TS. Évaluation 1 -Correction 1 ( 4 points ) On considère la fonction f

TS. Évaluation 1 -Correction
1 ( 4 points )
♣
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) =
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe C représentative de f .
3x
.
1 + 2x
1
1° On considère la suite un définie par u0 = et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ).
2
Sur la figure de l’annexe 1, en utilisant la courbe C , placer les points M0 , M1 et M2 d’ordonnée nulle et d’abscisses
respectives u0 , u1 et u2 .
Annexe 1 - Ex 1.
y
2
(C )
1
0
u0
u1
0
x
u2
1
2
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite un ?
On peut conjecturer que la suite un est croissante et converge vers ` = 1.
2° On admet que f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < un < 1. Soit P(n) la propriété : « 0 < un < 1 ».
Montrons par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
1
• Initialisation : On a u0 =
donc 0 < u0 < 1.
2
La propriété est vraie pour n = 0. P(0) est vraie.
• Hérédité : supposons qu’il existe n ∈
N tel que :
0 < un < 1
je suppose la proposition vraie au rang n
(HR)
0 < un < 1
Alors, comme f est strictement croissante sur [0 ; +∞[ :
f (0) < f (un ) < f (1)
0 < un+1 < 1
On en déduit donc
0 < un+1 < 1
finalement
alors la proposition est vraie au rang n + 1
et la propriété P(n) est donc héréditaire.
• Conclusion : la proposition est vraie pour n = 0 , elle est héréditaire
donc par récurrence on a, quel que soit n ∈ ,
0 < un < 1
N
un
.
1 − un
a) Montrer que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison 3.
3un
3un
un+1
3un
1 + 2un
1 + 2un
=
= 3vn
Pour tout entier naturel n, vn+1 =
=
=
1
+
2u
−
3u
3u
n
n
n
1 − un+1
1 − un
1−
1 + 2un
1 + 2un
La suite (vn ) est donc une suite géométrique de raison 3.
3° Soit (vn ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn =
b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
Pour tout entier naturel n,
vn = v0 .q n = 3n
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, un =
3n
.
3n + 1
Pour tout entier naturel n,
vn =
un
vn
⇐⇒ (1 − un )vn = un ⇐⇒ vn = un + un vn ⇐⇒ un =
⇐⇒
1 − un
1 + vn
un =
3n
3n + 1
d) Déterminer la limite de la suite (un ).
Comme 3 > 1, lim 3n = +∞. L’étude du quotient conduit donc à une forme indéterminée.
n→+∞
n
n
3
1
1
1
1
n
un = n
=
=
Comme −1 < < 1,
lim
=0
1
n→+∞
3 +1
3
3
1
1+ n
1+
3
3
n
1
Par somme lim 1 +
= 1, enfin, par quotient
lim un = 1
n→+∞
n→+∞
3
La suite (un ) converge vers 1.
2 ( 6 points ) Une société produit des bactéries pour l’industrie.
En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes,
augmente de 20 % en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on
remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un ) définie de la façon suivante :
u0 = 1 000 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1, 2un − 100.
1° a) Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
On précisera en particulier ce que représente un .
On appelle un la masse, en gramme, des bactéries présentes dans la cuve, et n représente le nombre de
jours depuis le début du processus. On a donc u0 = 1 000 puisqu’initialement, on introduit 1 kg soit 1 000
grammes de bactéries.
D’un jour à l’autre, le nombre de bactéries augmente de 20 %, c’est donc qu’il est multiplié par 1 +
Chaque jour, en remplaçant le milieu nutritif, on perd 100 grammes de bactéries.
Donc, pour tout n,
avec
un+1 = 1, 2 un − 100
20
= 1, 2.
100
u0 = 1 000
b) L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l’aide de la
calculatrice, donner la réponse à ce problème.
On cherche le plus petit entier n tel que un > 30 000.
À la calculatrice, on trouve u22 ≈ 28 103
et
u23 ≈ 33 624
donc on dépasse 30 kg de bactéries à partir de 23 jours.
c) On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.
Recopier et compléter cet algorithme.
u et n sont des nombres
Variables
u prend la valeur 1 000
n prend la valeur 0
Tant que u 6 30 000 faire
u prend la valeur 1, 2 × u − 100
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Traitement
Afficher n
Sortie
2° a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > 1 000.
Soit Pn la propriété un > 1 000.
• Initialisation : u0 = 1 000 > 1 000 donc la propriété est vraie pour n = 0.
• Hérédité : On suppose la propriété vraie pour un rang n > 0, c’est-à-dire un > 1 000.
un > 1 000 donc 1, 2 un > 1 200 donc 1, 2 un − 100 > 1 100.
Donc
1, 2 un − 100 > 1 000 et un+1 = 1, 2 un − 100 ;
on a démontré que la propriété était vraie au rang n + 1.
• Conclusion : La propriété est vraie au rang 0, elle est héréditaire pour tout n > 0, donc elle est vraie pour
tout n > 0.
Pour tout n,
un > 1 000
b) Démontrer que la suite (un ) est croissante.
Pour tout n,
un+1 − un = 1, 2 un − 100 − un = 0, 2 un − 100
Or, pour tout n, un > 1 000 donc 0, 2 un > 200 et donc 0, 2 un − 100 > 100
On a donc démontré que, pour tout n,
un+1 − un > 0
On peut donc dire que la suite (un ) est croissante.
3° On définit la suite (vn ) par : pour tout entier naturel n, vn = un − 500.
a) Démontrer que la suite (vn ) est une suite géométrique.
vn+1 = un+1 − 500 = 1, 2 un − 100 − 500 = 1, 2(vn + 500) − 600 = 1, 2 vn + 600 − 600 = 1, 2 vn
v0 = u0 − 500 = 1 000 − 500 = 500
Donc la suite (vn ) est géométrique de raison q = 1, 2 et de premier terme v0 = 500.
b) Exprimer vn , puis un , en fonction de n.
On déduit de la question précédente que, pour tout n,
vn = v0 × q n = 500 × 1, 2n
Comme, pour tout n, un = vn + 500, on en déduit que
un = 500 + 500 × 1, 2n
c) Déterminer la limite de la suite (un ).
La suite (vn ) est géométrique de raison 1,2 et de premier terme positif ; or 1, 2 > 1 donc, d’après le cours,
lim vn = +∞.
n→+∞
Pour tout n, un = vn + 500 donc
lim un = +∞
n→+∞