Limites et Continuité I # Limite Q lPinfini dPune fonction 1 # Limite

Limites et Continuité
I - Limite à l’in…ni d’une fonction
1 - Limite …nie :
Dé…nitions : f(x)tend vers Lquand xtend vers +1;si tout intervalle ouvert contenant Lcontient toutes les valeurs de
f(x)pour xassez grand.
f(x)tend vers Lquand xtend vers 1;si tout intervalle ouvert contenant Lcontient toutes les valeurs de f(x)pour x < 0
et jxjassez grand.
Remarque : ces dé…nitions sont équivalentes aussi à :
f(x)tend vers Lquand xtend vers +1;si tout intervalle ouvert de centre Lcontient toutes les valeurs de f(x)pour xassez
grand.
f(x)tend vers Lquand xtend vers 1;si tout intervalle ouvert de centre Lcontient toutes les valeurs de f(x)pour x < 0
et jxjassez grand.
Avec les quanti…cateurs :
f(x)tend vers Lquand xtend vers +1;si 8 > 09 > 0tel que 8x > ; on ait jf(x)Lj< :
f(x)tend vers Lquand xtend vers 1;si 8 > 09 < 0tel que 8x < ; on ait jf(x)Lj< :
Notation : lim
x!+1f(x) = L(ou lim +1f=L) et lim x!1 f(x) = L(ou lim 1 f=L).
Exemples : lim
x!+11
xn= 0 si n2N:lim
x!+11
px= 0:
2 - Limite in…nie :
Dé…nitions : f(x)tend vers +1quand xtend vers +1;si pour tout réel A; on a f(x)> A pour xassez grand.
f(x)tend vers 1 quand xtend vers +1;si pour tout réel A; on a f(x)< A pour xassez grand.
f(x)tend vers +1quand xtend vers 1;si pour tout réel A; on a f(x)> A pour x < 0et jxjassez grand..
f(x)tend vers 1 quand xtend vers 1;si pour tout réel A; on a f(x)< A pour x < 0et jxjassez grand..
Avec les quanti…cateurs :
f(x)tend vers +1quand xtend vers +1;si 8A2R9 > 0tel que 8x > ; on ait f(x)> A:
f(x)tend vers 1 quand xtend vers +1;si 8A2R9 > 0tel que 8x > ; on ait f(x)< A:
f(x)tend vers +1quand xtend vers 1;si 8A2R9 < 0tel que 8x < ; on ait f(x)> A:
f(x)tend vers 1 quand xtend vers 1;si 8A2R9 < 0tel que 8x < ; on ait f(x)< A:
Notation : lim
x!+1f(x) = +1(ou lim +1f= +1) et lim x!1 f(x) = +1(ou lim 1 f= +1).
De même : lim
x!1 f(x) = +1(ou lim 1 f= +1) et lim x!1 f(x) = 1 (ou lim 1 f=1).
Exemples : lim
x!+1(xn) = +1si n2N:lim x!1 x2n= +1:
II - Limite en un réel ad’une fonction
Soit un nombre réel aet une fonction fdé…nie en tout point d’un intervalle ouvert contenant a; sauf éventuellement en a:
1 - Limite …nie :
Dé…nition : f(x)tend vers Lquand xtend vers a; si tout intervalle ouvert contenant Lcontient toutes les valeurs de f(x)
pour xassez proche de a.
Remarque : cette dé…nition est équivalente aussi à :
f(x)tend vers Lquand xtend vers a; si tout intervalle ouvert de centre Lcontient toutes les valeurs de f(x)pour xassez
proche de a.
Avec les quanti…cateurs :
f(x)tend vers Lquand xtend vers a; si 8 > 09 > 0tel que pour jxaj< ; on ait jf(x)Lj< :
Notation : lim
x!af(x) = L(ou lim af=L)
Exemples : lim
x!2x32= 6:lim x!2x24
x+2 = lim
x!2(x2)(x+2)
x+2 = lim
x!2(x2) = 4:
2 - Limite in…nie :
Dé…nition : f(x)tend vers +1quand xtend vers a; si pour tout réel A; on a f(x)> A pour xassez proche de a.
f(x)tend vers 1 quand xtend vers a; si pour tout réel A; on a f(x)< A pour xassez proche de a.
Avec les quanti…cateurs :
f(x)tend vers +1quand xtend vers a; si 8A2R9 > 0tel que pour jxaj< ; on ait f(x)> A:
f(x)tend vers 1 quand xtend vers a; si 8A2R9 > 0tel que pour jxaj< ; on ait f(x)< A:
Notation : lim
x!af(x) = +1(ou lim af= +1) et lim x!af(x) = 1 (ou lim af=1).
Exemples : lim
x!21
(x2)2= +1:lim
x!24
x+2 =1:
III - Asymptotes
1) Asymptote verticale : Quand lim
x!af(x) = +1(respectivement lim x!af(x) = 1),on dit que la représentation graphique
de fadmet une asymptote verticale d’équation x=a:
2) Asymptote horizontale : Quand lim
x!+1f(x) = b(respectivement lim x!1 f(x) = b),on dit que la représentation graphique
de fadmet une asymptote horizontale d’équation y=ben +1(respectivement en 1):
3) Asymptote oblique : Si lim
x!+1(f(x)(ax +b)) = 0 (respectivement lim x!1 (f(x)(ax +b)) = 0) ,on dit que la
représentation graphique de fadmet une asymptote oblique d’équation y=ax +ben +1(respectivement en 1):
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IV - Opérations sur les limites
Dans les tableaux ci-dessous, adésigne un réel, +1ou 1; L et L0sont deux réels.
1) Somme
lim
x!af(x) = L L L +1 1 1
lim
x!ag(x) = L0+1 1 +1 1 +1
lim
x!a(f(x) + g(x)) = L+L0+1 1 +1 1 ?
2) Produit
lim
x!af(x) = L L 6= 0 10
lim
x!ag(x) = L0111
lim
x!a(f(x)g(x)) = LL0+1ou 1 +1ou 1 ?
3) Quotient
lim
x!af(x) = L L L 6= 0 1 1 0
lim
x!ag(x) = L06= 0 10L06= 0 10
lim
x!af(x)
g(x)=L L001 1 ? ?
4) Composée de fonctions
Propriété : Soient deux fonctions f; g et a; b; c trois réels ou +1ou 1:Si lim
x!af(x) = bet lim
x!bg(x) = c; alors
lim
x!a(gf) (x) = c:
Exemple : lim
x!
4
sin x+
4= 1 car lim
x!
4x+
4= 2et lim
x!
2
sin(x) = 1:
5) Limite à l’in…ni d’une fonction polynôme et d’une fonction rationnelle
Propriétés : La limite d’une fonction polynôme à l’in…ni est la limite de son terme de plus haut degré.
La limite d’une fonction rationnelle à l’in…ni est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
Exemple : lim
x!+1x23
4x+1 = lim
x!+1x2
4x= lim
x!+1x
4= +1:lim
x!1 x43x= lim x!1 x4= +1:
V - Limites et ordre
Dans cette partie, aest un réel ou +1ou 1;et Lest un réel.
1) Théorèmes de comparaison : Soit fet gdeux fonctions tel que pour tout xau voisinage de a; f (x)g(x):
i) Si lim
x!af(x) = +1;alors lim x!ag(x) = +1:
ii) Si lim
x!ag(x) = 1;alors lim x!af(x) = 1:
iii) Si lim
x!af(x) = L; alors lim x!ag(x) = L0;où L; L0sont des réels, alors LL0:
2) Théorème d’encadrement (ou théorème des gendarmes) :Soit f; g et htrois fonctions tel que pour tout xau
voisinage de a; f(x)g(x)h(x):Si lim
x!af(x) = Let lim x!ah(x) = L; alors lim x!ag(x) = L:
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