MPSI B DM 6 28 novembre 2013 Sous

MPSI B DM 6 28 novembre 2013
Sous-groupes additifs r´eels
Un sous groupe (additif) de (R,+) est un ensemble de nombres r´eels contenant
0 et stable pour l’addition et la sym´etrisation. Cela signifie qu’une partie Gde R
est un sous-groupe lorsque
0∈G, ∀(x, y)∈G2:x+y∈G, ∀x∈G:−x∈G
Cela entraˆıne en particulier que pour tout x∈Get q∈Z,ng ∈Gcar il peut
s’´ecrire comme une somme de xou de −x.
Soient Aet Bdeux parties de R. On dit que Aest dense dans Blorsque
∀b∈B, ∀ε > 0:]b−ε, b +ε[∩A6=∅
Soit Gun sous groupe de (R,+), on dira que Gest discret lorsqu’il existe un
r´eel αstrictement positif tel que
G∩]0, α[= ∅
L’objet de ce probl`eme est d’´etudier les sous-groupes additifs de R.
Dans toute la suite, Gd´esigne un tel sous-groupe.
1. Formuler une proposition traduisant que Gn’est pas discret. Montrer que si
Gn’est pas discret alors :
∀x∈R,∀α > 0, G ∩[x, x +α[6=∅
2. Dans cette question, on suppose que Gest discret et contient un ´el´ement
autre que 0. Il existe alors un r´eel αstrictement positif tel que G∩]0, α[ = ∅.
a. Soit Iun intervalle de longueur α
2. Montrer que G∩Icontient au plus
un ´el´ement. Que peut-on en d´eduire pour l’intersection de Gavec un
intervalle quelconque de longueur finie ?
b. Montrer que G∩R∗
+admet un plus petit ´el´ement que l’on notera m.
c. Montrer que G={km, k ∈Z}. Un tel ensemble sera not´e Zm
3. Soit xet ydeux r´eels strictement positifs, on pose
X=Zx={kx, k ∈Z}, Y =Zy={ky, k ∈Z}, S ={mx +ny, (m, n)∈Z2}
a. V´erifier que X,Yet Ssont des sous-groupes de (R,+). On dira que X
est le sous-groupe engendr´e par x, que Yest le sous-groupe engendr´e
par yet que Sest le sous-groupe engendr´e par xet y.
b. Montrer que Sest discret si et seulement si x
y∈Q.
4. On suppose ici que x
yest irrationnel. D´efinissons des partie Aet B
A={kx, k ∈Z∗}, B ={ky, k ∈Z∗}
a. Montrer que A∩B=∅
b. Montrer que
inf{|a−b|,(a, b)∈A×B}= 0
5. En consid´erant un certain sous-groupe additif et en admettant que πest
irrationnel, montrer que {cos n, n ∈Z}est dense dans [−1,1].
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1R´emy Nicolai M0306E