Chapitre 27 : Puissances 2 1. Définition de a1 Par exemple, on souhaite définir 31. On veut cependant que les propriétés restent vraie. Par exemple, on doit avoir : 31 × 35 = 35+1 = 36 Mais, on aussi : 3 × 35 = 35+1 = 36 On doit donc nécésseraiment avoir : 31 = 3 D’où la définition suivante : Définition : Pour tout nombre a, on pose a1 = a 2. Définition de a0 Par exemple, on souhaite définir 30. On veut cependant que la propriété 1 reste vraie. Par exemple, on doit avoir : 30 × 35 = 30+1 = 35 On doit donc nécesseraiment avoir : 30 = 1 Définition : Pour tout nombre a non nul, on pose : a0 = 1. 3. Puissance d’exposant négatif 3.1 Définition Objectif : soient a un nombre non nul et n un nombre entier naturel, on souhaite définir a-n. On souhaite cependant que les propriétés énoncées dans le paragraphe précédent restent vraies. En particulier, on doit avoir : 34 4−8 −4 =3 =3 mais on aussi : 38 On doit donc avoir : 3−4 = 34 1 = 38 3 4 1 4 3 Plus généralement, on a la définition suivante : Définition : Pour tout nombre a non nul et tout nombre entier naturel n, on pose : a-n = 1 n a Exemples : A=5−2 1 A= 2 5 1 A= 25 B=10−3 1 B= 3 10 1 B= =0,001 1000 3.2 Propriétés On admet que les propriétés du chapitre 3 sont également vraies dans le cas d’exposants négatifs : Théorème Pour tous nombres a et b non nuls et tous nombres entiers relatifs m et n, on a : an × am = an+m am =a m−n n a (ab)n = an × bn n ( a m ) =a mn 4. Puissances de dix 4.1 Calcul d'une puissance de dix On admet la propriété suivante : Propriété Pour tout nombre strictement positif n, on a : 10 n=1 00...0 ⏟ n zéros et 10−n=0,0...0 ⏟1 n zéros 4.2 Produit d'un nombre décimal par une puissance de dix On admet les propriétés suivantes : Propriétés Soit n un nombre entier naturel. • Pour calculer le produit d'un nombre décimal par 10n, on déplace la virgule de n rangs vers la droite. • Pour calculer le produit d'un nombre décimal par 10-n, on déplace la virgule de n rangs vers la gauche. 5. Notation scientifique d'un nombre décimal On admet la propriété suivante : Propriété : Pour tout nombre décimal d, il existe un nombre décimal a et un nombre entier relatif n tel que : • La valeur absolue de a soit supérieure à 1 et strictement inférieure à 10. • d = a × 10n. On donne alors la définition suivante : Définition Un nombre décimal est écrit en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme a × 10n avec : • a qui est un nombre décimal dont la valeur absolue est supérieure à 1 et strictement inférieure à 10. • n qui est un nombre entier relatif.