1 Soit P une probabilité sur Ω. On considère deux événements A et

ECS1-1
Test n°8-A
14 novembre 2016 - 15 minutes
Lycée Pierre de Fermat
2016-2017
NOM :
1 Ï Soit P une probabilité sur Ω. On considère deux événements A et B.
a. On suppose que P(B) 6= 0. Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle de A sachant B ?
b. Énoncer avec rigueur les deux formes de la formule des probabilités totales.
c. Énoncer avec rigueur la formule des probabilités composées.
d. Énoncer avec rigueur la formule de Bayes (première forme).
e. On suppose que 0 < P(A) < 1 et 0 < P(B) < 1. À partir des résultats précédents, démontrer la formule :
PB (A) =
PA (B)P(A)
PA (B)P(A) + PA (B)P(A)
.
2 Ï Soit E et F deux ensembles non vides et f : E → F une application.
a. Donner la définition de la phrase « f est bijective» :
b. Donner la définition de la phrase « f est surjective» :
c. Donner la définition de la phrase « f est injective» :
3 Ï On considère les fonctions suivantes :
f1 :
f4 :
R → [−1, 1], x 7→ sin(x)
R+ → R, x 7→ x 4
R
f 2 : [− π2 , π2 ] → , x 7→ sin(x)
f 5 : → , t 7→ eit
R C
R R
f 3 : → + , x 7→ x 4
f 6 : [0, π[→ , t 7→ eit .
C
Cocher les cases correspondant aux affirmations correctes :
VRAI
FAUX
VRAI
f 1 est injective
f 4 est injective
f 1 est surjective
f 4 est surjective
f 2 est injective
f 5 est injective
f 2 est surjective
f 5 est surjective
f 3 est injective
f 6 est injective
f 3 est surjective
f 6 est surjective
4 Ï Soit A et B deux parties d’un ensemble non vide E. Montrer que 1lA = 1 − 1lA .
FAUX
ECS1-1
Test n°8-B
14 novembre 2016 - 15 minutes
Lycée Pierre de Fermat
2016-2017
NOM :
1 Ï Soit P une probabilité sur Ω. On considère deux événements A et B.
a. On suppose que P(B) 6= 0. Qu’est-ce que la probabilité conditionnelle de A sachant B ?
b. Énoncer avec rigueur les deux formes de la formule des probabilités totales.
c. Énoncer avec rigueur la formule des probabilités composées.
d. Énoncer avec rigueur la formule de Bayes (première forme).
e. On suppose que 0 < P(A) < 1 et 0 < P(B) < 1. À partir des résultats précédents, démontrer la formule :
PB (A) =
PA (B)P(A)
PA (B)P(A) + PA (B)P(A)
.
2 Ï Soit E et F deux ensembles non vides et f : E → F une application.
a. Donner la définition de la phrase « f est bijective» :
b. Donner la définition de la phrase « f est surjective» :
c. Donner la définition de la phrase « f est injective» :
3 Ï On considère les fonctions suivantes :
R
f 1 : [− π2 , π2 ] → , x 7→ sin(x)
f 4 : + → , x 7→ x 4
R
R
R
f 2 : → [−1, 1], x 7→ sin(x)
f 5 : [0, π[→ , t 7→ eit
C
f3 :
f6 :
R → R+, x 7→ x 4
R → C, t 7→ eit .
Cocher les cases correspondant aux affirmations correctes :
VRAI
FAUX
VRAI
f 1 est injective
f 4 est injective
f 1 est surjective
f 4 est surjective
f 2 est injective
f 5 est injective
f 2 est surjective
f 5 est surjective
f 3 est injective
f 6 est injective
f 3 est surjective
f 6 est surjective
4 Ï Soit A et B deux parties d’un ensemble non vide E. Montrer que 1lA∩B = 1lA 1lB .
FAUX