Feuille d`exercices n

Feuille d’exercices no6
Mathématiques spéciales
1. Exercices Basiques
Exercice 1.
Exercice 1.
Soit Gun groupe. Démontrer que les ensembles suivantes sont des sous-groupes de G:
1. C(G) = {x∈G| ∀y∈G, xy =yx}- usuellement, C(G)est appelé le centre de G;
2. aHa−1={aha−1|h∈H}où a∈Get Hest un sous-groupe de G.
3. On suppose que Gest commutatif. Un élément x∈Gest dit de torsion s’il existe n∈N
tel que xn=e. Démontrer que l’ensemble des éléments de torsion de Gest un sous-groupe
de G.
Exercice 2.
Exercice 2.
Soit Gun groupe et H, K deux sous-groupes de G. Démontrer que H∪Kest un sous-groupe
de Gsi et seulement si H⊂Kou K⊂H.
Exercice 3.
Exercice 3.
Traduire en termes de morphismes de groupes les propriétés bien connues suivantes (dont le
domaine de validité a volontairement été omis) :
Exemple : ln(xy) = ln(x) + ln(y)⇝ln est un morphisme de groupes de (R∗
+,×)dans (R,+).
1. |zz′|=|z||z′|;
2. ei(x+y)=eixeiy ;
3. √xy =√x√y;
4. det(MM′) = det(M)det(M′).
Pour chacun des exemples précédents, déterminer le noyau et l’image du morphisme correspon-
dant. Lesquels de ces morphismes sont des isomorphismes ?
Exercice 4.
Exercice 4.
Montrer que f:x7→ 1
xest un morphisme de (R∗,×)dans lui-même et déterminer son noyau et
son image. De même pour f:x7→ 1
x2.
Exercice 5.
Exercice 5.
1. Soit n, m ∈Z. Montrer que m|n(mdivise n) si, et seulement si nZ⊂mZ.
2. a) Décrire les ensembles 3Z∩4Z,6Z∩9Z,4Z∩8Z;
b) Plus généralement, caractériser le sous-groupe nZ∩mZpour n, m ∈N.
1

3. Soit n, m ∈Z.
a) Montrer que
nZ+mZ={mu +nv |u, v ∈Z}
est un sous-groupe de Z;
b) Caractériser ce sous-groupe.
2. Exercices d’assimilation et d’entraînement
Exercice 6.
Exercice 6. gImportant : Caractérisation des sous-groupes engendrésImportant : Caractérisation des sous-groupes engendrés
Soit Gun groupe et A⊂G. On note
E(A) = {a1...an|n∈N∗, a1, ..., an∈A∪A−1}.
1. a) Montrer que A⊂E(A).
b) Montrer que E(A)est un sous-groupe de G.
c) En déduire que ⟨A⟩ ⊂ E(A).
2. a) Soit x∈E(A). Montrer que pour tout sous-groupe Hde Gcontenant A,x∈H.
b) En déduire que E(A)⊂ ⟨A⟩.
3. Conclure.
Exercice 7.
Exercice 7.
On note GLn(Z)l’ensemble des matrices de Mn(R), à coecients dans Z, qui sont inversibles
et dont l’inverse est à coecients dans Z.
1. Démontrer que si Mest à coecients dans Z, alors M∈GLn(Z)si et seulement si
det(M) = ±1.
2. En déduire que GLn(Z)est un sous-groupe de GLn(R).
Exercice 8.
Exercice 8.
Déterminer tous les morphismes de (Z,+) dans lui-même. Lesquels sont injectifs ? surjectifs ?
Exercice 9.
Exercice 9.
Démontrer que les groupes multiplicatifs (R∗,·)et (C∗,·)ne sont pas isomorphes.
Exercice 10.
Exercice 10.
Soit Gun groupe cyclique engendré par un élément xd’ordre n,Hun groupe et y∈H.
1. Montrer que :
2

il existe φ:G→Htel que φ(x) = ysi, et seulement si, yest d’ordre ni divisant n.
2. Soit n∈N. En déduire tous les morphismes de groupes entre :
a) Z/nZ→Z;
b) Z/nZ→Z/pZ(avec p∈N) ;
c) Z/nZ→C∗.
3. Exercices d’approfondissement
Exercice 11.
Exercice 11.
Soit Hun sous-groupe strict d’un groupe (G, ·). Déterminer le sous-groupe engendré par le
complémentaire de H.
Exercice 12.
Exercice 12.
Soit Gun groupe ni et Hun sous-groupe de G.
1. Montrer que pour tout a∈G,Het aH ={ah;h∈H}ont le même nombre d’éléments.
2. Soient a, b ∈G. Démontrer que aH =bH ou aH ∩bH =∅.
3. En déduire que le cardinal de Hdivise le cardinal de G.
Exercice 13.
Exercice 13.
On note Vl’ensemble des matrices du type
a b c d
d a b c
c d a b
b c d a
avec a, b, c, d ∈Zet Gl’ensemble des matrices M∈Vinversibles dans M4(R)et dont l’inverse
est dans V.
1. Montrer que Gest un sous-groupe de GL4(R).
2. Soit M∈V. Montrer que M∈Gsi, et seulement si, det M=±1.
3. Donner un groupe standard isomorphe à Gmuni du produit.
3