TS. Évaluation 1 -Correction 1 ( 4 points ) On considère la fonction f

TS. Évaluation 1 -Correction ♣
1( 4 points ) On considère la fonction fdéfinie sur l’intervalle [0 ; +∞[par f(x) = 3x
1+2x.
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe Creprésentative de f.
1°On considère la suite undéfinie par u0=1
2et, pour tout entier naturel n,un+1 =f(un).
Sur la figure de l’annexe 1, en utilisant la courbe C, placer les points M0, M1et M2d’ordonnée nulle et d’abscisses
respectives u0, u1et u2.
Annexe 1 - Ex 1.
012
0
1
2
x
y
u0u1u2
(C)
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite un?
On peut conjecturer que la suite unest croissante et converge vers `= 1.
2°On admet que fest strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n,0< un<1.Soit P(n)la propriété : « 0< un<1».
Montrons par récurrence que P(n)est vraie pour tout entier naturel n.
•Initialisation : On a u0=1
2donc 0< u0<1.
La propriété est vraie pour n= 0.P(0) est vraie.
•Hérédité : supposons qu’il existe n∈tel que : 0< un<1je suppose la proposition vraie au rang n

0< un<1(HR)
Alors, comme fest strictement croissante sur [0 ; +∞[:
f(0) < f (un)< f (1)
0< un+1 <1
On en déduit donc
0< un+1 <1
finalement alors la proposition est vraie au rang n+ 1
et la propriété P(n)est donc héréditaire.
•Conclusion : la proposition est vraie pour n= 0 , elle est héréditaire
donc par récurrence on a, quel que soit n∈,0< un<1
3°Soit (vn)la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn=un
1−un
.
a) Montrer que la suite (vn)est une suite géométrique de raison 3.
Pour tout entier naturel n,vn+1 =un+1
1−un+1
=
3un
1+2un
1−3un
1+2un
=
3un
1+2un
1+2un−3un
1+2un
=3un
1−un
= 3vn
La suite (vn)est donc une suite géométrique de raison 3.
b) Exprimer pour tout entier naturel n,vnen fonction de n.
Pour tout entier naturel n,vn=v0.qn= 3n
c) En déduire que, pour tout entier naturel n,un=3n
3n+ 1.
Pour tout entier naturel n,
vn=un
1−un
⇐⇒ (1 −un)vn=un⇐⇒ vn=un+unvn⇐⇒ un=vn
1 + vn
⇐⇒ un=3n
3n+ 1
d) Déterminer la limite de la suite (un).
Comme 3>1,lim
n→+∞3n= +∞. L’étude du quotient conduit donc à une forme indéterminée.
un=3n
3n+ 1 =1
1 + 1
3n
=1
1 + 1
3nComme −1<1
3<1,lim
n→+∞1
3n
= 0
Par somme lim
n→+∞1 + 1
3n
= 1, enfin, par quotient lim
n→+∞
un= 1
La suite (un)converge vers 1.
2( 6 points ) Une société produit des bactéries pour l’industrie.
En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes,
augmente de 20 % en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on
remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un)définie de la façon suivante :
u0= 1 000 et, pour tout entier naturel n,un+1 = 1,2un−100.
1°a) Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
On précisera en particulier ce que représente un.
On appelle unla masse, en gramme, des bactéries présentes dans la cuve, et nreprésente le nombre de
jours depuis le début du processus. On a donc u0 = 1 000 puisqu’initialement, on introduit 1 kg soit 1 000
grammes de bactéries.

D’un jour à l’autre, le nombre de bactéries augmente de 20 %, c’est donc qu’il est multiplié par 1 + 20
100 = 1,2.
Chaque jour, en remplaçant le milieu nutritif, on perd 100 grammes de bactéries.
Donc, pour tout n,un+1 = 1,2un−100 avec u0= 1 000
b) L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l’aide de la
calculatrice, donner la réponse à ce problème.
On cherche le plus petit entier ntel que un>30 000.
À la calculatrice, on trouve u22 ≈28 103 et u23 ≈33 624
donc on dépasse 30 kg de bactéries à partir de 23 jours.
c) On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.
Recopier et compléter cet algorithme.
Variables uet nsont des nombres
uprend la valeur 1 000
nprend la valeur 0
Traitement Tant que u630 000 faire
uprend la valeur 1,2×u−100
nprend la valeur n+ 1
Fin Tant que
Sortie Afficher n
2°a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,un>1 000.
Soit Pnla propriété un>1 000.
•Initialisation : u0= 1 000 >1 000 donc la propriété est vraie pour n= 0.
•Hérédité : On suppose la propriété vraie pour un rang n>0, c’est-à-dire un>1 000.
un>1 000 donc 1,2un>1 200 donc 1,2un−100 >1 100.
Donc 1,2un−100 >1 000 et un+1 = 1,2un−100 ;
on a démontré que la propriété était vraie au rang n+ 1.
•Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 , elle est héréditaire pour tout n> 0 , donc elle est vraie pour
tout n>0.
Pour tout n,un>1 000
b) Démontrer que la suite (un)est croissante.
Pour tout n,un+1 −un= 1,2un−100 −un= 0,2un−100
Or, pour tout n,un>1 000 donc 0,2un>200 et donc 0,2un−100 >100
On a donc démontré que, pour tout n,un+1 −un>0
On peut donc dire que la suite (un)est croissante.
3°On définit la suite (vn)par : pour tout entier naturel n,vn=un−500.
a) Démontrer que la suite (vn)est une suite géométrique.
vn+1 =un+1 −500 = 1,2un−100 −500 = 1,2(vn+ 500) −600 = 1,2vn+ 600 −600 = 1,2vn
v0=u0−500 = 1 000 −500 = 500
Donc la suite (vn)est géométrique de raison q= 1,2et de premier terme v0= 500.
b) Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
On déduit de la question précédente que, pour tout n,vn=v0×qn= 500 ×1,2n
Comme, pour tout n,un=vn+ 500, on en déduit que un= 500 + 500 ×1,2n
c) Déterminer la limite de la suite (un).
La suite ( vn ) est géométrique de raison 1,2 et de premier terme positif ; or 1 , 2 > 1 donc, d’après le cours,
lim
n→+∞
vn= +∞.
Pour tout n,un=vn+ 500 donc lim
n→+∞
un= +∞