Corrigé du QCM 3 1. Pour tout j ∈ N , on munit l`intervalle Xj := [−j, j

Corrigé du QCM 3
j ∈ N, on munit l'intervalle Xj := [−j, Q
j] de la topologie Tj
induite par celle de R. On considère l'ensemble X :=
j∈N Xj muni de la
Q
topologie produit T =
T
. Alors, pour tout j ∈ N, la topologie Tj est
j
j∈N
2 oui
métrisable et de plus T est métrisable :
2 non
1.
Pour tout
La réponse est oui. Pour tout j ∈ N, Xj est un sous-espace métrique de
R. Plus précisément, la topologie Tj sur Xj provient de la valeur absolue.
Elle est donc métrisable. Ensuite T est métrisable par application de la
Proposition 1.7.15 du cours.
j ∈ N, on munit l'intervalle Xj := [−j, Q
j] de la topologie Tj
induite par celle de R. On considère l'ensemble X :=
j∈N Xj muni de la
Q
T
.
Un
élément
x
∈
X
est
représenté par ses
topologie produit T =
j∈N j
coordonnées selon x = (xj )j∈N . Alors :
Q
2 l'ensemble j∈N ]0, j[ est un ouvert pour la topologie produit T
2 l'application p5 : X −→ [−5, 5] qui à x associe x5 est continue
Q
- l'ensemble j∈N ]0, j[ est un ouvert pour la topologie des boîtes mais pas
2.
Pour tout
pour la topologie produit (voir le cours).
- l'application p5 est continue d'après la Proposition 1.7.6.
Q ⊂ R l'ensemble des rationnels. On dit que xRy ssi y − x ∈ Q.
R est une relation d'équivalence. On note ΠR : R −→ R/Q
l'application qui à x ∈ R associe sa classe d'équivalence x̃ ∈ R/Q. On munit
R/Qde la topologie quotient. Alors :
2 R/Q contient au moins
deux éléments distincts
2 le singleton {0̃} ≡ ΠR (0) est ouvert dans R/Q
√
- Puisque 2 n'est pas rationnel, les deux éléments
√˜
√
2 :=
2 + pq ; p ∈ Z , q ∈ N∗
et 0̃ := pq ; p ∈ Z , q ∈ N∗ ≡ Q
3.
Soit
On admet que
sont distincts dans R/Q.
- le singleton ΠR (0) n'est pas ouvert dans R/Q car Π−1
ΠR (0) ≡ Q
R
n'est pas ouvert dans R.
R∗ ≡ (R \ {0}) de la topologie induite par celle de R.
l'ensemble A :=]0, 1[∩(R \ Q) est un connexe de R
∗
les ensembles R et R ≡ (R \ {0}) sont homéomorphes
4. On munit
2
2
Alors :
- on raisonne par l'absurde. Tout connexe de R est un intervalle. Par conséquent, si A était connexe, on aurait A = (α,
√β). Comme A contient deux
éléments distincts (par exemple les nombres 2/4 et π/4), on a forcément
0 ≤ α < β ≤ 1. Dès lors, l'intervalle ]α, β[ est contenu dans A et contient
au moins un rationnel. C'est une contradiction.
- On commence par noter que :
a) l'ensemble R est connexe car c'est l'intervalle ] − ∞, +∞[.
b) l'ensemble R∗ n'est pas connexe. En eet, R∗− est un sous-ensemble non
vide et strictement contenu dans R∗ . De plus, R∗− est un ouvert de R∗
(comme intersection de R∗ avec l'ouvert ] − ∞, 0[ de R) et est un fermé
de R∗ (comme intersection de R∗ avec le fermé ] − ∞, 0] de R).
Supposons alors qu'il existe un homéomorphisme f entre R et R∗ . Nécessairement f (R) = R∗ , image par f continue du connexe R, doit être connexe. Ce
n'est pas le cas !
2