Fonctions puissances

⋇ Fonctions usuelles ⋇
Logarithme népérien et exponentielle
Définition
* La fonction logarithme népérien, notée ln est l’unique primitive sur ℝ∗+ de x ⟼ 1/x qui s’annule en 1. Elle est donc défini
x du
sur ℝ∗+ par ln x = ∫1
u
* La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien
ln o exp = exp o ln = Id
Ensemble de définition
La fonction ln est défini sur ℝ∗+ et la fonction exp est défini sur ℝ
Continuité et dérivabilité
Les fonctions ln et exp sont continues et dérivables sur leur ensemble de définition
1
∀x ∈ ℝ∗+ (ln x)′ = et ∀x ∈ ℝ (exp x)′ = exp x
x
Variations et limites
Les fonctions ln et exp sont des bijections strictement croissantes
lim ln x = −∞ et lim ln x = +∞
x→−∞
x→+∞
lim ex = 0 et lim ex = +∞
x→−∞
x→+∞
Transformation somme / produit
∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln(xy) = ln x + ln y
ln(xy) = ln|x| + ln|y| (si on sait que xy > 0 mais on ne connaît pas le signe de x et y)
∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln(x n ) = n ln x
x
∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln ( ) = ln x − ln y
∀(x, y) ∈ ℝ2 , ex+y = ex ey
∀x ∈ ℝ, e−x = 1/ex
y
Graphe
Analyse | 1
Fonctions puissances
Définition
On appelle fonction puissance toute fonction du type x ⟼ x α
Propriétés
Soient x, x’ ∈ ℝ∗+ et y, y’ ∈ ℝ
x y ∈ ℝ∗+ et ln x y = y ln x
x y+y′ = x y x y′
x yy′ = (x y )y′ = (x y′ )y
xx′y = x y x′y
x −y =
1
xy
1 y
=( )
x
Ensemble de définition
L’ensemble de définition de x ⟼ x α est ℝ∗+
Continuité et dérivabilité
La fonction x ⟼ xα est continue et dérivable sur son ensemble de définition.
Sa dérivée est la fonction x ⟼ αxα -1
Variations et limites
Si α > 0 la fonction x ⟼ xα est strictement croissante et lim+ x α = 0 et lim x α = +∞
x→+∞
x→0
Si α < 0 la fonction x ⟼ xα est strictement décroissante et lim+ x α = +∞ et lim x α = 0
x→0
x→+∞
Si α = 0, la fonction x ⟼ xα est constante égale à 1
Bijectivité
Pour α ≠ 0, la fonction réalise une bijection de ℝ∗+ sur ℝ∗+ . Sa bijection réciproque est la fonction x ⟼ x1/α
Graphes
Analyse | 2
Fonctions circulaires directes
Définition
On appelle fonctions circulaires ou trigonométriques directes les fonctions
sin, cos et tan
* tan se retrouve grâce à Thalès
Ensemble de définition
π
Les fonctions sin et cos sont définies sur ℝ. La fonction tan est définie sur ℝ\{ + πℤ}
2
Parité
La fonction cos est paire. Les fonctions sin et tan sont impaires
Périodicité
Les fonctions sin et cos sont 2𝜋-périodiques. La fonction tan est 𝜋-périodique.
Continuité et dérivabilité
Les fonctions sin, cos et tan sont continues et dérivables sur leur intervalle de définition.
sin' = cos
cos’ = -sin
tan’ = 1 + tan² = 1/cos²
Graphes
Equations trigonométriques
On appelle équations trigonométriques des équations faisant intervenir les fonctions trigonométriques. L’idée est de se
ramener à une des trois équations types suivantes dont la solution se retient aisément grâce à un dessin.
Analyse | 3
a ≡ b[2π]
sin a = sin b ⇔ {
ou a ≡ π − b[2π]
a ≡ b[2π]
cos a = cos b ⇔ {
ou a ≡ −b[2π]
tan a = tan b ⇔ {a ≡ b[π]
Analyse | 4
Fonctions circulaires réciproques
Définitions
π π
La fonction sin induit une bijection strictement croissante de [− , ] sur [-1, 1].
2 2
On appelle la fonction arcsinus sa fonction réciproque notée arcsin
La fonction cos induit une bijection strictement décroissante de [0, π] sur [-1, 1].
On appelle la fonction arccosinus sa fonction réciproque notée arccos
π
π
2
2
La fonction tan induit une bijection strictement croissante de ] , − [ sur ℝ.
On appelle la fonction arctan sa fonction réciproque notée arctan
Ensemble de définition et image
Les fonctions arcsin et arccos sont définies sur [-1, 1] et la fonction arctan est définie sur ℝ.
π π
L’image de arcsin est [− , ]
2 2
L’image de arccos est [0, π]
π
π
2
2
L’image de arctan est ] , − [
Variations et limites
Les fonctions arcsin et arctan sont strictement croissantes. La fonction arccos est strictement décroissante.
lim arctan x =
x→+∞
π
lim arctan x = −
2
x→−∞
π
2
Parité
Les fonctions arcsin et arctan sont impaires.
La fonction arccos n’est ni paire ni impaire. On a néanmoins la relation pour x ∈ [-1, 1] arccos(-x) = 𝜋 – arccos x
Continuité et dérivabilité
Les fonctions arcsin, arccos, et arctan sont continues sur leur ensemble de définition.
Les fonctions arcsin, arccos sont dérivables sur ]-1, 1[ et la fonction arctan est dérivable sur ℝ
arcsin’(x) =
1
√1−x²
arccos’(x) = −
1
√1−x²
arctan’(x) =
1
1+x²
Graphes
Les courbes de arcsin et arccos admettent des tangentes verticales en -1 et 1
(arcsin et arccos ne sont pas dérivables en -1 et 1)
Analyse | 5
Propriétés
π π
∀x ∈ [-1, 1] sin(arcsin x) = x
∀x ∈ ℝ arcsin(sin x) = x ⇔ x ∈ [− , ]
∀x ∈ [-1, 1] cos(arccos x) = x
∀x ∈ ℝ arccos(cos x) = x ⇔ x ∈ [0, π]
∀x ∈ ℝ tan(arctan x) = x
∀x ∈ ℝ arctan(tan x) = x ⇔ x ∈ ] , − [
2 2
π
π
2
2
* Attention arcsin o sin ≠ Id et arccos o cos ≠ Id et arctan o tan ≠ Id car ce sont des bijections réciproques de restrictions de
sin, cos et tan
∀x ∈ [-1, 1] sin(arccos x) = cos(arcsin x) = √1 − 𝑥²
∀x ∈ [-1, 1] arcsin x + arcos x =
*
π
2
1
π
x
2
∀x ∈ ℝ arctan x + arctan = signe(x)
Analyse | 6
Fonctions hyperboliques directes
Définition
On appelle sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique les trois fonctions suivantes
Pour tout x ∈ ℝ sinh 𝑥 =
ex −e−x
2
cosh 𝑥 =
ex +e−x
2
tanh 𝑥 =
sinh 𝑥
cosh 𝑥
Parité
Le sinus hyperbolique est la partie impaire de la fonction exponentielle.
Le cosinus hyperbolique est la partie paire de la fonction exponentielle.
Les fonctions sinh et tanh sont paires et la fonction cosh est impaire.
Continuité et dérivabilité
Les 3 fonctions sont continues et dérivables sur ℝ
sinh' = cosh
cosh’ = sinh
tanh’ = 1 – tanh² = 1/cosh²
Variations et limites
lim sinh x = −∞ et lim sinh x = +∞
x→−∞
x→+∞
lim cosh x = +∞ et lim cosh x = +∞
x→−∞
x→+∞
lim tanh x = −1 et lim tanh x = 1
x→−∞
x→+∞
Graphes
Analyse | 7
Fonctions hyperboliques réciproques
Définition
La fonction sinus hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ sur ℝ. On appelle fonction argument sinus
hyperbolique, sa fonction réciproque notée argsh.
La fonction cosinus hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ+ sur [1, +∞[. On appelle fonction
argument cosinus hyperbolique, sa fonction réciproque notée argch.
La fonction tangente hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ sur ]-1, 1[. On appelle fonction argument
tangente hyperbolique, sa fonction réciproque notée argth.
Parité
Les fonctions argsh et argth sont impaires
argch n’est ni paire ni impaire
Ensemble de définition et image
argsh est une bijection de ℝ sur ℝ.
argch est une bijection de [1, +∞[ sur ℝ+.
argth est une bijection de ]-1, 1[ sur ℝ.
Variations et limites
lim argsh x = −∞ et lim argsh x = +∞
x→−∞
x→+∞
lim argch x = +∞
x→+∞
lim argth x = −∞ et lim− argth x = +∞
x→−1+
x→1
Continuité et dérivabilité
Les 3 fonctions sont continues sur leur ensemble de définition
argsh et argth sont dérivables sur leur ensemble de définition
argch est dérivable sur ]1, +∞[
argsh’(x) =
1
√1+x²
argch’(x) =
1
√x²−1
argth’(x) =
1
1−x²
Propriétés – Expressions logarithmiques des fonctions hyperboliques réciproques
argsh x = ln(x + √1 + x 2 )
argch x = ln(x + √x 2 − 1)
1
1+x
2
1−x
argth x = ln
Propriétés
∀ x ∈ ℝ, sinh(argsh x) = x
∀ x ∈ [1, +∞[, cosh(argch x) = x
∀ x ∈ ]-1, 1[, tanh(argth x) = x
∀ x ∈ ℝ, argsh(sinh x) = x
∀ x ∈ ℝ, argch(cosh x) = x ⇔ x ∈ [1, +∞[
∀ x ∈ ℝ, argth(tanh x) = x ⇔ x ∈ ]-1, 1[
∀ x ∈ [1, +∞[, sinh(argch x) = √x 2 − 1)
∀ x ∈ ℝ, cosh(argsh x) = √x 2 + 1)
Analyse | 8
Graphes
Analyse | 9
Analyse – Fonctions usuelles | 10