La correction du DS1

TS - Maths - D.S.1- Correction Samedi 24 septembre 2016 - 2h
Exercice 1 (2,5 points) Suite et variation
On considère la fonction fdéfinie sur [0;+∞[ par f(x)=5x+1
x+2et (un) la suite définie pour tout n∈Npar
un=5n+1
n+2.
1. Étudier les variations de la suite (un).
1ère méthode
On a un=f(n) donc la suite ua les mêmes variations sur Nque la fonction fsur R+.
Or fest une fonction définie sur R+et dérivable sur R+.
Pour tout xÊ0, f0(x)=9
(x+2)2. Pour tout xÊ0, on a alorsf0(x)>0 donc fest croissante sur R+, donc
la suite uest croissante sur N.
2nde méthode
un+1−un =5(n+1)+1
n+1+2−5n+1 n+2=5n+6 n+3−5n+1 n+2=(5n+6)(n+2)−(5n+1)(n+3) (n+3)(n+2)
un+1−un =5n2+10n+6n+12−5n2−15n−n−3
(n+3)(n+2) =9 (n+3)(n+2).
Cette expression est positive pour tout nentier naturel donc la suite uest croissante sur N.
2. Montrer que pour tout entier naturel n,unÊ1
2.
On a u0=1
2. De plus la suite (un) est croissante donc pour tout entier naturel n,unÊu0donc unÊ1 2
Exercice 2 (6.25 points) Bactéries et suites
Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu
nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour.
La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure
fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont
perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un) définie de la façon
suivante :
u0=1000 et, pour tout entier naturel n,un+1=1,2un−100.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un) définie de la façon
suivante :
u0=1000 et, pour tout entier naturel n,un+1=1,2un−100.
1. (a) Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
On appelle unla masse, en gramme, des bactéries présentes dans la cuve, et nreprésente le
nombre de jours depuis le début du processus. On a donc u0=1000 puisqu’initialement, on in-
troduit 1 kg soit 1 000 grammes de bactéries.
TS - D.S.1- Correction - Page 1/ 5

D’un jour à l’autre, le nombre de bactéries augmente de 20 %, c’est donc qu’il est multiplié par
1+20
100 =1,2. Chaque jour, en remplaçant le milieu nutritif, on perd 100 grammes de bactéries.
Donc, pour tout entier naturel n,un+1=1,2un−100 avec u0=1000.
(b) L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg
soit 30 000 g.
On cherche le plus petit entier entier naturel ntel que un>30000.
À la calculatrice, on trouve u22 ≈28103 et u23 ≈33624 ; donc on dépasse 30 kg de bactéries à partir
de 23 jours.
(c) On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question
précédente.
On complète l’algorithme :
Variables uet nsont des nombres
uprend la valeur 1 000
nprend la valeur 0
Traitement Tant que uÉ30000 faire
uprend la valeur 1,2 ×u−100
nprend la valeur n+1
Fin Tant que
Sortie Afficher n
2. (a) Soit Pnla propriété unÊ1000.
•Initialisation
u0=1000 donc la propriété est vraie pour n=0.
•Hérédité
On suppose qu’à un rang kfixé la propriété Pkest vraie , c’est-à-dire ukÊ1000.
uk+1=1,2uk−100 ; D’après l’hypothèse de récurrence ukÊ1000 donc 1,2ukÊ1200 donc
1,2uk−100 Ê1100.
Donc 1,2uk−100 Ê1000 et on a démontré que la propriété était vraie au rang k+1.
•Conclusion
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel nÊ0Pnest vraie.
Pour tout entier naturel n,unÊ1000.
(b) Démontrer que la suite (un)est croissante.
Pour tout n,un+1−un=1,2un−100 −un=0,2un−100
Or, pour tout n,unÊ1000 donc 0,2unÊ200 et donc 0,2un−100 Ê100
On a donc démontré que, pour tout entier naturel n,un+1−un>0.
On peut donc dire que la suite (un) est croissante.
3. On définit la suite (vn) par : pour tout entier naturel n,vn=un−500 donc, un=vn+500.
(a) Démontrer que la suite (vn)est une suite géométrique.
vn+1=un+1−500 =1,2un−100−500 =1,2(vn+500)−600 =1,2vn+600 −600 =1,2 vn
v0=u0−500 =1000−500 =500
Donc pour tout entier naturel n,vn+1=1,2×vnet v0=500,
donc la suite (vn) est la suite géométrique de raison q=1,2 et de premier terme v0=500.
TS - D.S.1- Correction - Page 2/ 5

(b) Exprimer vn, puis un, en fonction de n.On déduit de la question précédente que, pour tout n,
vn=v0×qn=500×1,2n.
Comme, pour tout entier naturel n,un=vn+500, on en déduit que un=500+500×1,2n.
(c) A l’aide de votre calculatrice, que pouvez vous conjecturer concernant le nombre de bactéries
au bout d’un grand nombre de jours ?
Avec la calculatrice, on s’aperçoit que plus naugmente, plus unaugmente aussi, donc plus le
nombre de jours augmente, plus le nombre de bactéries augmente aussi.
Exercice 3 5.5 points une suite, un algorithme, une récurrence
On considère la suite numérique (vn)définie pour tout entier naturel npar
v0=1
vn+1=9
6−vn
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel ndonné, tous les termes de la suite,
du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
L’algorithme no1 calcule tous les termes de v0àvnmais n’affiche que le dernier vn.
L’algorithme no2 calcule nfois de suite v1à partir de v0: il ne calcule pas les termes de 0 à vn.
L’algorithme no3 calcule tous les termes de 0 à vnet les affiche tous.
2. D’après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à n=9), il semblerait que la suite soit
croissante.
3. (a) Montrons par récurrence la propriété Pn: 0 <vn<3pour tout entier naturel n.
Initialisation :n=0, on a bien 0 <v0<3 vraie, puisque v0=1 ; ainsi P0est vraie.
Hérédité :On suppose qu’à un rang kfixé, Pkvraie, montrons alors que Pk+1est vraie.
On suppose donc que 0 <vk<3.
Donc 6−0>6−vk>6−3, puis 6 >6−vk>3
1
6<1 6−vk
<1
3, car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[.
9
6<9 6−vk
<9
3. Donc 3 2<9 6−vk
<3
Ainsi 1 <3
2<vk+1<3 donc Pk+1est vraie.
Conclusion
D’après le principe de récurrence, Pn: 0 <vn<3 est vraie pour tout entier naturel n.
(b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,vn+1−vn=(3−vn)2
6−vn
.
vn+1−vn=9
6−vn
−vn=9−vn(6−vn)
6−vn
=(vn−3)2
6−vn
.
Or, d’après la question précédente, 0 <vn<3 pour tout nentier naturel, ainsi 6 −vnest positif,
donc vn+1−vn=(vn−3)2
6−vn
>0, ainsi la suite (vn)est croissante.
Exercice 4 (5,75 points) Prise d’initiative
Les questions 1. et 2. sont indépendantes.
TS - D.S.1- Correction - Page 3/ 5

1. Sans utiliser la calculatrice, comparer les nombres A et B avec :
A=2017×(1+2+3+...+2016) et B=2016×(1+2+3+...+2017)
1+2+...+2015 +2016 est la somme des 2016 premiers termes consécutifs de la suite arithmétique,
notée (un), de premier terme u1=1 et de raison r=1.
Ainsi, 1+2+...+2015+2016 =2016×1+2016
2=2016×2017 2.
On a donc A=2017×2016 ×2017
2donc A=2017×2016×2017 2.
De même, B=2016 ×2017 ×2018
2donc B=2018×2016×2017 2.
Or,
2018 >2017 ⇔2018×2016×2017 >2017×2016×2017
⇔2018×2017×2016
2>2017×2017×2016 2
⇔B>A
Donc B>A.
2. Voici les quatre premiers nombres triangulaires :
T1=1T2= 3 T3= 6 T4= 10
(a) Représenter et calculer T5et T6.
T5=15 T6=21
TS - D.S.1- Correction - Page 4/ 5

(b) i. Exprimer Tn+1en fonction de Tn.
T1=1
T2= 3 = 1+2 = T1+2
T3= 6 = 1+2+3 = T2+3
T4= 10 = 1+2+3+4 = T3+4
Ainsi, Tn+1=Tn+(n+1)
ii. Conjecturer l’expression de Tnen fonction de n.
Soit n∈N\{0}.
On remarque que Tn=
n
P
k=1k=1+2+...+(n−1)+n.
Tnest la somme des npremiers termes consécutifs de la suite arithmétique, notée (un), de
premier terme u1=1 et de raison r=1.
Ainsi, en utilisant la formule de la somme des npremiers termes d’une suite arithmétique,
on peut conjecturer que Tn=n×1+n
2d’où pour tout n∈N\ {0}, Tn=n(n+1) 2.
iii. Démontrer cette conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Soit Pnla propriété Tn=n×(n+1)
2.
•Initialisation
1×(1+1)
2=2 2=1=u1, donc P1est vraie. La propriété est vraie pour n=1.
•Hérédité
On suppose qu’à un rang kfixé la propriété Pkest vraie , c’est-à-dire Tk=k×(k+1)
2.
Tk+1=Tk+(k+1) donc Tk+1=k×(k+1)
2+(k+1) d’après l’hypothèse de récurrence.
Donc, Tk+1=k×(k+1)+2×(k+1)
2.
Donc Tk+1=(k+1)×(k+2)
2donc Pk+1est vraie .La propriété était vraie au rang k+1.
•Conclusion
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul, Pnest vraie.
Donc pour tout entier naturel non nul, Tn=n×(n+1)
2
TS - D.S.1- Correction - Page 5/ 5