2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2016/2017
Feuille d’exercices no 5 – Formes quadratiques
1  Soit E le R-espace vectoriel R2 . Dans chacun des cas suivants, prouver que l’application φ : E × E → R
définie, pour tous x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ E, par :
1) φ(x, y) = x1 y1 + x2 y2 ,
2) φ(x, y) = x1 y2 + x2 y1 ,
3) φ(x, y) = x1 y1 ,
4) φ(x, y) = (x1 + x2 )(y1 + y2 ),
3
3
5) φ(x, y) = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 6x2 y2 ,
2
2
est une forme bilinéaire symétrique sur E. Construire la matrice de φ dans la base canonique E = (e1 , e2 ) de E,
puis déterminer son rang et son noyau.
2  Soient E le R-espace vectoriel R2 et φ : E × E → R définie, pour tous x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ E, par :
φ(x, y) = x1 y1 − x2 y2 .
1) a. Justifier que φ est une forme bilinéaire symétrique.
b. Construire la matrice de φ dans la base canonique E = (e1 , e2 ) de E.
c. Montrer que φ est non dégénérée.
2) Déterminer la forme quadratique q associée à φ.
3) Dans E, on considère les droites vectorielles D∞ = Vect(0, 1) et, pour tout a ∈ R, Da = Vect(1, a). Soient
⊥
et, pour tout a ∈ R, Da⊥ les orthogonaux respectifs de D∞ et Da .
D∞
⊥
.
a. Déterminer Da⊥ , pour tout a ∈ R∗ , ainsi que D0⊥ et D∞
b. Pour quelles valeurs de a ∈ R a-t-on E = Da ⊕ Da⊥ ?
3  Soient q1 , q2 , q3 les formes quadratiques sur le R-espace vectoriel R3 définies, pour tous x, y, z ∈ R, par :
q1 (x, y, z) = 2x2 + 6xy − 2xz + y 2 + 4yz − 3z 2 ,
q1 (x, y, z) = x2 + y 2 + xz,
q3 (x, y, z) = xy + 3xz.
Pour tout j ∈ {1, 2, 3} :
1) Écrire la matrice dans la base canonique de R3 de la forme bilinéaire symétrique associée à qj , et déterminer
son rang et son noyau.
2) Décomposer qj en somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes, puis déterminer le rang
et la signature de qj .
4  Soient φ1 , φ2 , φ3 les formes bilinéaires symétriques sur le R-espace vectoriel
matrices dans la base canonique E = (e1 , e2 , e3 ) de R3 :





2 1 1
2 −1 −1
J1 =  1 2 1  ,
J2 =  −1 2 −1  ,
J3 = 
1 1 2
−1 −1 2
R3 ayant respectivement pour
2
−1
0
−1
2
−1

0
−1  .
2
Pour tout j ∈ {1, 2, 3}, expliciter la forme quadratique qj associée à φj . Écrire qj comme somme de carrés de
formes linéaires linéairement indépendantes, puis déterminer la signature et le rang de qj .
5  Soient E le R-espace vectoriel R5 , et q la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique φ
sur E ayant pour matrice dans la base canonique de E :


0 1 0 0 1
 1 0 1 0 0 



A = 
 0 1 0 1 0 .
 0 0 1 0 1 
1 0 0 1 0
1) Pour tout vecteur v = (x1 , . . . , x5 ) ∈ E, exprimer q(v) en fonction de x1 , . . . , x5 .
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Feuille d’exercices no 5
2M371 – Algèbre linéaire 2
2) Écrire q comme somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes.
3) Déterminer le rang et la signature de q.
6  Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique q sur le R-espace vectoriel R5 définie, pour tous
x, y, z, t, u ∈ R, par :
q(x, y, z, t, u) = x2 + y 2 + 4z 2 + 4t2 + 2xy + 4xz − 4xt + 4yz − 4yt − 5zt + 2zu + tu.
7  Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique q sur le R-espace vectoriel R4 définie, pour tous
x, y, z, t ∈ R, par :
q(x, y, z, t) = x2 + 4z 2 + t2 + 4xz − 2xt − 3zt − yz + 2yt.
8  Soient E, F, G trois C-espaces vectoriels, HomC (F, G) l’ensemble des applications C-linéaires de F vers G,
et BilinC (E × F, G) l’ensemble des applications C-bilinéaires de E × F vers G.
1) Expliquer brièvement pourquoi HomC (F, G) et BilinC (E × F, G) sont naturellement des C-espaces vectoriels.
2) Montrer qu’il existe un isomorphisme naturel de C-espaces vectoriels entre HomC (F, G) et BilinC (E × F, G).
9  Soient E un R-espace vectoriel, et B : E × E → R une forme bilinéaire. On rappelle que la forme bilinéaire
B est dite alternée si B(v, v) = 0 pour tout v ∈ E.
1) a. Montrer que B est alternée si et seulement si B(v, w) = −B(w, v) pour tous v, w ∈ E.
b. Quelle propriété du corps R a-t-on utilisé de façon cruciale ?
2) Montrer que B de décompose de manière unique comme somme d’une forme bilinéaire symétrique et d’une
forme bilinéaire alternée.
On suppose désormais que B vérifie la propriété :
∀ v, w ∈ E,
B(v, w) = 0 =⇒ B(w, v) = 0.
(∗)
On veut montrer que B est symétrique ou alternée. Pour ce faire, supposons B non alternée, c’est-à-dire qu’il
existe v0 ∈ E tel que B(v0 , v0 ) 6= 0 ; fixons un tel vecteur v0 .
3) a. Montrer que B[u, B(u, v)u − B(u, u)v] = 0 pour tous u, v ∈ E.
b. En déduire que B(u, v) = B(v, u) pour tous u, v ∈ E vérifiant B(u, u) 6= 0.
4) Soient v, w ∈ E tels que B(v, v) = 0.
a. Montrer que B(v0 + λv, v0 + λv) = B(v0 , v0 ) + 2λB(v0 , v) pour tout λ ∈ R.
b. Justifier l’existence de λ ∈ R∗ tel que B(v0 + λv, v0 + λv) = 0.
c. Déduire de 3.b et 4.b que B(v, w) = B(w, v).
5) Conclure.
10  Soient n ∈ N∗ et q0 , q les formes quadratiques sur Mn (R) définies, pour toute matrice M ∈ Mn (R), par :
q0 (M ) = tr M t M ,
q(M ) = tr M 2 .
1) Montrer que q0 est une forme quadratique définie positive.
2) a. Montrer que q est une forme quadratique, et expliciter sa forme polaire φ.
b. Prouver que Symn (R) et Antn (R) sont des sous-espaces φ-orthogonaux de Mn (R).
c. Déterminer le rang et la signature de q.
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