Exercices : Applications linéaires I Définition

18 juillet 2013
Exercices : Applications linéaires
I Définition générale d’une application linéaire
Dans chacun des cas suivants, l’application f est-elle dans L (R3 ) ?
Exercice I.1 :
1. f (x, y, z) = (x − 2z, 3z, x + y + z)
2. f (x, y, z) = (x + y, z, 1 + y + z)
3. f (x, y, z) = (z + y, x y, x)
Exercice I.2 : Dans chacun des cas suivants, l’application proposée est-elle linéaire ?
 [0,1]
→
R
 R
Z1
1. ϕ :
 f
7→ f (1) −
f (t )d t
0
2. ϕ :
3. ϕ :
4. ϕ :
 [0,1]
 R

R
→
f
Z1
7→
0
½
RN
(un )n∈N
½
D
f
½
R[X ]
P
→
7
→
→
7
→
f 2 (t )d t
R3
(u0 , u1 , u2 )
D
©
ª
g f : x 7→ f (x) + x f ′ (x)
où D est l’ensemble des fonctions dérivables sur R à valeurs dans R.
5. ϕ :
R[X ]
RP
→
7→
où RP est le reste de la division euclidienne du polynôme P par X 2 + 1.
II Noyau et image
Exercice II.1 :
Vérifier que les applications suivantes sont linéaires, et en déterminer le noyau et l’image.
a) f :
Exercice II.2 :
½
R2
(x, y)
→ R3
7→
b) g :
(4x, y − x, 2x + y)
½
R3
(x, y, z)
→
7
→
R2
(2x + y − z, x − y)
C est ici considéré comme un R-espace vectoriel.
1. Rappeler la dimension de C et en donner la base canonique.
2. Montrer que l’application f : z → (2i − 1)z + (2 − i )z̄ est linéaire. Déterminer son image et son noyau.
Exercice II.3 : Soient f et g deux endomorphismes d’un K-e.v. E tels que g ◦ f = f ◦ g . Montrer que Ker f et Im f
sont stables par g .
III Injectivité, surjectivité
Exercice III.1 :
Soit f ∈ L (E , F ). Montrer que :
1. f est injective si et seulement si f transforme toute famille libre de E en une famille libre de F .
2. f est surjective si et seulement s’il existe une famille génératrice de E dont l’image est génératrice dans F .
Exercice III.2 :
Soit f : R3 → R3 définie par f (x, y, z) = (2x, 2y, 0).
1. Montrer que f est linéaire. Est-elle injective ?
2. Trouver Ker f et Im f , et montrer que R3 = Ker f ⊕ Im f . f est-elle une projection ?
Exercice III.3 :
Lycée Jean Perrin 2013/2014
1/2
18 juillet 2013
1. Pour des applications linéaires f : E → F et g : F → G, établir l’équivalence :
g ◦ f = 0 ⇔ Im f ⊂ Ker g
2. Soit E un C-espace vectoriel et f ∈ L (E ) tel que f 2 − 3f + 2I dE = 0L (E ) .
(a) Montrer que f est un automorphisme.
(b) Établir que Im( f − I dE ) ⊂ Ker ( f − 2I d) et Im( f − 2I dE ) ⊂ Ker ( f − I dE )
(c) Montrer que E = Ker ( f − I dE ) ⊕ Ker ( f − 2I dE ).
(d) En déduire que si E est de dimension finie n, il existe une base β = (εi )1ÉiÉn , telle que ∀i , f (εi ) = λi εi
avec λi = 1 ou λi = 2.
IV Projections et symétries
~ la droite vectorielle engendrée par le vecteur
Exercice IV.1 : Soit E un R-espace vectoriel de base (~
i ,~
j ,~
k). On note D
~ le plan vectoriel, noyau de la forme linéaire :
~
v (−1, 1, 2) et P
f : X = (x, y, z) 7→ f (X ) = x + 2y − z
~ parallèlement à P
~ et de la projection q sur P
~ parallèlement à
Donner l’expression analytique de la projection p sur D
~
D.
(
R2
→
R2
1
Exercice IV.2 : Soit f :
. Montrer que f est une application linéaire. Quelle est
(x, y) 7→
(−x + 2y, −2x + 4y)
3
la nature de celle-ci ?
Exercice IV.3 : Soit p un projecteur. Que peut-on dire de l’application 2p−I d ? En donner une interprétation géométrique
(on pourra s’aider d’un dessin).
V Dimension finie. Théorème du rang
Exercice V.1 : Justifier qu’il existe une unique application linéaire f de R2 dans R3 telle que f (1, 2) = (1, 1, 0) et
f (2, 1) = (0, 1, 1). Déterminer f (x, y), Ker f et Im f .
½
Rn [X ] →
Rn−1 [X ]
Exercice V.2 : On définit l’application J :
P
7→ P (X + 1) − P (X )
1. Vérifier que J est une application linéaire, à valeurs dans Rn−1 [X ].
2. Déterminer Ker J et Im J .
½
Rn [X ] →
Rn [X ]
Exercice V.3 : Soit f :
.
P
7→ X P ′ (X ) − 2P (X )
1. Montrer que f est une application linéaire, à valeurs dans Rn [X ].
2. Déterminer Im f . Quelle est le rang de f ?
3. Donner la dimension de Ker f , puis déterminer Ker f .
Exercice V.4 : Soit E un espace vectoriel de dimension 3 dont une base est (e 1 , e 2 , e 3 ). On considère l’endomorphisme f défini par :
f (e 1 ) = e 2 + e 3
f (e 2 ) = e 3 + e 1 et f (e 3 ) = e 1 + e 2
Soit x = x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3 . Déterminer l’expression de f (x) dans la base (e 1 , e 2 , e 3 ). f est-il un automorphisme de E ?
½
R3
→
R3
Exercice V.5 : Montrer que f :
est un automorphisme.
(x, y, z) 7→ (z, x − y, y + z)
Exercice V.6 :
de :
Soit E un espace vectoriel de dimension 3, (e 1 , e 2 , e 3 ) une base de E , et λ ∈ R. Démontrer que la donnée

 ϕ(e 1 )
ϕ(e 2 )

ϕ(e 3 )
=
=
=
e1 + e2
e1 − e2
e 1 + λe 3
définit une application linéaire ϕ de E dans E . Écrire le transformé du vecteur u = xe 1 + ye 2 + ze 3 . Comment choisir λ
pour que ϕ soit injective ? Surjective ?
Exercice V.7 : Soient E un K-ev de dimension finie et f ∈ L (E ) telle que rg f = 1. Montrer qu’il existe un unique
λ ∈ K tel que f 2 = λf .
Lycée Jean Perrin 2013/2014
2/2