Isométries vectorielles

MPSI-´ El´ements de cours Isom´etries vectorielles 24 mars 2017
Isom´etries vectorielles
R´edaction incompl`ete. Version alpha
Plan
I. Isom´etries vectorielles d’un espace euclidien ..................... 1
1. Matrice d’un endomorphisme dans une base orthonorm´ee ............... 1
2. Conservation du produit scalaire ........................ 2
3. Isom´etrie vectorielle ............................. 2
4. Matrices orthogonales ............................ 3
5. Orientation - D´eterminant ........................... 3
II. Isom´etries vectorielle en dimension 2 ........................ 3
III. Isom´etries vectorielles en dimension 3 (hors programme) ................. 4
1. Produit vectoriel .............................. 4
1. D´efinition du produit vectoriel ........................ 4
2. Antisym´etrie-bilin´earit´e .......................... 4
3. Tournicoter ............................... 4
4. Expression en coordonn´ees ......................... 4
5. Double produit vectoriel .......................... 4
6. Matrice antisym´etrique ........................... 4
7. Description g´eom´etrique .......................... 4
2. Rotations et rotations-miroirs ......................... 5
3. Classification................................ 5
1. Droite stable .............................. 5
2. ´ Elements g´eom´etriques d’une matrice orthogonale : pratique ............. 5
3. D´ecompositions en r´eflexions ou retournements .................. 6
Index
– ´equation −→ a∧−→ x=−→ b,4
– angle orient´e de deux droites, 3
– angle orient´e de deux vecteurs, 3
– automorphisme orthogonal, 2
– formule du double produit vectoriel, 4
– groupe orthogonal, 2
– groupe sp´ecial orthogonal, 2
– isom´etrie vectorielle, 2
– matrice antisym´etrique, 4
– matrice orthogonale, 3
– produit mixte, 4
– r´eflexion, 2
– rotation, 3,5
– rotation-miroir, 5
– sym´etrie orthogonale, 2
Les sections II et III reproduisent la d´efinition du produit vectoriel introduit dans le document sur la G´eom´etrie
´el´ementaire de l’espace.
I. Isom´etries vectorielles d’un espace euclidien
1. Matrice d’un endomorphisme dans une base orthonorm´ee
Proposition. Soit U= (u1,· · · , up)une base orthonorm´ee d’un espace euclidien Edont le produit scalaire est
not´e (./.), soit fun endomorphisme de E. Pour iet jentre 1et p, le terme i, j de la matrice de fdans Uest
(ui/f(uj))
Preuve. Soit A= MatUf, par d´efinition :
f(uj) =
p
X
k=1
ak,j uk
En formant le produit scalaire contre ui, comme la base est orthonorm´ee, tous les (uk/uj) sont nuls sauf pour
k=io`u le terme vaut 1. On en d´eduit la formule annonc´ee.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
1R´emy Nicolai C2263

MPSI-´ El´ements de cours Isom´etries vectorielles 24 mars 2017
La proposition pr´ec´edente permet de caract´eriser les endomorphismes dont la matrice dans une base ortho-
norm´ee est sym´etrique.
Proposition (hors programme).Soit Eun espace euclidien dont le produit scalaire est not´e (./.)et fun endo-
morphisme de E. Les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
(1) ∀(x, y)∈E2: (f(x)/y)=(x/f(y))
(2) Pour toute base orthonorm´ee U: Mat
Ufest sym´etrique
Exemple. Les projections orthogonales v´erifient cette propri´et´e. Les affinit´es orthogonales qui sont des combi-
naisons lin´eaires de projections orthogonales la v´erifient aussi. Les sym´etries orthogonales qui sont des affinit´es
particuli`eres la v´erifient aussi.
En effet, soit pune projection orthogonale sur A. Introduisons la projection orthogonale qsur A⊥. On a alors :
(p(x)/y)=(p(x)/p(y)) + (p(x), q(y))
| {z }
=0
= (p(x)/p(y)) + (q(x), p(y))
| {z }
=0
= (x, p(y)
Exercice trait´e en classe Eao10 : adjoint d’un endomorphisme, image et noyau, ´equations lin´eaires sans solution.
2. Conservation du produit scalaire
Dans un espace euclidien Eavec un produit scalaire (./.), on dira qu’un endomorphisme fconserve le produit
scalaire si et seulement si :
∀(x, y)∈E2: (f(x)/f(y)) = (y/y)
On dira que fconserve la norme si et seulement si :
∀x∈E:kf(x)k=kxk
Comme kxk=p(x/x), tout endomorphisme qui conserve le produit scalaire conserve la norme. R´eciproquement,
comme (x/y) = 1
4kx+yk2− kx−yk2, tout endomorphisme qui conserve la norme conserve le produit scalaire.
Remarque. On peut montrer (exercice Eee01 de la feuille sur les espaces euclidiens) que si fest une application
quelconque dans un espace euclidien E(elle n’est pas suppos´ee lin´eaire) la conservation du produit scalaire entraine
la lin´earit´e.
3. Isom´etrie vectorielle
D´efinition. Dans un espace euclidien E, un endomorphisme est une isom´etrie vectorielle (on dit aussi endomor-
phisme orthogonal) si et seulement si il conserve le produit scalaire (ou la norme). L’ensemble des endomorphismes
orthogonaux est not´e O(E).
Proposition. L’ensemble des endomorphismes orthogonaux (O(E),◦)est un sous-groupe du groupe (GL(E),◦)
des automorphismes de E.
Preuve. En effet tout forthogonal est bijectif car son noyau est r´eduit `a {0E}`a cause de la conservation de la
norme. Il est ´evident que si fet gsont orthogonaux alors f◦get f−1conservent le produit scalaire et sont donc
orthogonaux.
Remarque. Les mots isom´etrie vectorielle et automorphisme orthogonal sont strictement synonymes.
Exemple. Les sym´etries orthogonales sont des endomorphismes orthogonaux ( en particulier les r´eflexions :
sym´etries par rapport `a un hyperplan).
Proposition. Un endomorphisme fde Eeuclidien est orthogonal si et seulement si l’image par fd’une base
orthonorm´ee est une base orthonorm´ee.
Preuve. Un sens est ´evident, l’autre r´esulte de la bilin´earit´e du produit scalaire.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
2R´emy Nicolai C2263

MPSI-´ El´ements de cours Isom´etries vectorielles 24 mars 2017
4. Matrices orthogonales
D´efinition. Une matrice A`a plignes et pcolonnes est dite orthogonale lorsque
t
AA =Ip
Notation. L’ensemble des matrices orthogonales `a plignes et pcolonnes est not´e Op(R).
Remarque.
t
AA =Ip⇔At A=Ip
En effet, lorsque le produit de deux matrices carr´ees est ´egal `a 1. Le produit des d´eterminants de ces matrices est
aussi ´egal `a 1. Elles sont donc inversibles. En multipliant par l’inverse de l’une, on montre qu’elles sont inverses
l’une de l’autre. Ainsi une matrice est orthogonale si et seulement si elle est inversible avec son inverse ´egale `a sa
transpos´ee.
Proposition. Soit Eeuclidien de dimension p, soit Uune base orthonorm´ee de Eet f∈ L(E). Alors fest une
isom´etrie vectorielle si et seulement si MatUfest orthogonale.
Proposition. (Op(R),×)est un sous-groupe de (GLn(R),×).
On a d´ej`a d´efini le produit scalaire canonique sur les matrices colonnes :
∀(X, Y )∈ Cn,1(R)2(X, Y )→t X Y = (X/Y )
Il permet de caract´eriser l’orthogonalit´e d’une matrice par une propri´et´e de ses colonnes.
Proposition. Une matrice est orthogonale si et seulement si la famille form´ee par ses colonnes est orthonorm´ee
pour le produit scalaire canonique.
Proposition. Soit Aune base orthonorm´ee, Bune base et P=PAB la matrice de passage. Alors Best une base
orthonorm´ee si et seulement si Pest orthogonale.
Remarque. Dans une formule de changement de base pour un endomorphisme, si les deux bases sont orthonorm´ees,
on peut ´ecrire t Pau lieu de P−1.
Proposition (hors programme).Soit Eeuclidien et f∈ L(E). L’application fest une sym´etrie orthogonale si
et seulement si sa matrice dans une base orthonorm´ee directe est sym´etrique et orthogonale.
Preuve. `a compl´eter
5. Orientation - D´eterminant
Lorsque l’espace est orient´e, comme le d´eterminant d’une matrice orthogonale directe est ´egal `a 1, le d´eterminant
d’une famille de vecteurs est le mˆeme dans n’inporte quelle base orthonorm´ee directe.
II. Isom´etries vectorielle en dimension 2
Forme des matrices de O+
2(R) et O− 2(R).
O−
2(R) est constitu´e de matrices sym´etriques. Les ´el´ements de O−(E) sont des r´eflexions.
O−
2(R) est isomorphe `a U. En particulier il est commutatif.
Lorsque Eest orient´e, la matrice d’un ´el´ement de O+(E) est la mˆeme dans n’importe quelle base orthonorm´ee
directe.
D´efinition d’une rotation d’angle θdans un plan orient´e. Comment change l’angle si on change l’orientation du
plan ?
Proposition. Si rest une rotation d’angle θdans un plan orient´e et xun vecteur non nul alors
(x/r(x)) = kxk2cos θdet(x, r(x)) = kxk2sin θ
Preuve. Il existe une base orthonorm´ee directe dont le premier vecteur est x. Dans cette base ... `a r´ediger...
D´efinition. angle orient´e de deux vecteurs `a r´ediger
D´efinition. angle orient´e de deux droites `a r´ediger
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
3R´emy Nicolai C2263

MPSI-´ El´ements de cours Isom´etries vectorielles 24 mars 2017
III. Isom´etries vectorielles en dimension 3 (hors programme)
1. Produit vectoriel
1. D´efinition du produit vectoriel
D´efinition de la fonction ϕx.
D´efinition. Soit −→ uet −→ vdeux vecteurs fix´es. Il existe un unique vecteur not´e −→ u∧−→ vtel que :
∀−→ w∈E: det(−→ u , −→ v , −→ w)=(−→ u∧−→ v /−→ w)
Expression des coordonn´ees dans une base orthonorm´ee directe.
Proposition. Soient −→ uet −→ vdeux vecteurs non coplanaires et αl’angle orient´e (−→ u , −→ v)dans le plan Vect(−→ u , −→ v)
orient´e autour de −→ u∧−→ v. Alors
k−→ u∧−→ vk=k−→ ukk−→ vksin α
Preuve. On consid`ere la bon+ ... `a r´ediger
Remarque. On constate donc que si on oriente le plan autour de −→ u∧−→ v, l’angle orient´e a toujours un repr´esentant
dans [0, π]. On peut se repr´esenter aussi ce r´esultat de la mani`ere suivante. Le produit vectoriel de −→ u∧−→ vest
l’unique vecteur −→ Porthogonal `a −→ uet −→ vtel que (−→ u , −→ v , −→ P) soit une base directe et que la longueur de −→ Psoit
l’aire (positive) du parall´elogramme construit sur les deux vecteurs.
Proposition. Soient −→ uet −→ vdeux vecteurs quelconques.
– antisym´etrie : −→ u∧−→ v=−−→ v∧−→ u.
– bilin´earit´e
–−→ u∧−→ vest orthogonal `a −→ uet −→ v.
– aire et sin
k−→ u∧−→ vk=k−→ ukk−→ vksin δ
o`u δest l’´ecart angulaire entre les deux vecteurs. Le module du produit vectoriel est l’aire du parall´elogramme
construit sur les vecteurs.
–−→ u∧−→ v=−→ 0si et seulement si les vecteurs sont colin´eaires.
–−→ uet −→ vnon colin´eaires entraine −→ u , −→ v , −→ u∧−→ vbase directe de E.
–(−→ u , −→ v)famille orthonorm´ee entraine −→ u , −→ v , −→ u∧−→ vbase orthonorm´ee directe de E.
Preuve. `a compl´eter
2. Antisym´etrie-bilin´earit´e
3. Tournicoter
Dans un produit mixte.
4. Expression en coordonn´ees
5. Double produit vectoriel
Proposition (formule du double produit vectoriel).
∀(−→ u , −→ v , −→ w)∈E3: (−→ u∧−→ v)∧−→ w= (−→ u /−→ w)−→ v−(−→ v /−→ w)−→ u
Preuve. `a compl´eter
´
Etude de l’´equation −→ a∧−→ x=−→ bd’inconnue −→ x.
6. Matrice antisym´etrique
Si une matrice est antisym´etrique, c’est la matrice d’une application ϕxdans une base orthonorm´ee directe.
Les coordonn´ees de xse lisent sur la matrice sans r´esoudre de syst`eme.
7. Description g´eom´etrique
La restriction de ϕxau plan orthogonal `a xest une rotation d’angle π
2compos´ee avec la multiplication par kxk
(lorsque ce plan est orient´e autour de x).
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
4R´emy Nicolai C2263

MPSI-´ El´ements de cours Isom´etries vectorielles 24 mars 2017
2. Rotations et rotations-miroirs
Dans ce paragraphe, on d´efinit deux types de tranformations particuli`eres.
Proposition. Soit Dune droite vectorielle dans un espace euclidien Ede dimension 3, soit Ale plan orthogonal
`a D. La projection orthogonale sur Dest not´ee p, celle sur Aest not´ee q. Soit rune rotation de Ales applications
(E→E
x→p(x) + r(q(x)) (E→E x→ −p(x) + r(q(x))
sont des automorphismes orthogonaux de Eappel´es respectivement rotation et rotation-miroir (vectorielle) d’axe
D.
Attention `a l’angle ! Il n’est d´efini que si on oriente le plan perpendiculaire `a l’axe autour d’un vecteur particulier
de l’axe.
Une rotation-miroir n’admet aucun vecteur invariant non nul.
D´eterminant, matrice , formule particuli`ere pour un vecteur dans le plan perpendiculaire `a l’axe.
3. Classification
1. Droite stable
Proposition. Pour tout automorphisme orthogonal fd’un espace euclidien de dimension trois, il existe des
droites vectorielles stables. Lorsque fn’est pas une sym´etrie, il existe une unique droite vectorielle stable et fest
une rotation ou une rotation-miroir.
Preuve. 1. Existence : premi`ere d´emonstration. L’application λ→det(f−λId) est une fonction polynomiale
de degr´e 3 `a coefficients r´eels, elle admet donc au moins une racine r´eelle d’apr`es le th´eor`eme de la valeur
interm´ediaire. ...
2. Existence : deuxi`eme d´emonstration. Si fest une sym´etrie, elle admet des droites stables.
Si fn’est pas une sym´etrie on consid`ere l’endomorphisme
1
2f−f−1
sa matrice dans une base orthonorm´ee est antisym´etrique car la matrice de f−1est la transpos´ee de la
matrice de f. Pour une orientation fix´ee de E, il existe donc un unique vecteur utel que
ϕu=1
2f−f−1
De plus,
2f◦ϕu=f2−Id
E⇒ker(f2−Id E) = ker ϕu= Vect(u)
car fest bijective. On en d´eduit que (f−IdE)◦(f+ IdE) n’est pas bijective. Cela entraine que l’une des
deux n’est pas bijective et il existe donc des droites invariantes.
3. Si f(x) = λx avec xnon nul, alors λvaut 1 ou −1.
4. Unicit´e. Si f(x) = xou f(x) = −xalors x∈Vect(u) pour le ud´efini en 2.
5. Classification. On consid`ere Vect(u)⊥, stable discussion d´eterminant et restriction.
2. ´ Elements g´eom´etriques d’une matrice orthogonale : pratique
Remarques. 1. Le cos de l’angle s’obtient en consid´erant la trace de la matrice qui est la mˆeme pour toutes les
bases.
2. Lorsque l’axe est orient´e par le vecteur ulu dans la partie antisym´etrique de la matrice, l’angle a un sinus
positif. On peut donc l’exprimer avec un arccos puisque son cos est calculable.
3. Si l’axe est obtenu en r´esovant une ´equation, et si vest un vecteur directeur de cet axe. On peut obtenir le
signe du sinus de l’angle θautour de ce vecteur en utilisant
det(x, f(x), v) = kq(x)k2sin θ
o`u qest la projection orthogonale sur Vect(v)⊥.
4. Les rotations-miroirs n’ont pas de vecteur invariant autre que 0E.
5. Lorsque la matrice est sym´etrique la nature de la sym´etrie se lit sur la trace.
– pour une r´eflexion : 1
– pour un retournement : −1
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
5R´emy Nicolai C2263