Devoir à la maison 1

Université Paris 7 Janvier 2008
L3 Maths-Info TD Analyse
Devoir Maison
Exercice 1 : Soit Aet Bdeux parties bornées non vide de R. Montrer
que :
1. sup A+B= sup A+ sup B
2. sup A∪B= max(sup A, sup B)
Soit (ai,j )(i,j)∈I×June famille non vide et bornée de réels. Comparer infi∈I(supj∈Jai,j )
et supj∈J(infi∈Iai,j ). Montrer que supi∈Isupj∈Jai,j = supj∈Jsupi∈Iai,j .
Exercice 2 : Soit Xun espace topologique et A⊂X. Montrer les propriétés
suivantes :
1. A=A
2. A⊂B⇒A⊂B
3. A∪B=A∪B
4. Ac=Int(Ac)
Exercice 3 : On note X=`∞l’espace des suites bornées et Yl’espace
des suites réelles tendant vers 0. On munit Xde la métrique d(x, y) =
sup{|xn−yn|, n ∈N}.
1. Vérifier que dest une distance.
2. Montrer que Yest fermé dans X.
3. Montrer que l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang est
dense dans Ymais pas dans X.
Exercice 4 : Soit Xun espace topologique, Iune famille finie et (Oi)i∈Iune
famille d’ouverts denses. Montrer que ∩i∈IOiest encore un ouvert dense. On
pourra raisonner par récurrence sur le cardinal de I. Montrer ensuite qu’une
réunion finie de fermés d’intérieur vide est encore un fermé d’intérieur vide.
Exercice 5 : Soit fune fonction entre deux espaces topologiques. Montrer
que fest continue si et seulement si pour toute partie Ade l’espace de
départ, f(A)⊂f(A)