MPSI B DM 6 28 novembre 2013
Sous-groupes additifs r´eels
Un sous groupe (additif) de (R,+) est un ensemble de nombres r´eels contenant
0 et stable pour l’addition et la sym´etrisation. Cela signifie qu’une partie Gde R
est un sous-groupe lorsque
0G, (x, y)G2:x+yG, xG:xG
Cela entraˆıne en particulier que pour tout xGet qZ,ng Gcar il peut
s’´ecrire comme une somme de xou de x.
Soient Aet Bdeux parties de R. On dit que Aest dense dans Blorsque
bB, ε > 0:]bε, b +ε[A6=
Soit Gun sous groupe de (R,+), on dira que Gest discret lorsqu’il existe un
r´eel αstrictement positif tel que
G]0, α[=
L’objet de ce probl`eme est d’´etudier les sous-groupes additifs de R.
Dans toute la suite, Gd´esigne un tel sous-groupe.
1. Formuler une proposition traduisant que Gn’est pas discret. Montrer que si
Gn’est pas discret alors :
xR,α > 0, G [x, x +α[6=
2. Dans cette question, on suppose que Gest discret et contient un ´el´ement
autre que 0. Il existe alors un r´eel αstrictement positif tel que G]0, α[ = .
a. Soit Iun intervalle de longueur α
2. Montrer que GIcontient au plus
un ´el´ement. Que peut-on en d´eduire pour l’intersection de Gavec un
intervalle quelconque de longueur finie ?
b. Montrer que GR
+admet un plus petit ´el´ement que l’on notera m.
c. Montrer que G={km, k Z}. Un tel ensemble sera not´e Zm
3. Soit xet ydeux r´eels strictement positifs, on pose
X=Zx={kx, k Z}, Y =Zy={ky, k Z}, S ={mx +ny, (m, n)Z2}
a. V´erifier que X,Yet Ssont des sous-groupes de (R,+). On dira que X
est le sous-groupe engendr´e par x, que Yest le sous-groupe engendr´e
par yet que Sest le sous-groupe engendr´e par xet y.
b. Montrer que Sest discret si et seulement si x
yQ.
4. On suppose ici que x
yest irrationnel. D´efinissons des partie Aet B
A={kx, k Z}, B ={ky, k Z}
a. Montrer que AB=
b. Montrer que
inf{|ab|,(a, b)A×B}= 0
5. En consid´erant un certain sous-groupe additif et en admettant que πest
irrationnel, montrer que {cos n, n Z}est dense dans [1,1].
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1emy Nicolai M0306E
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