Isométries vectorielles

MPSI-Éléments de cours
Isométries vectorielles
24 mars 2017
Isométries vectorielles
Rédaction incomplète. Version alpha
Plan
I.
Isométries vectorielles d’un espace euclidien . . . . . . . .
1. Matrice d’un endomorphisme dans une base orthonormée . .
2. Conservation du produit scalaire . . . . . . . . . . .
3. Isométrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . .
5. Orientation - Déterminant . . . . . . . . . . . . . .
II. Isométries vectorielle en dimension 2 . . . . . . . . . . .
III. Isométries vectorielles en dimension 3 (hors programme) . . . .
1. Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Définition du produit vectoriel . . . . . . . . . . .
2. Antisymétrie-bilinéarité . . . . . . . . . . . . .
3. Tournicoter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Expression en coordonnées . . . . . . . . . . . .
5. Double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . .
6. Matrice antisymétrique . . . . . . . . . . . . . .
7. Description géométrique . . . . . . . . . . . . .
2. Rotations et rotations-miroirs . . . . . . . . . . . .
3. Classification. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Droite stable . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Élements géométriques d’une matrice orthogonale : pratique
3. Décompositions en réflexions ou retournements . . . . .
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1
1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
6
Index
–
–
–
–
–
–
–
–
→
−
−
−
équation →
a ∧→
x = b,4
angle orienté de deux droites, 3
angle orienté de deux vecteurs, 3
automorphisme orthogonal, 2
formule du double produit vectoriel, 4
groupe orthogonal, 2
groupe spécial orthogonal, 2
isométrie vectorielle, 2
–
–
–
–
–
–
–
matrice antisymétrique, 4
matrice orthogonale, 3
produit mixte, 4
réflexion, 2
rotation, 3, 5
rotation-miroir, 5
symétrie orthogonale, 2
Les sections II et III reproduisent la définition du produit vectoriel introduit dans le document sur la Géométrie
élémentaire de l’espace.
I.
Isométries vectorielles d’un espace euclidien
1.
Matrice d’un endomorphisme dans une base orthonormée
Proposition. Soit U = (u1 , · · · , up ) une base orthonormée d’un espace euclidien E dont le produit scalaire est
noté (./.), soit f un endomorphisme de E. Pour i et j entre 1 et p, le terme i, j de la matrice de f dans U est
(ui /f (uj ))
Preuve. Soit A = MatU f , par définition :
f (uj ) =
p
X
ak,j uk
k=1
En formant le produit scalaire contre ui , comme la base est orthonormée, tous les (uk /uj ) sont nuls sauf pour
k = i où le terme vaut 1. On en déduit la formule annoncée.
1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
Rémy Nicolai C2263
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La proposition précédente permet de caractériser les endomorphismes dont la matrice dans une base orthonormée est symétrique.
Proposition (hors programme). Soit E un espace euclidien dont le produit scalaire est noté (./.) et f un endomorphisme de E. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(1)
∀(x, y) ∈ E 2 : (f (x)/y) = (x/f (y))
(2)
Pour toute base orthonormée U : Mat f est symétrique
U
Exemple. Les projections orthogonales vérifient cette propriété. Les affinités orthogonales qui sont des combinaisons linéaires de projections orthogonales la vérifient aussi. Les symétries orthogonales qui sont des affinités
particulières la vérifient aussi.
En effet, soit p une projection orthogonale sur A. Introduisons la projection orthogonale q sur A⊥ . On a alors :
(p(x)/y) = (p(x)/p(y)) + (p(x), q(y)) = (p(x)/p(y)) + (q(x), p(y)) = (x, p(y)
{z
}
|
{z
}
|
=0
=0
Exercice traité en classe Eao10 : adjoint d’un endomorphisme, image et noyau, équations linéaires sans solution.
2.
Conservation du produit scalaire
Dans un espace euclidien E avec un produit scalaire (./.), on dira qu’un endomorphisme f conserve le produit
scalaire si et seulement si :
∀(x, y) ∈ E 2 : (f (x)/f (y)) = (y/y)
On dira que f conserve la norme si et seulement si :
∀x ∈ E : kf (x)k = kxk
p
qui conserve le produit scalaire conserve la norme. Réciproquement,
Comme kxk = (x/x), tout endomorphisme
comme (x/y) = 14 kx + yk2 − kx − yk2 , tout endomorphisme qui conserve la norme conserve le produit scalaire.
Remarque. On peut montrer (exercice Eee01 de la feuille sur les espaces euclidiens) que si f est une application
quelconque dans un espace euclidien E (elle n’est pas supposée linéaire) la conservation du produit scalaire entraine
la linéarité.
3.
Isométrie vectorielle
Définition. Dans un espace euclidien E, un endomorphisme est une isométrie vectorielle (on dit aussi endomorphisme orthogonal) si et seulement si il conserve le produit scalaire (ou la norme). L’ensemble des endomorphismes
orthogonaux est noté O(E).
Proposition. L’ensemble des endomorphismes orthogonaux (O(E), ◦) est un sous-groupe du groupe (GL(E), ◦)
des automorphismes de E.
Preuve. En effet tout f orthogonal est bijectif car son noyau est réduit à {0E } à cause de la conservation de la
norme. Il est évident que si f et g sont orthogonaux alors f ◦ g et f −1 conservent le produit scalaire et sont donc
orthogonaux.
Remarque. Les mots isométrie vectorielle et automorphisme orthogonal sont strictement synonymes.
Exemple. Les symétries orthogonales sont des endomorphismes orthogonaux ( en particulier les réflexions :
symétries par rapport à un hyperplan).
Proposition. Un endomorphisme f de E euclidien est orthogonal si et seulement si l’image par f d’une base
orthonormée est une base orthonormée.
Preuve. Un sens est évident, l’autre résulte de la bilinéarité du produit scalaire.
2
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4.
Isométries vectorielles
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Matrices orthogonales
Définition. Une matrice A à p lignes et p colonnes est dite orthogonale lorsque
t
AA = Ip
Notation. L’ensemble des matrices orthogonales à p lignes et p colonnes est noté Op (R).
Remarque.
t
AA = Ip ⇔ AtA = Ip
En effet, lorsque le produit de deux matrices carrées est égal à 1. Le produit des déterminants de ces matrices est
aussi égal à 1. Elles sont donc inversibles. En multipliant par l’inverse de l’une, on montre qu’elles sont inverses
l’une de l’autre. Ainsi une matrice est orthogonale si et seulement si elle est inversible avec son inverse égale à sa
transposée.
Proposition. Soit E euclidien de dimension p, soit U une base orthonormée de E et f ∈ L(E). Alors f est une
isométrie vectorielle si et seulement si MatU f est orthogonale.
Proposition. (Op (R), ×) est un sous-groupe de (GLn (R), ×).
On a déjà défini le produit scalaire canonique sur les matrices colonnes :
∀(X, Y ) ∈ Cn,1 (R)2 (X, Y ) → tX Y = (X/Y )
Il permet de caractériser l’orthogonalité d’une matrice par une propriété de ses colonnes.
Proposition. Une matrice est orthogonale si et seulement si la famille formée par ses colonnes est orthonormée
pour le produit scalaire canonique.
Proposition. Soit A une base orthonormée, B une base et P = PAB la matrice de passage. Alors B est une base
orthonormée si et seulement si P est orthogonale.
Remarque. Dans une formule de changement de base pour un endomorphisme, si les deux bases sont orthonormées,
on peut écrire tP au lieu de P −1 .
Proposition (hors programme). Soit E euclidien et f ∈ L(E). L’application f est une symétrie orthogonale si
et seulement si sa matrice dans une base orthonormée directe est symétrique et orthogonale.
Preuve. à compléter
5.
Orientation - Déterminant
Lorsque l’espace est orienté, comme le déterminant d’une matrice orthogonale directe est égal à 1, le déterminant
d’une famille de vecteurs est le même dans n’inporte quelle base orthonormée directe.
II.
Isométries vectorielle en dimension 2
Forme des matrices de O2+ (R) et O2− (R).
O2− (R) est constitué de matrices symétriques. Les éléments de O− (E) sont des réflexions.
O2− (R) est isomorphe à U. En particulier il est commutatif.
Lorsque E est orienté, la matrice d’un élément de O+ (E) est la même dans n’importe quelle base orthonormée
directe.
Définition d’une rotation d’angle θ dans un plan orienté. Comment change l’angle si on change l’orientation du
plan ?
Proposition. Si r est une rotation d’angle θ dans un plan orienté et x un vecteur non nul alors
(x/r(x)) = kxk2 cos θ
det(x, r(x)) = kxk2 sin θ
Preuve. Il existe une base orthonormée directe dont le premier vecteur est x. Dans cette base ... à rédiger...
Définition. angle orienté de deux vecteurs à rédiger
Définition. angle orienté de deux droites à rédiger
3
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III.
1.
Isométries vectorielles
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Isométries vectorielles en dimension 3 (hors programme)
Produit vectoriel
1.
Définition du produit vectoriel
Définition de la fonction ϕx .
−
−
−
−
Définition. Soit →
u et →
v deux vecteurs fixés. Il existe un unique vecteur noté →
u ∧→
v tel que :
−
−
−
−
−
−
−
∀→
w ∈ E : det(→
u,→
v ,→
w ) = (→
u ∧→
v /→
w)
Expression des coordonnées dans une base orthonormée directe.
−
−
−
−
−
−
Proposition. Soient →
u et →
v deux vecteurs non coplanaires et α l’angle orienté (→
u,→
v ) dans le plan Vect(→
u,→
v)
→
−
→
−
orienté autour de u ∧ v . Alors
−
−
−
−
k→
u ∧→
v k = k→
u kk→
v k sin α
Preuve. On considère la bon+ ... à rédiger
−
−
Remarque. On constate donc que si on oriente le plan autour de →
u ∧→
v , l’angle orienté a toujours un représentant
−
−
dans [0, π]. On peut se représenter aussi ce résultat de la manière suivante. Le produit vectoriel de →
u ∧→
v est
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
l’unique vecteur P orthogonal à u et v tel que ( u , v , P ) soit une base directe et que la longueur de P soit
l’aire (positive) du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.
−
−
Proposition. Soient →
u et →
v deux vecteurs quelconques.
→
−
→
−
−
−
– antisymétrie : u ∧ v = −→
v ∧→
u.
–
–
–
bilinéarité
→
−
−
−
−
u ∧→
v est orthogonal à →
u et →
v.
aire et sin
−
−
−
−
k→
u ∧→
v k = k→
u kk→
v k sin δ
où δ est l’écart angulaire entre les deux vecteurs. Le module du produit vectoriel est l’aire du parallélogramme
construit sur les vecteurs.
→
−
−
−
– →
u ∧→
v = 0 si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
−
−
−
−
−
−
– →
u et →
v non colinéaires entraine →
u,→
v ,→
u ∧→
v base directe de E.
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
– ( u , v ) famille orthonormée entraine u , v , u ∧ →
v base orthonormée directe de E.
Preuve. à compléter
2.
Antisymétrie-bilinéarité
3.
Tournicoter
Dans un produit mixte.
4.
Expression en coordonnées
5.
Double produit vectoriel
Proposition (formule du double produit vectoriel).
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∀(→
u,→
v ,→
w ) ∈ E 3 : (→
u ∧→
v)∧→
w = (→
u /→
w )→
v − (→
v /→
w )→
u
Preuve. à compléter
→
−
−
−
−
Étude de l’équation →
a ∧→
x = b d’inconnue →
x.
6.
Matrice antisymétrique
Si une matrice est antisymétrique, c’est la matrice d’une application ϕx dans une base orthonormée directe.
Les coordonnées de x se lisent sur la matrice sans résoudre de système.
7.
Description géométrique
La restriction de ϕx au plan orthogonal à x est une rotation d’angle
(lorsque ce plan est orienté autour de x).
4
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π
2
composée avec la multiplication par kxk
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2.
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24 mars 2017
Rotations et rotations-miroirs
Dans ce paragraphe, on définit deux types de tranformations particulières.
Proposition. Soit D une droite vectorielle dans un espace euclidien E de dimension 3, soit A le plan orthogonal
à D. La projection orthogonale sur D est notée p, celle sur A est notée q. Soit r une rotation de A les applications
(
(
E→E
E→E
x → p(x) + r(q(x))
x → −p(x) + r(q(x))
sont des automorphismes orthogonaux de E appelés respectivement rotation et rotation-miroir (vectorielle) d’axe
D.
Attention à l’angle ! Il n’est défini que si on oriente le plan perpendiculaire à l’axe autour d’un vecteur particulier
de l’axe.
Une rotation-miroir n’admet aucun vecteur invariant non nul.
Déterminant, matrice , formule particulière pour un vecteur dans le plan perpendiculaire à l’axe.
3.
1.
Classification
Droite stable
Proposition. Pour tout automorphisme orthogonal f d’un espace euclidien de dimension trois, il existe des
droites vectorielles stables. Lorsque f n’est pas une symétrie, il existe une unique droite vectorielle stable et f est
une rotation ou une rotation-miroir.
Preuve.
1. Existence : première démonstration. L’application λ → det(f − λ Id) est une fonction polynomiale
de degré 3 à coefficients réels, elle admet donc au moins une racine réelle d’après le théorème de la valeur
intermédiaire. ...
2. Existence : deuxième démonstration. Si f est une symétrie, elle admet des droites stables.
Si f n’est pas une symétrie on considère l’endomorphisme
1
f − f −1
2
sa matrice dans une base orthonormée est antisymétrique car la matrice de f −1 est la transposée de la
matrice de f . Pour une orientation fixée de E, il existe donc un unique vecteur u tel que
1
ϕu =
f − f −1
2
De plus,
2f ◦ ϕu = f 2 − Id ⇒ ker(f 2 − Id) = ker ϕu = Vect(u)
E
E
car f est bijective. On en déduit que (f − IdE ) ◦ (f + IdE ) n’est pas bijective. Cela entraine que l’une des
deux n’est pas bijective et il existe donc des droites invariantes.
3. Si f (x) = λx avec x non nul, alors λ vaut 1 ou −1.
4. Unicité. Si f (x) = x ou f (x) = −x alors x ∈ Vect(u) pour le u défini en 2.
5. Classification. On considère Vect(u)⊥ , stable discussion déterminant et restriction.
2.
Élements géométriques d’une matrice orthogonale : pratique
Remarques.
1. Le cos de l’angle s’obtient en considérant la trace de la matrice qui est la même pour toutes les
bases.
2. Lorsque l’axe est orienté par le vecteur u lu dans la partie antisymétrique de la matrice, l’angle a un sinus
positif. On peut donc l’exprimer avec un arccos puisque son cos est calculable.
3. Si l’axe est obtenu en résovant une équation, et si v est un vecteur directeur de cet axe. On peut obtenir le
signe du sinus de l’angle θ autour de ce vecteur en utilisant
det(x, f (x), v) = kq(x)k2 sin θ
où q est la projection orthogonale sur Vect(v)⊥ .
4. Les rotations-miroirs n’ont pas de vecteur invariant autre que 0E .
5. Lorsque la matrice est symétrique la nature de la symétrie se lit sur la trace.
– pour une réflexion : 1
– pour un retournement : −1
5
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3.
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Décompositions en réflexions ou retournements
En dimension 2. Angle de la rotation r = sD0 ◦ sD lorsque l’on connait l’angle orienté des droites (D, D0 ).
Proposition. Toute rotation d’axe Vect(u) est la composée de deux réflexions par rapport à des plans contenant
Vect(u). Une de ces réflexions est arbitraire.
Démonstration. Considérons un plan H contenant Vect(u). Il existe v formant avec u une base orthogonale de H.
Formons sH ◦ f . C’est un élément de O− (E) pour lequel u est invariant. Il ne peut être une rotation-miroir car il
contient des points fixes non nuls.C’est donc une réflexion par rapport à un plan H 0 qui contient u. On en déduit :
f = sH ◦ s0H
Proposition. Toute rotation d’axe Vect(u) est la composée de deux retournements par rapport à des droites
orthogonales à Vect(u). Un de ces retournement est arbitraire.
Démonstration. Cela résulte de ce que SH est une réflexion si et seulement si −sH est un retournement.
Proposition. Si une matrice est symétrique et orthogonale, c’est la matrice d’une symétrie orthogonale dans une
base orthonormée. Lorsque la trace est égale à +1 c’est une réflexion, lorsque la trace est égale à −1 c’est un
retournement.
6
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