Limites et Continuité I # Limite Q lPinfini dPune fonction 1 # Limite

Limites et Continuité
I - Limite à l’in…ni d’une fonction
1 - Limite …nie :
Dé…nitions : f (x) tend vers L quand x tend vers +1; si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de
f (x) pour x assez grand.
f (x) tend vers L quand x tend vers 1; si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f (x) pour x < 0
et jxj assez grand.
Remarque : ces dé…nitions sont équivalentes aussi à :
f (x) tend vers L quand x tend vers +1; si tout intervalle ouvert de centre L contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez
grand.
f (x) tend vers L quand x tend vers 1; si tout intervalle ouvert de centre L contient toutes les valeurs de f (x) pour x < 0
et jxj assez grand.
Avec les quanti…cateurs :
f (x) tend vers L quand x tend vers +1; si 8 > 0 9 > 0 tel que 8x > ; on ait jf (x) Lj < :
f (x) tend vers L quand x tend vers 1; si 8 > 0 9 < 0 tel que 8x < ; on ait jf (x) Lj < :
Notation : lim f (x) = L (ou lim f = L) et lim f (x) = L (ou lim f = L).
x!+1
Exemples :
lim
x!+1
x! 1
p1
lim
x
x!+1
+1
1
xn
= 0 si n 2 N :
1
= 0:
2 - Limite in…nie :
Dé…nitions : f (x) tend vers +1 quand x tend vers +1; si pour tout réel A; on a f (x) > A pour x assez grand.
f (x) tend vers 1 quand x tend vers +1; si pour tout réel A; on a f (x) < A pour x assez grand.
f (x) tend vers +1 quand x tend vers 1; si pour tout réel A; on a f (x) > A pour x < 0 et jxj assez grand..
f (x) tend vers 1 quand x tend vers 1; si pour tout réel A; on a f (x) < A pour x < 0 et jxj assez grand..
Avec les quanti…cateurs :
f (x) tend vers +1 quand x tend vers +1; si 8A 2 R 9 > 0 tel que 8x > ; on ait f (x) > A:
f (x) tend vers 1 quand x tend vers +1; si 8A 2 R 9 > 0 tel que 8x > ; on ait f (x) < A:
f (x) tend vers +1 quand x tend vers 1; si 8A 2 R 9 < 0 tel que 8x < ; on ait f (x) > A:
f (x) tend vers 1 quand x tend vers 1; si 8A 2 R 9 < 0 tel que 8x < ; on ait f (x) < A:
Notation : lim f (x) = +1 (ou lim f = +1) et lim f (x) = +1 (ou lim f = +1).
x!+1
De même :
Exemples :
x! 1
+1
lim f (x) = +1 (ou lim f = +1) et lim f (x) =
x! 1
1
n
x! 1
lim x2n
x! 1
lim (x ) = +1 si n 2 N :
x!+1
1
1 (ou lim f =
1
= +1:
1).
II - Limite en un réel a d’une fonction
Soit un nombre réel a et une fonction f dé…nie en tout point d’un intervalle ouvert contenant a; sauf éventuellement en a:
1 - Limite …nie :
Dé…nition : f (x) tend vers L quand x tend vers a; si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f (x)
pour x assez proche de a.
Remarque : cette dé…nition est équivalente aussi à :
f (x) tend vers L quand x tend vers a; si tout intervalle ouvert de centre L contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez
proche de a.
Avec les quanti…cateurs :
f (x) tend vers L quand x tend vers a; si 8 > 0 9 > 0 tel que pour jx aj < ; on ait jf (x) Lj < :
Notation : lim f (x) = L (ou lim f = L)
x!a
a
3
Exemples : lim x
x!2
2 = 6:
lim
x! 2
x2 4
x+2
= lim
x! 2
(x 2)(x+2)
x+2
= lim (x
x! 2
2) =
4:
2 - Limite in…nie :
Dé…nition : f (x) tend vers +1 quand x tend vers a; si pour tout réel A; on a f (x) > A pour x assez proche de a.
f (x) tend vers 1 quand x tend vers a; si pour tout réel A; on a f (x) < A pour x assez proche de a.
Avec les quanti…cateurs :
f (x) tend vers +1 quand x tend vers a; si 8A 2 R 9 > 0 tel que pour jx aj < ; on ait f (x) > A:
f (x) tend vers 1 quand x tend vers a; si 8A 2 R 9 > 0 tel que pour jx aj < ; on ait f (x) < A:
Notation : lim f (x) = +1 (ou lim f = +1) et lim f (x) = 1 (ou lim f = 1).
x!a
Exemples : lim
x!2
a
1
(x 2)2
= +1:
x!a
lim
x! 2
4
x+2
=
a
1:
III - Asymptotes
1) Asymptote verticale : Quand lim f (x) = +1 (respectivement lim f (x) = 1) , on dit que la représentation graphique
x!a
x!a
de f admet une asymptote verticale d’équation x = a:
2) Asymptote horizontale : Quand lim f (x) = b (respectivement lim f (x) = b) , on dit que la représentation graphique
x!+1
x! 1
de f admet une asymptote horizontale d’équation y = b en +1 (respectivement en 1):
3) Asymptote oblique : Si lim (f (x) (ax + b)) = 0 (respectivement lim (f (x)
x!+1
x! 1
(ax + b)) = 0) , on dit que la
représentation graphique de f admet une asymptote oblique d’équation y = ax + b en +1 (respectivement en
1):
1
IV - Opérations sur les limites
Dans les tableaux ci-dessous, a désigne un réel, +1 ou 1; L et L0 sont deux réels.
1) Somme
lim f (x) =
L
L
L
+1
1
1
x!a
L0
lim g(x) =
x!a
lim (f (x) + g(x)) =
x!a
2) Produit
lim f (x) =
x!a
lim g(x) =
lim (f (x)
g(x)) =
3) Quotient
lim f (x) =
x!a
lim g(x) =
lim
L
L 6= 0
L
=
L
L
L 6= 0
1
L
L0
0
+1
1
1
+1
+1 ou
1
?
0
1
1
+1 ou
L 6= 0
1
1
0
1
0
1
1
?
?
0
0
+1
1
1
0
L
0
x!a
x!a
+1
L
x!a
1
L+L
0
x!a
f (x)
g(x)
+1
0
L 6= 0
1
1
?
4) Composée de fonctions
Propriété : Soient deux fonctions f; g et a; b; c trois réels ou +1 ou
lim (g f ) (x) = c:
1: Si lim f (x) = b et lim g(x) = c; alors
x!a
x!b
x!a
Exemple : lim sin x +
x! 4
4
= 1 car lim x +
x! 4
=
4
2
et lim sin(x) = 1:
x! 2
5) Limite à l’in…ni d’une fonction polynôme et d’une fonction rationnelle
Propriétés : La limite d’une fonction polynôme à l’in…ni est la limite de son terme de plus haut degré.
La limite d’une fonction rationnelle à l’in…ni est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
x2
x
x2 3
Exemple : lim
lim x4 3x = lim x4 = +1:
4x+1 = lim
4x = lim
4 = +1:
x!+1
x!+1
x! 1
x!+1
x! 1
V - Limites et ordre
Dans cette partie, a est un réel ou +1 ou 1; et L est un réel.
1) Théorèmes de comparaison : Soit f et g deux fonctions tel que pour tout x au voisinage de a; f (x)
i) Si lim f (x) = +1; alors lim g(x) = +1:
x!a
ii) Si lim g(x) =
x!a
x!a
1; alors lim f (x) =
x!a
x!a
0
1:
iii) Si lim f (x) = L; alors lim g(x) = L ; où L; L0 sont des réels, alors L
x!a
g(x):
L0 :
2) Théorème d’encadrement (ou théorème des gendarmes) : Soit f; g et h trois fonctions tel que pour tout x au
voisinage de a; f (x) g(x) h(x): Si lim f (x) = L et lim h(x) = L; alors lim g(x) = L:
x!a
x!a
x!a
2