Antisèche légale

Antisèche légale
f
f0
xn
1
n = −1,
x
√
n = 12 ,
x
sin(x)
nxn−1
1
− 2
x
1
√
2 x
cos(x)
cos(x)
−sin(x)
∀n ∈ R,
Limites
tan(x)
0
1
lim
x→a f(x)
1
l
±∞
±∞
0
ex
lim f(x)
x→a
l 6= 0
f
f0
un
1
n = −1,
u
√
n = 12 ,
u
sin(u)
nun−1 × u 0
1
− 2 × u0
u
1
√ × u0
2 u
cos(u) × u 0
cos(u)
−sin(u) × u 0
lim f(x) × g(x)
tan(u)
(1 + tan2 (u)) × u 0
1
× u0
u
eu × u 0
1
= 0 (quelque
x→a
x→a f(x)
soit le signe de l’infini). Si f(x) tend vers 0 mais en restant
1
tendra vers +∞. De
positif (c’est à dire 0+ ) alors
f(x)
même en changeant les signes.
lim f(x)
lim g(x)
lim f(x) + g(x)
x→a
x→a
∀n ∈ R,
x→a
l
l0
l + l0
l × l0
ln(u)
l>0
±∞
±∞
±∞
eu
l<0
±∞
±∞
∓∞
0
±∞
±∞
F.I
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
−∞
F.I.
−∞
−∞
−∞
−∞
+∞
Pour
obtenir
la
limite
de
1
cos2 (x)
1
x
ex
ln(x)
Si lim f(x) = +∞ ou −∞ alors lim
x→a
1 + tan2 (x) =
g(x)
f(x)
on
Équation de la tangente à f en a
Ta : y = f 0 (a)(x − a) + f(a)
Logarithme
écris
g(x)
1
= g(x) ×
.
f(x)
f(x)
Pour x > 0, on note ln(a) l’aire comprise entre la courbe
1
x 7→ , l’axe des abscisses, la droite d’équation x = 1
x
et la droite x = a.
On note ln la fonction logarithme népérien définie
sur ]0; +∞[ à valeur dans R.
ln(1) = 0
Dérivation
On dira qu’une fonction f est dérivable en a si
f(x) − f(a)
lim
existe et est un nombre fini ; f 0 (a).
x→a
x−a
(u + v) 0 = u 0 + v 0
∀a > 0, b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b)
1
∀a > 0, ln
= −ln(a)
a
∀a > 0, n ∈ Z, ln(an ) = nln(a)
a
∀a > 0, b > 0, ln
= ln(a) − ln(b)
b
lim ln(x) = +∞
x→+∞
(λu) = λu 0
lim ln(x) = −∞
x→0+
∀α > 0, β > 0
(uv) 0 = u 0 v + v 0 u
u 0
v
=
u 0v − v 0u
v2
∀α > 0, β > 0
lim
x→0
ln(x)β
=0
x→+∞
xα
lim
lim xα ln(x)β = 0
x→0+
ln(x + 1)
=1
x
Exponentielle
Trigonométrie
On note ex , la fonction exponentielle, la fonction réciproque de la fonction ln. Elle satisfait donc
∀x > 0, eln(x) = x,
∀x ∈ R, ln(ex ) = x
0
e =1
∀a ∈ R, b ∈ R, ea+b = ea × eb
1
∀a ∈ R, a = e−a
e
n
∀a ∈ R, n ∈ Z, (ea ) = ena
ea
∀a ∈ R, b ∈ R, b = ea−b
e
lim ex = +∞
x→+∞
lim ex = 0
x→−∞
β
∀α > 0, β > 0
∀α > 0, β > 0
(ex )
x→+∞ xα
lim
= +∞
β
lim xα (ex ) = 0
x→−∞
ex − 1
=1
x→0
x
lim
rad
0
cos
1
sin
0
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
2
√
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = −sin(x)
π
− x = sin(x)
cos
2
π
sin
− x = cos(x)
2
π
cos
+ x = −sin(x)
2
π
+ x = cos(x)
sin
2
cos(π − x) = −cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
cos(π + x) = −cos(x)
sin(π + x) = −sin(x)
sin(x + y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x)
Probabilités
cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)
P(∅) = 0
sin(x − y) = sin(x)cos(y) − sin(y)cos(x)
P(Ω) = 1
cos(x − y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
0 6 P(A) 6 1
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
P(A) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Deux évènements sont dit indépendants lorsque
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Variables aléatoires
Support : Supp(X) = k ∈ ZP(X = k) > 0
X
Espérance : E(X) =
k × P(X = k)
X
E(X2 ) =
k∈Supp(X)
k2 × P(X = k)
k∈Supp(X)
Variance : V(X) = E(X2 ) − E(X)2
p
Ecart-type : σ(X) = V(X)
Loi binomiale
Loi de n succès-échecs, p étant la probabilité d’UN
succès
X ∼ B(n, p)
k
n−k
P(x = k) = (n
k )p (1 − p)
E(X) = np
V(X) = np(1 − p)
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
1−cos(2x)
2
1+cos(2x)
2
cos (x) =
2
cos(x)cos(y) = 12 (cos(x − y) + cos(x + y))
sin(x)sin(y) = 21 (cos(x − y) − cos(x + y))
cos(x)sin(y) = 12 (sin(x + y) − sin(x − y))
cos(x) + cos(y) = 2cos x+y
cos x−y
2
2
cos(x) − cos(y) = −2sin x+y
sin x−y
2
2
sin(x) + sin(y) = 2sin x+y
cos x−y
2
2
sin(x) − sin(y) = 2cos x+y
sin x−y
2
2
sin2 (x) =