Première version

Exercices corrigés d’analyse fonctionnelle
Florent Nacry
15 mars 2017

Table des matières
1 Espaces topologiques 2
1.1 AxiomedeZermelo............................... 2
1.1.1 Relationsd’ordre............................ 2
1.1.2 LemmedeZorn............................. 2
1.2 Topologie sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Topologie ................................ 3
1.2.2 Base et sous-base d’une topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Suites généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Topologieproduit ........................... 19
1.3 Applicationscontinues............................. 19
1.4 Espace topologique normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Fonction distance à un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Compacité.................................... 28
1.5.1 Recouvrements............................. 28
1.5.2 Elément d’adhérence et sous-suite généralisée . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3 Localecompacité............................ 33
1.6 Compacité dans les espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Théorème de Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8 Semi-continuité................................. 37
1.8.1 Epigraphe et hypographe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Espaces vectoriels topologiques 50
2.1 Généralités ................................... 50
2.2 Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Théorème de Hahn-Banach analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Théorèmes de séparation de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Dual topologique et topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6 Topologieétoilefaible ............................. 59
3 Quelques résultats de base sur les espaces de Banach 71
3.1 Trois théorèmes fondamentaux d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . 71
3.2 Espace de Banach et dual topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Espace de Banach réflexif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Séparabilité d’un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Théorème d’Eberlein-Smulian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Espaces vectoriels topologiques de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7 Espacesdesuites................................ 74
3.8 Espaces des fonctions continues sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . 75
1

Chapitre 1
Espaces topologiques
Soit Xun ensemble. On appelle classe de parties de Xtoute partie non vide de
l’ensemble des parties de Xnoté P(X). On note P0,finie(X)l’ensemble des parties finies
non vides de X.
On note ORla topologie usuelle de R. La lettre Ndésigne (conformément à la tradition
anglo-saxonne) l’ensemble des entiers démarrant à 1.
1.1 Axiome de Zermelo
1.1.1 Relations d’ordre
Exercice 1 Soient (X, X),(Y, Y)deux ensemble ordonnés. Montrer que l’on peut dé-
finir une relation d’ordre sur X×Ypar l’équivalence
(x, y)(x0, y0)⇐⇒ xXx0et yYy0
pour tout (x, y),(x0, y0)∈X×Y. L’ordre sur X×Ys’appelle l’ordre produit sur X×Y
issu de Xet de Y.
Exercice 2 Donner un exemple d’une partie non vide Sd’un ensemble ordonné (E, )
n’admettant pas de plus petit (resp., plus grand) élément.
Exercice 3 Soient (E, )un ensemble ordonné, Sune partie non vide de E. On suppose
qu’il existe un majorant M(resp., minorant m) de Sdans Eappartenant à S. Montrer
que l’ensemble des majorants (resp., minorants) de Sdans Eest réduit à M(resp., m).
1.1.2 Lemme de Zorn
Soient Eun K-espace vectoriel non nul. Rappelons qu’une famille non vide (vj)j∈J0de
vecteurs de Eest linéairement indépendante (ou libre) dans Equand toute sous-famille
finie non vide (vj)j∈J1de vecteurs de Edistincts est linéairement indépendante, i.e. si
pour toute famille (λj)j∈J1d’éléments de K, on a
λj= 0 pour tout j∈J1,
lorsque Pj∈J1λj1vj1= 0. Si (vj)j∈J0n’est pas une famille linéairement indépendante dans
E, on dit que c’est une famille liée dans E.
On dit qu’une famille non vide (ei)i∈Ide vecteurs de Eest une base algébrique de E
lorsque pour tout v∈E\ {ei:i∈I}, la famille {ei:i∈I}∪{v}n’est pas linéairement
indépendante dans E.
Exercice 4 Montrer que tout K-espace vectoriel non nul admet une base algébrique. En
déduire que tout K-espace vectoriel admet une norme.
2

Solution. Notons Ll’ensemble des parties libres de E. Cet ensemble est non vide puisque
si x∈E\ {0} 6=∅,{x}est une partie libre de E, donc élément de L. Ainsi, (L,⊂)est
un ensemble ordonné. Montrons à présent que celui-ci est inductif. Soit Cune chaîne de
(L,⊂). Posons M=S
L∈C
Let montrons que c’est une partie libre de E, i.e. un élément de
L. Par l’absurde, supposons que Msoit une famille liée de E. Il existe une famille finie
non vide (vi)i∈Id’éléments distincts de Met une famille (λi)i∈Id’éléments de Knon tous
nuls tels que
X
i∈I
λivi= 0.
L’ensemble Iétant non vide et fini et Cétant une chaîne de (L,⊂), il existe L0∈ C tel
que pour tout i∈I,vi∈L0. La relation Pi∈Iλivi= 0 contredit le caractère libre de L0
dans E. De plus, il est clair que toute famille libre incluse dans Cde Eest incluse dans
M. Ainsi, Mest un majorant de Cdans Lrelativement à ⊂. Donc, (L,⊂)est un ensemble
ordonné inductif. Par application du lemme de Zorn, Ladmet un élément maximal que
l’on note L0. Fixons x∈E\L0et posons L1=L0∪ {x}. Puisque L0⊂L1et L06=L1,
on a L1/∈ L. Ainsi, L0est une base algébrique de E.
***NORME A FAIRE***
1.2 Topologie sur un ensemble
1.2.1 Topologie
Exercice 5 Déterminer toutes les topologies d’un ensemble à trois éléments.
Solution. Soit Xun ensemble à (exactement) trois éléments. Ses éléments sont notés a, b
et c, de sorte que
X={a, b, c}.
Il est aisé de voir que l’ensemble des parties de Xs’écrit
2X={∅, X, {a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c}}.
Déterminons toutes les topologies de X. Il s’agit de parties de 2Xqui contiennent toutes
∅et X. Ainsi, le cardinal d’une topologie de Xest compris entre 2et 8.
(i)Il y a une seule topologie à 2 éléments : {∅, X}.
(ii)Il y a six topologies à 3éléments : {∅, X, {a}},{∅, X, {b}},{∅, X, {c}},{∅, X, {a, b}},
{∅, X, {b, c}},{∅, X, {a, c}}.
(iii)Il y a neuf topologies à 4éléments : {∅, X, {a},{a, b}},{∅, X, {a},{a, c}},{∅, X, {b},{a, b}},
{∅, X, {b},{b, c}},{∅, X, {c},{b, c}},{∅, X, {b},{a, b}},{∅, X, {a},{b, c}},{∅, X, {b},{a, c}},
{∅, X, {c},{a, b}}.
(iv)Il a six topologies à 5éléments : {∅, X, {a},{b},{a, b}},{∅, X, {a},{c},{a, c}},
{∅, X, {b},{c},{b, c}},{∅, X, {a},{a, b},{a, c}},{∅, X, {b},{a, b},{b, c}},{∅, X, {c},{a, c},{b, c}}.
(iv)Il y a une seule topologie à 8éléments : 2X.
Il y a donc 29 topologies possibles sur X.
Exercice 6 Soient (X, d)un espace métrique, B1, B2deux boules ouvertes de Xd’inter-
section non vide. Montrer que B1∩B2est la réunion (non vide) de boules ouvertes de
X.
Solution. Supposons B1∩B26=∅. Il existe x1, x2∈X,r1, r2∈]0,+∞[tels que B1=
B(x1, r1)et B2=B(x2, r2). Fixons x∈B1∩B2. Posons pour chaque i∈ {1,2},
ρi=ri−d(xi, x)∈]0,+∞[.
On a tout de suite B(x, ρi)⊂Bipour chaque i∈ {1,2}. En posant ρ= min {ρ1, ρ2}, il
vient alors
B(x, ρ)⊂B1∩B2.
3

Pour chaque x∈B1∩B2, il existe donc un réel rx>0tel que B(x, rx)⊂B1∩B2. Il suffit
alors d’observer que
B1∩B2=[
x∈B1∩B2
B(x, rx)
pour conclure.
Exercice 7 Soit (X, d)un espace métrique. Montrer que :
(a)La classe de parties Odde Xconstituée de ∅et des réunions (non vides) de boules
ouvertes de Xest une topologie (appelée topologie associée à d).
(b)Pour toute partie non vide Ude X, on a U∈ Odsi et seulement si pour tout x∈U,
il existe un réel rx>0tel que B(x, rx)⊂U.
Solution. (a)On a tout de suite ∅ ∈ Odet
X=[
(x,r)∈X×]0,+∞[
B(x, r)∈ Od.
Soient (Ui)i∈Iune famille non vide d’éléments de Od. Sans pertes de généralités, on peut
supposer Ui6=∅pour tout i∈I. Pour chaque i∈I, il existe un ensemble Ji6=∅et une
famille (Bi,j )j∈Jide boules ouvertes de Xtels que
Ui=[
j∈Ji
Bi,j .
On en déduit [
i∈I
Ui=[
((i,j)∈I×S
k∈I
Jk:j∈Ji)
Bi,j ∈ Od.
Soient U1, U2∈ Od. Si U1∩U2=∅, alors il n’y a rien à établir. Ainsi, nous pouvons
supposer que U1∩U26=∅. Il existe deux ensembles non vides I1et I2et deux familles
(B1,i)i∈I1et (B2,i0)i0∈I2de boules ouvertes de Xtelles que
U1=[
i∈I1
B1,i et U2=[
i0∈I2
B2,i0.
Il vient alors
U1∩U2=[
(i,i0)∈I1×I2
B1,i ∩B2,i0.
Puisque U1∩U26=∅, on peut supposer que pour chaque (i, i0)∈I1×I2,
B1,i ∩B2,i06=∅.
D’après l’Exercice 6, pour chaque (i, i0)∈I1×I2, il existe un ensemble non vide Ji,i0et
une famille de boules ouvertes de X(βi,i0,j )j∈Ji,i0telle que
B1,i ∩B2,i0=[
j∈Ji,i0
βi,i0,j .
Il s’ensuit
U1∩U2=[
((i,i0,j)∈I1×I2×S
(k,k0)∈I1×I2
Jk,k0:j∈Ji,i0)
βi,i0,j ∈ Od.
Donc, Odest une topologie sur X.
(b)Soit Uune partie non vide de X.
4