2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2016/2017
Feuille d’exercices no5 – Formes quadratiques
1Soit Ele R-espace vectoriel R2. Dans chacun des cas suivants, prouver que l’application φ:E×E→R
définie, pour tous x= (x1, x2), y = (y1, y2)∈E, par :
1) φ(x, y) = x1y1+x2y2,
2) φ(x, y) = x1y2+x2y1,
3) φ(x, y) = x1y1,
4) φ(x, y)=(x1+x2)(y1+y2),
5) φ(x, y) = x1y1−3
2x1y2−3 2x2y1+ 6x2y2,
est une forme bilinéaire symétrique sur E. Construire la matrice de φdans la base canonique E= (e1, e2)de E,
puis déterminer son rang et son noyau.
2Soient Ele R-espace vectoriel R2et φ:E×E→Rdéfinie, pour tous x= (x1, x2), y = (y1, y2)∈E, par :
φ(x, y) = x1y1−x2y2.
1) a. Justifier que φest une forme bilinéaire symétrique.
b. Construire la matrice de φdans la base canonique E= (e1, e2)de E.
c. Montrer que φest non dégénérée.
2) Déterminer la forme quadratique qassociée à φ.
3) Dans E, on considère les droites vectorielles D∞= Vect(0,1) et, pour tout a∈R,Da= Vect(1, a). Soient
D⊥
∞et, pour tout a∈R,D⊥ ales orthogonaux respectifs de D∞et Da.
a. Déterminer D⊥
a, pour tout a∈R∗, ainsi que D⊥
0et D⊥
∞.
b. Pour quelles valeurs de a∈Ra-t-on E=Da⊕D⊥
a?
3Soient q1, q2, q3les formes quadratiques sur le R-espace vectoriel R3définies, pour tous x, y, z ∈R, par :
q1(x, y, z)=2x2+ 6xy −2xz +y2+ 4yz −3z2,q1(x, y, z) = x2+y2+xz,q3(x, y, z) = xy + 3xz.
Pour tout j∈ {1,2,3}:
1) Écrire la matrice dans la base canonique de R3de la forme bilinéaire symétrique associée à qj, et déterminer
son rang et son noyau.
2) Décomposer qjen somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes, puis déterminer le rang
et la signature de qj.
4Soient φ1, φ2, φ3les formes bilinéaires symétriques sur le R-espace vectoriel R3ayant respectivement pour
matrices dans la base canonique E= (e1, e2, e3)de R3:
J1=
211
121
112
,J2=
2−1−1
−1 2 −1
−1−1 2
,J3=
2−1 0
−1 2 −1
0−1 2
.
Pour tout j∈ {1,2,3}, expliciter la forme quadratique qjassociée à φj. Écrire qjcomme somme de carrés de
formes linéaires linéairement indépendantes, puis déterminer la signature et le rang de qj.
5Soient Ele R-espace vectoriel R5, et qla forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique φ
sur Eayant pour matrice dans la base canonique de E:
A=
01001
10100
01010
00101
10010
.
1) Pour tout vecteur v= (x1, . . . , x5)∈E, exprimer q(v)en fonction de x1, . . . , x5.
1

2M371 – Algèbre linéaire 2 Feuille d’exercices no5
2) Écrire qcomme somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes.
3) Déterminer le rang et la signature de q.
6Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique qsur le R-espace vectoriel R5définie, pour tous
x, y, z, t, u ∈R, par :
q(x, y, z, t, u) = x2+y2+ 4z2+ 4t2+ 2xy + 4xz −4xt + 4yz −4yt −5zt + 2zu +tu.
7Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique qsur le R-espace vectoriel R4définie, pour tous
x, y, z, t ∈R, par :
q(x, y, z, t) = x2+ 4z2+t2+ 4xz −2xt −3zt −yz + 2yt.
8Soient E, F, G trois C-espaces vectoriels, HomC(F, G)l’ensemble des applications C-linéaires de Fvers G,
et BilinC(E×F, G)l’ensemble des applications C-bilinéaires de E×Fvers G.
1) Expliquer brièvement pourquoi HomC(F, G)et BilinC(E×F, G)sont naturellement des C-espaces vectoriels.
2) Montrer qu’il existe un isomorphisme naturel de C-espaces vectoriels entre HomC(F, G)et BilinC(E×F, G).
9Soient Eun R-espace vectoriel, et B:E×E→Rune forme bilinéaire. On rappelle que la forme bilinéaire
Best dite alternée si B(v, v)=0pour tout v∈E.
1) a. Montrer que Best alternée si et seulement si B(v, w) = −B(w, v)pour tous v, w ∈E.
b. Quelle propriété du corps Ra-t-on utilisé de façon cruciale ?
2) Montrer que Bde décompose de manière unique comme somme d’une forme bilinéaire symétrique et d’une
forme bilinéaire alternée.
On suppose désormais que Bvérifie la propriété :
∀v, w ∈E, B(v, w) = 0 =⇒B(w, v)=0. (∗)
On veut montrer que Best symétrique ou alternée. Pour ce faire, supposons Bnon alternée, c’est-à-dire qu’il
existe v0∈Etel que B(v0, v0)6= 0 ; fixons un tel vecteur v0.
3) a. Montrer que B[u, B(u, v)u−B(u, u)v]=0pour tous u, v ∈E.
b. En déduire que B(u, v) = B(v, u)pour tous u, v ∈Evérifiant B(u, u)6= 0.
4) Soient v, w ∈Etels que B(v, v)=0.
a. Montrer que B(v0+λv, v0+λv) = B(v0, v0)+2λB(v0, v)pour tout λ∈R.
b. Justifier l’existence de λ∈R∗tel que B(v0+λv, v0+λv)=0.
c. Déduire de 3.bet 4.bque B(v, w) = B(w, v).
5) Conclure.
10 Soient n∈N∗et q0, q les formes quadratiques sur Mn(R)définies, pour toute matrice M∈Mn(R), par :
q0(M) = tr MtM,q(M) = trM2.
1) Montrer que q0est une forme quadratique définie positive.
2) a. Montrer que qest une forme quadratique, et expliciter sa forme polaire φ.
b. Prouver que Symn(R)et Antn(R)sont des sous-espaces φ-orthogonaux de Mn(R).
c. Déterminer le rang et la signature de q.
2