Mathématiques spéciales Feuille d’exercices no6 1. Exercices Basiques Exercice 1. Soit G un groupe. Démontrer que les ensembles suivantes sont des sous-groupes de G : 1. C(G) = {x ∈ G | ∀y ∈ G, xy = yx} - usuellement, C(G) est appelé le centre de G ; 2. aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H} où a ∈ G et H est un sous-groupe de G. 3. On suppose que G est commutatif. Un élément x ∈ G est dit de torsion s’il existe n ∈ N tel que xn = e. Démontrer que l’ensemble des éléments de torsion de G est un sous-groupe de G. Exercice 2. Soit G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. Démontrer que H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H. Exercice 3. Traduire en termes de morphismes de groupes les propriétés bien connues suivantes (dont le domaine de validité a volontairement été omis) : Exemple : ln(xy) = ln(x) + ln(y) ⇝ ln est un morphisme de groupes de (R∗+ , ×) dans (R, +). 1. |zz ′ | = |z||z ′ | ; 2. ei(x+y) = eix eiy ; √ √ √ 3. xy = x y ; 4. det(M M ′ ) = det(M ) det(M ′ ). Pour chacun des exemples précédents, déterminer le noyau et l’image du morphisme correspondant. Lesquels de ces morphismes sont des isomorphismes ? Exercice 4. Montrer que f : x 7→ x1 est un morphisme de (R∗ , ×) dans lui-même et déterminer son noyau et son image. De même pour f : x 7→ x12 . Exercice 5. 1. Soit n, m ∈ Z. Montrer que m|n (m divise n) si, et seulement si nZ ⊂ mZ. 2. a) Décrire les ensembles 3Z ∩ 4Z, 6Z ∩ 9Z, 4Z ∩ 8Z ; b) Plus généralement, caractériser le sous-groupe nZ ∩ mZ pour n, m ∈ N. 1 3. Soit n, m ∈ Z. a) Montrer que nZ + mZ = {mu + nv | u, v ∈ Z} est un sous-groupe de Z ; b) Caractériser ce sous-groupe. 2. Exercices d’assimilation et d’entraînement Exercice 6. gImportant: :Caractérisation Important Caractérisationdes dessous-groupes sous-groupesengendrés engendrés Soit G un groupe et A ⊂ G. On note { } E(A) = a1 ...an | n ∈ N∗ , a1 , ..., an ∈ A ∪ A−1 . 1. a) Montrer que A ⊂ E(A). b) Montrer que E(A) est un sous-groupe de G. c) En déduire que ⟨A⟩ ⊂ E(A). 2. a) Soit x ∈ E(A). Montrer que pour tout sous-groupe H de G contenant A, x ∈ H. b) En déduire que E(A) ⊂ ⟨A⟩. 3. Conclure. Exercice 7. On note GLn (Z) l’ensemble des matrices de Mn (R), à coefficients dans Z, qui sont inversibles et dont l’inverse est à coefficients dans Z. 1. Démontrer que si M est à coefficients dans Z, alors M ∈ GLn (Z) si et seulement si det(M ) = ±1. 2. En déduire que GLn (Z) est un sous-groupe de GLn (R). Exercice 8. Déterminer tous les morphismes de (Z, +) dans lui-même. Lesquels sont injectifs ? surjectifs ? Exercice 9. Démontrer que les groupes multiplicatifs (R∗ , ·) et (C∗ , ·) ne sont pas isomorphes. Exercice 10. Soit G un groupe cyclique engendré par un élément x d’ordre n, H un groupe et y ∈ H. 1. Montrer que : 2 il existe φ : G → H tel que φ(x) = y si, et seulement si, y est d’ordre fini divisant n. 2. Soit n ∈ N. En déduire tous les morphismes de groupes entre : a) Z/nZ → Z ; b) Z/nZ → Z/pZ (avec p ∈ N) ; c) Z/nZ → C∗ . 3. Exercices d’approfondissement Exercice 11. Soit H un sous-groupe strict d’un groupe (G, ·). Déterminer le sous-groupe engendré par le complémentaire de H. Exercice 12. Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. 1. Montrer que pour tout a ∈ G, H et aH = {ah; h ∈ H} ont le même nombre d’éléments. 2. Soient a, b ∈ G. Démontrer que aH = bH ou aH ∩ bH = ∅. 3. En déduire que le cardinal de H divise le cardinal de G. Exercice 13. On note V l’ensemble des matrices du type a d c b b c a b d a c d d c b a avec a, b, c, d ∈ Z et G l’ensemble des matrices M ∈ V inversibles dans M4 (R) et dont l’inverse est dans V . 1. Montrer que G est un sous-groupe de GL4 (R). 2. Soit M ∈ V . Montrer que M ∈ G si, et seulement si, det M = ±1. 3. Donner un groupe standard isomorphe à G muni du produit. 3