puissances d`un nombre

PUISSANCES D'UN NOMBRE
PUISSANCES POSITIVES D'UN NOMBRE
1. Simplifier une écriture. Nous savons que la multiplication est une façon d'écrire plus
simplement certaines chaînes d'additions, ainsi 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2 s'écrit 112. De façon
analogue, peut-on écrire plus simplement une chaîne de multiplications comme par exemple
22222222222 ? On l'écrira 211, où 11 indique le nombre de facteurs égaux à 2.
2. Puissance d'un nombre. Etant donné un nombre a et un entier positif n, on pose :
an = a  a  ...  a
L'écriture an, qu'il faut lire « a exposant n », s'appelle la nième puissance de a et l'entier n s'appelle
l'exposant de cette puissance. Cette écriture désigne aussi bien la chaîne de multiplications que
le produit obtenu.
3. Convention. À priori dans la définition précédente l'entier n est supérieur ou égal à 2, car il
faut au moins deux facteurs pour parler de produit. On peut toutefois poser la convention suivante :
pour tout nombre a on admet que a0 = 1 et a1 = a. Cette convention ne met pas en défaut les propriétés
qui suivent.
4. Produits de puissances. Quels que soient les nombres a et b et les entiers positifs n
et m on a :
• an  bn = (a  b)n Produit de puissances de même exposant.
• an  am = an + m Produit de puissances d'un même nombre.
• (an)m = an  m Puissance d'une puissance.
5. Démonstration.
• an  bn = a  a  ...  a  b  b  ...  b = (a  b)  (a  b)  ...  (a  b) = (a  b)n
• an  am = a  a  ...  a  a  a  ...  a = an+m
• (an)m = (a  a  ...  a)  (a  a  ...  a)  …  (a  a  ...  a) = anm
― 1 ―
n facteurs
n facteurs m facteurs
n+m facteurs
n facteurs n facteurs n facteurs
nm facteurs
n facteurs n facteurs n facteurs (a b)

INVERSE D'UNE PUISSANCE
6. L'inverse d'un nombre. L'inverse d'un nombre non nul a est le nombre qui multiplié
par a donne 1. L'inverse d'un nombre peut être écrit en fraction ou en écriture fractionnaire, ainsi
l'inverse de 2 est
1
2
; l'inverse de  est
1
p
; l'inverse de an est
1
an
et se note aussi an.
7. Propriété de l'inverse d'une puissance. Quels que soient le nombre non nul a et
l'entier positif n, l'inverse de la nième puissance de a est la nième puissance de l'inverse de a :
• an =
(1
a)
n
.
8. Démonstration. an =
1
an
notation de l'inverse de an en écriture fractionnaire ;
=
1
a×a×...×a
d'après la définition de la puissance d'un nombre ;
=
1
a×1 a×...×1 a
d'après la multiplication des fractions ;
=
(1
a)
n
d'après la définition de la puissance d'un nombre.
9. Produits de puissances négatives. Nous pouvons généraliser la propriété des
produits de puissances, aux exposants négatifs. Par exemple 23  25 peut être calculé en ajoutant
les exposants, le produit est 28, en effet :
23  25 =
(1
2)
3
×( 1
2)
5
d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
=
(1
2)
3+5
d'après la propriété des produits de puissances ;
=2(3+5) d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
=2(3)+(5) d'après l'addition des nombres relatifs.
10. Quotients de puissances. Quelques soient le nombre non nul a et les entiers n et m,
on a :
• an  bn = (a  b)n Quotient de puissances de même exposant.
• an  am = an  m Quotient de puissances d'un même nombre.
11. Démonstration.
• an  bn = an  bn car diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse ;
= an 
(1
b)
n
d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
= (a 
1
b
)n d'après la propriété des produits de puissances ;
= (a  b)n .
― 2 ―

• an  am = an  am car diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse ;
= an 
(1
a)
m
d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
= an 
(1
a)
n
(1
a)
m−n
si m est plus grand que n ;
= 1 
(1
a)
m−n
car
(1
a)
n
est l'inverse de an.
= a(mn) d'après la propriété de l'inverse d'une puissance ;
= anm d'après l'addition des nombres relatifs.
Si n est plus grand que m on montre de façon analogue que an  am = anm ; on peut toutefois en
proposer une démonstration plus visuelle :
an  am= = a  a  ...  a = anm
ECRITURE SCIENTIFIQUE
12. Nombre et puissance de dix. Un nombre comme 32 400 peut s'écrire d'autant de
façons que l'on veut comme produit d'un nombre décimal par une puissance de 10, ainsi :
... = 324 000  10-1 = 32 400 = 3 240  101 = 324  102 = 32,4  103 = 3,24  104 = 0,324  105= ...
13. Ecriture scientifique. L'écriture scientifique d'un nombre décimal est l'unique
produit a  10n où le nombre décimal a n'a qu'un seul chiffre autre que zéro avant la virgule.
14. Utilité de l'écriture scientifique.L'écriture scientifique d'un nombre permet de
voir immédiatement l'ordre de grandeur du nombre. Il n'est pas facile de comparer 35230000000000
et 8975000000000 ; voici ces mêmes nombres en écriture scientifique 3,523  1013 et 8,975  1012, la
comparaison est alors immédiate.
― 3 ―
écriture décimale
écriture scientifique
a  a  ...  a  ...  a
a  a  ...  a
n-m facteurs
m facteurs
n facteurs
Puissances décroissantes de 10 Puissances croissantes de 10