Chapitre 27 : Puissances 2

Chapitre 27 : Puissances 2
1. Dénition de a1
Par exemple, on souhaite dénir 31.
On veut cependant que les propriétés restent vraie.
Par exemple, on doit avoir : 31 × 35 = 35+1 = 36
Mais, on aussi : 3 × 35 = 35+1 = 36
On doit donc nécésseraiment avoir : 31 = 3
D’où la dénition suivante :
Dénition : Pour tout nombre a, on pose a1 = a
2. Dénition de a0
Par exemple, on souhaite dénir 30.
On veut cependant que la propriété 1 reste vraie.
Par exemple, on doit avoir : 30 × 35 = 30+1 = 35
On doit donc nécesseraiment avoir : 30 = 1
Dénition : Pour tout nombre a non nul, on pose : a0 = 1.

3. Puissance d’exposant négatif
3.1 Dénition
Objectif : soient a un nombre non nul et n un nombre entier naturel, on souhaite dénir a-n.
On souhaite cependant que les propriétés énoncées dans le paragraphe précédent restent vraies.
En particulier, on doit avoir :
34
38=34−8=3−4
mais on aussi :
34
38=1 34
On doit donc avoir :
3−4=1
34
Plus généralement, on a la dénition suivante :
Dénition : Pour tout nombre a non nul et tout nombre entier naturel n, on pose :
a-n =
1
an
Exemples :
A=5−2
A=1
52
A=1
25
B=10−3
B=1
103
B=1
1000 =0,001

3.2 Propriétés
On admet que les propriétés du chapitre 3 sont également vraies dans le cas d’exposants négatifs :
Théorème Pour tous nombres a et b non nuls et tous nombres entiers relatifs m et n, on a :
an × am = an+m
am
an=am−n
(ab)n = an × bn
( am )
n=amn
4. Puissances de dix
4.1 Calcul d'une puissance de dix
On admet la propriété suivante :
Propriété
Pour tout nombre strictement positif n, on a :
10n=1 00...0
⏟
n zéros
et 10−n=0,0 ...0
⏟
n zéros
1

4.2 Produit d'un nombre décimal par une puissance de dix
On admet les propriétés suivantes :
Propriétés
Soit n un nombre entier naturel.
•Pour calculer le produit d'un nombre décimal par 10n, on déplace la virgule de n rangs vers
la droite.
•Pour calculer le produit d'un nombre décimal par 10-n, on déplace la virgule de n rangs vers
la gauche.
5. Notation scientique d'un nombre décimal
On admet la propriété suivante :
Propriété :
Pour tout nombre décimal d, il existe un nombre décimal a et un nombre entier relatif n tel que :
•La valeur absolue de a soit supérieure à 1 et strictement inférieure à 10.
•d = a × 10n.
On donne alors la dénition suivante :
Dénition
Un nombre décimal est écrit en notation scientique lorsqu'il est écrit sous la forme a × 10n avec :
•a qui est un nombre décimal dont la valeur absolue est supérieure à 1 et strictement
inférieure à 10.
•n qui est un nombre entier relatif.