
(x,y,z)7→ (z,x−y,y+z)est un automorphisme.
Exercice V.6 : Soit Eun espace vectoriel de dimension 3, (e1,e2,e3) une base de E, et λ∈R. Démontrer que la donnée
de : 
ϕ(e1)=e1+e2
ϕ(e2)=e1−e2
ϕ(e3)=e1+λe3
définit une application linéaire ϕde Edans E. Écrire le transformé du vecteur u=xe1+ye2+ze3. Comment choisir λ
pour que ϕsoit injective ? Surjective ?
Exercice V.7 : Soient Eun K-ev de dimension finie et f∈L(E) telle que rg f=1. Montrer qu’il existe un unique
λ∈Ktel que f2=λf.
Lycée Jean Perrin 2013/2014 2 / 2